Теорема Лагранжа об обращении рядов

Материал из testwiki
Перейти к навигации Перейти к поиску

Теорема Лагранжа об обращении рядов позволяет явно записать обратную функцию к данной аналитической функции в виде бесконечного ряда. Теорема имеет приложения в комбинаторике.

Формулировка

Пусть функция f(z) аналитична в точке z0 и f′(z0)≠0. Тогда в некоторой окрестности точки w0=f(z0) обратная к ней функция f−1(w) представима рядом вида

f−1(w)=z0+∑n=1∞1n!(dn−1dzn−1(z−z0f(z)−w0)n)|z=z0(w−w0)n.

Применения

Ряд Бюрмана — Лагранжа

Ряд Бюрмана — Лагранжа определяется как разложение голоморфной функции f(z) по степеням другой голоморфной функции w(z) и представляет собой обобщение ряда Тейлора.

Пусть f(z) и w(z) голоморфны в окрестности некоторой точки a∈ℂ, притом w(a)=0 и a — простой нуль функции w(z). Теперь выберем некую область D∋a, в которой f и w голоморфны, а w однолистна в D‾. Тогда имеет место разложение вида:

f(z)=∑n=0∞dnwn(z),

где коэффициенты dn вычисляются по следующему выражению:

dn=12πi∫∂Df(ζ)w′(ζ)wn+1(ζ)dζ=1n!limz→adn−1dzn−1{f′(z)(z−a)nwn(z)}.

Теорема об обращении рядов

Частным случаем применения рядов является так называемая задача об обращении ряда Тейлора.

Рассмотрим разложение вида w=∑n=1∞anzn. Попытаемся с помощью полученного выражения вычислить коэффициенты ряда z=∑n=1∞bnwn:

bn=1n!limz→0dn−1dzn−1(zw)n.

Обобщения

В условиях теоремы для суперпозиции вида F∘f−1 справедливо представление в виде ряда

F(f−1(w))=z0+∑n=1∞1n!(dn−1dzn−1(F′(z)(z−z0f(z)−w0)n))|z=z0(w−w0)n.

Литература

Ссылки

Шаблон:Rq

Источник — https://ru.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Теорема_Лагранжа_об_обращении_рядов&oldid=5227