Смешанная частная производная

Определение

Пусть функция $z=f(x,y)$, и её частные производные

$\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}$

определены в некоторой окрестности точки $(x_0,y_0)$. Тогда предел

$\underset{\mathrm{\Delta }y\to 0}{\lim }\frac{\frac{\partial f(x_0,y_0+\mathrm{\Delta }y)}{\partial x}-\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial x}}{\mathrm{\Delta }y},$

если он существует, называется смешанной (смежной) производной функции $f(x,y)$ в точке $(x_0,y_0)$ и обозначается $\frac{{\partial }^{2}f(x_0,y_0)}{\partial y\partial x}$.

Аналогично определяется $\frac{{\partial }^{2}f(x_0,y_0)}{\partial x\partial y}$ как

$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{\frac{\partial f(x_0+\mathrm{\Delta }x,y_0)}{\partial y}-\frac{\partial f(x_0,y_0)}{\partial y}}{\mathrm{\Delta }x},$

если он существует.

Смешанные частные производные порядка большего двух определяются индуктивно.Шаблон:Уточнить

Обозначение

• $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}=\frac{{\partial }^{2}z}{\partial y\partial x}=f^{\prime }{\text{'}}_{yx}=z^{\prime }{\text{'}}_{yx}$
• $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}=\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x\partial y}=f^{\prime }{\text{'}}_{xy}=z^{\prime }{\text{'}}_{xy}$

Свойства

• Если смешанные производные непрерывны в точке, то имеет место равенство $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}$ .

Пример Шварца

$f(x,y)=\{\begin{array}{c}xy\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2},x^2+y^2>0\\ 0,x=y=0\end{array}\Rightarrow \frac{{\partial }^{2}f(0,0)}{\partial x\partial y}=-1\ne 1=\frac{{\partial }^{2}f(0,0)}{\partial y\partial x}$

То есть смешанные производные в примере Шварца не равны.

• Имеет место теорема о равенстве смешанных производных

Теорема Шварца

Шаблон:Главная Пусть выполнены условия:

1. функции $z=f(x,y),\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y},\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}$ определены в некоторой окрестности точки $(x_0,y_0)$.
2. $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y},\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}$ непрерывны в точке $(x_0,y_0)$.

Тогда $\frac{{\partial }^{2}f(x_0,y_0)}{\partial x\partial y}=\frac{{\partial }^{2}f(x_0,y_0)}{\partial y\partial x}$, то есть смешанные производные второго порядка равны в каждой точке, где они непрерывны.

Теорема Шварца о равенстве смешанных частных производных индуктивно распространяется на смешанные частные производные высших порядков, при условии, что они непрерывны.

• Тем не менее, условие непрерывности смешанных производных отнюдь не является необходимым в теореме Шварца.

Пример

$f(x,y)=\{\begin{array}{c}\frac{x^2{y}^2}{x^2+y^2},x^2+y^2>0\\ 0,x=y=0\end{array}\Rightarrow$ смешанные производные второго порядка равны всюду (в том числе и в точке $(0,0)$), однако частные производные второго порядка не являются непрерывными в точке $(0,0)$ Шаблон:Начало скрытого блока Так как $f(0,y)=0\mathrm{\forall }y\in ℝ,f(x,0)=0\mathrm{\forall }x\in ℝ$, то $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0$

В остальных точках

$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{2x{y}^4}{(x^2+y^2{)}^2}$

$\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{2x^{4}y}{(x^2+y^2{)}^2}$

Таким образом,

$\frac{\partial f}{\partial x}(x,0)=0\mathrm{\forall }x\in ℝ$

$\frac{\partial f}{\partial x}(0,y)=0\mathrm{\forall }y\in ℝ$

Следовательно,

$\frac{{\partial }^{2}f(x_0,y_0)}{\partial x\partial y}=\frac{{\partial }^{2}f(x_0,y_0)}{\partial y\partial x}=0$

При $(x,y)\ne (0,0)$

$\frac{{\partial }^{2}f(x_0,y_0)}{\partial x\partial y}=\frac{{\partial }^{2}f(x_0,y_0)}{\partial y\partial x}=\frac{8x^3{y}^3}{(x^2+y^2{)}^3}$

Легко видеть, что вторая смешанная производная имеет разрыв в точке $(0,0)$, так как

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}(x,x)=1$, а, например,

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}(x,-x)=-1$

Шаблон:Конец скрытого блока .