Симметрическое пространство

Симметрическое пространство — риманово многообразие, группа изометрий которого содержит центральные симметрии с центром в любой точке.

История

Начало изучению симметрических пространств было положено Эли Картаном. В частности им была получена классификация в 1926 году.

Примеры

Евклидово пространство,
сферы,
Различные проективные пространства с естественной метрикой.
Пространство Лобачевского
Компактные полупростые групп Ли с би-инвариантной римановой метрикой.
Любая компактная поверхность рода 2 и выше (с метрикой постоянной кривизны $- 1$ ) является локально симметрическим пространством, но не симметрическим пространством.

Определение

Пусть $M$ — связное Риманово многообразие и $p$ —точка в $M$ .

Отображение $s_{p} : M \to M$ называется геодезической симметрией с центром в точке $p$ , если

s_{p} \circ \exp_{p} = - \exp_{p} .

Отображение $s_{p} : U \to U$ , определённое на $ε$ -окрестности $U$ точки $p$ , называется локальной геодезической симметрией с центром в точке $p$ , если

s_{p} \circ \exp_{p} (v) = - \exp_{p} (v)

при $| v | < ε$ .

Риманово многообразие $M$ называется симметрическим, если центральная симметрия определена для каждой точки и при этом является изометрией $M$ .

Если то же условие выполняется для локальной геодезической симметрии, то $M$ называется локально симметрическим пространством.

Связанные определения

Односвязное симметрическое пространство считается неприводимым, если оно не изометрично произведению двух или более римановых симметрических пространств.
- Неприводимое симметрическое пространство называется пространством компактного типа, если оно имеет неотрицательную (но не равную тождественно нулю) секционную кривизну.
- Неприводимое симметрическое пространство называется пространством некомпактного типа, если оно имеет неположительную (но не равную тождественно нулю) секционную кривизну.
Рангом симметрического пространства называется максимальная размерность подпространства касательного пространства в некоторой (а значит — в любой) точке, на котором кривизна равна тождественно нулю.

Свойства

Риманово многообразие является локально симметрическим тогда и только тогда, когда его тензор кривизны параллелен.

Любое односвязное, полное локально симметрическое пространство является симметрическим.
- В частности, универсальное накрытие локально симметрического пространства является симметрическим.

Группа изометрий симметрического пространства действует на нём транзитивно.
- В частности, любое симметрическое пространство является однородным пространством $G / K$ , где $G$ — группа Ли и $K$ — её подгруппа.

Любое односвязное симметрическое пространство изометрично произведению неприводимых.

Ранг симметрического пространства всегда не меньше 1.
- Если ранг равен 1, то секционная кривизна положительна или отрицательна во всех секционных направлениях, и пространство является неприводимым.
- Пространства евклидова типа имеют ранг, равный их размерности, и изометричны евклидову пространству этой размерности.

Классификация

Любое симметрическое пространство является однородным $G / K$ , ниже дана классификация через $G$ и $K$ , обозначения прострнаств те же, что у Картана.

Обозначение	G	K	Размерность	Ранг	Геометрическое описание
AI	$S U (n)$	$S O (n)$	$(n - 1) (n + 2) / 2$	n − 1	Пространство всех вещественных структур на $ℂ^{n}$ сохраняющих комплексный определитель
AII	$S U (2 n)$	$S p (n)$	$(n - 1) (2 n + 1)$	n − 1	Пространство кватернионных структур на $ℂ^{2 n}$ с фиксированной Эрмитовой метрикой
AIII	$S U (p + q)$	$S (U (p) \times U (q))$	$2 p q$	min(p,q)	Грассманиан комплексных p-мерных подпрастранств в $ℂ^{p + q}$
BDI	$S O (p + q)$	$S O (p) \times S O (q)$	$p q$	min(p,q)	Грассманиан ориентированных p-мерных $ℝ^{p + q}$
DIII	$S O (2 n)$	$U (n)$	$n (n - 1)$	[n/2]	Пространство ортогональных комплексных структур на $ℝ^{2 n}$
CI	$S p (n)$	$U (n)$	$n (n + 1)$	n	Пространство комплексных структур на $ℍ^{n}$ сохраняющих скалярное произведение
CII	$S p (p + q)$	$S p (p) \times S p (q)$	$4 p q$	min(p,q)	Грассманиан кватернионных p-мерных подпрастранств в $ℍ^{p + q}$
EI	$E_{6}$	$S p (4) / {\pm I}$	42	6
EII	$E_{6}$	$S U (6) \cdot S U (2)$	40	4	Пространство симметрических подпространств в $(ℂ \otimes 𝕆) P^{2}$ исометричных $(ℂ \otimes ℍ) P^{2}$
EIII	$E_{6}$	$S O (10) \cdot S O (2)$	32	2	Комплексифицированная проективная плоскость Келли $(ℂ \otimes 𝕆) P^{2}$
EIV	$E_{6}$	$F_{4}$	26	2	Пространство симметрических подпространств в $(ℂ \otimes 𝕆) P^{2}$ изометричных ${𝕆 ℙ}^{2}$
EV	$E_{7}$	$S U (8) / {\pm I}$	70	7
EVI	$E_{7}$	$S O (12) \cdot S U (2)$	64	4
EVII	$E_{7}$	$E_{6} \cdot S O (2)$	54	3	Пространство симметрических подпространств в $(ℍ \otimes 𝕆) P^{2}$ изоморфных $(ℂ \otimes 𝕆) P^{2}$
EVIII	$E_{8}$	$S p i n (16) / {\pm v o l}$	128	8
EIX	$E_{8}$	$E_{7} \cdot S U (2)$	112	4	Пространство симметрических подпространств в $(𝕆 \otimes 𝕆) P^{2}$ изоморфных $(ℍ \otimes 𝕆) P^{2}$
FI	$F_{4}$	$S p (3) \cdot S U (2)$	28	4	Пространство симметрических подпространств в $𝕆 P^{2}$ изоморфных $ℍ P^{2}$
FII	$F_{4}$	$S p i n (9)$	16	1	плоскость Кэли $𝕆 P^{2}$
G	$G_{2}$	$S O (4)$	8	2	Пространство подалгебр алгебры Кэли $𝕆$ изоморфные алгебре Кватернионов $ℍ$

Вариации и обобщения

Определение через группы Ли

Более общее определение даётся на языке групп Ли. Обобщённое симметрическое пространство —это регулярное накрытие однородного пространства $G / K$ , где $G$ группа Ли и

K = {g \in G : σ (g) = g}

для некоторой инволюции $σ : G \to G$ .

Любое симметрическое пространство является обобщенным симметрическим пространством. При этом инволюция σ:G→G группы изометрий G пространства определяется как
$σ : h \mapsto s_{p} \circ h \circ s_{p}$
- Обратное верно, если $K$ компактна.

Эти обобщенные симметрические пространства включают псевдо-Римановы симметрические пространств, в которых риманова метрика заменяется псевдо-Римановой метрики. В частности

Слабо симметрические пространства

В 1950-х годах Атле Сельберг дал определение слабо симметрического пространства. Они определяются как римановы многообразия с транзитивной группой изометрий такой, что для каждой точки $p$ в $M$ и касательного вектора $v$ в $p$ , есть изометрия $i$ , зависящая от $v$ в $p$ , такая, что

$i$ фиксирует $p$ ;
$d i (v) = - v$ .

Если $i$ можно выбрать независимо от $v$ , то пространство является симметрическим.

Классификация слабо симметрических пространств дана Ахиезером и Винбергом и основана на классификации периодических автоморфизмов комплексных полупростых алгебр Ли^[1].

Сферические пространства

Компактное однородное пространство $G / K$ называется сферическим, если любое неприводимое представление группы $G$ имеет не более одного $K -$ инвариантного вектора. Симметрические пространства являются сферическими.^[2]^[3]^[4]^[5]

Эрмитовы симметрические пространствах

Симметрическое пространство, которое дополнительно снабжено параллельной комплексной структурой, согласованной с римановой метрикой, называется Эрмитовым симметрическим пространством.

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

↑ Шаблон:Citation
↑ M. Krämer, Sphärische Untergruppen in kompakten zusammenhängenden Liegruppen, Compositio Math. 38(1979), no. 2, 129–153.
↑ И. В. Микитюк, Об интегрируемости инвариантных гамильтоновых систем с однородными конфигурационными пространствами, Матем. сб. 129(171) (1986), ном. 4, 514–534. Engl. transl.: I. V. Mikityuk, On the integrability of invariant Hamiltonian systems with homogeneous configuration spaces, Math. USSR Sbornik 57(1987), no. 2, 527–546.
↑ M. Brion, Classification des espaces homogénes sphériques, Compositio Math. 63(1987), no. 2, 189–208
↑ F. Knop, B. Krötz, T. Pecher, H. Schlichtkrull. Classification of reductive real spherical pairs II. Шаблон:Wayback The semisimple case. Transformation Groups 24, 467–510 (2019)

[1] Шаблон:Citation

[2] M. Krämer, Sphärische Untergruppen in kompakten zusammenhängenden Liegruppen, Compositio Math. 38(1979), no. 2, 129–153.

[3] И. В. Микитюк, Об интегрируемости инвариантных гамильтоновых систем с однородными конфигурационными пространствами, Матем. сб. 129(171) (1986), ном. 4, 514–534. Engl. transl.: I. V. Mikityuk, On the integrability of invariant Hamiltonian systems with homogeneous configuration spaces, Math. USSR Sbornik 57(1987), no. 2, 527–546.

[4] M. Brion, Classification des espaces homogénes sphériques, Compositio Math. 63(1987), no. 2, 189–208

[5] F. Knop, B. Krötz, T. Pecher, H. Schlichtkrull. Classification of reductive real spherical pairs II. Шаблон:Wayback The semisimple case. Transformation Groups 24, 467–510 (2019)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

Симметрическое пространство

Содержание

История

Примеры

Определение

Связанные определения

Свойства

Классификация

Вариации и обобщения

Определение через группы Ли

Слабо симметрические пространства

Сферические пространства

Эрмитовы симметрические пространствах

Примечания

Литература

Навигация

Симметрическое пространство

История

Примеры

Определение

Связанные определения

Свойства

Классификация

Вариации и обобщения

Определение через группы Ли

Слабо симметрические пространства

Сферические пространства

Эрмитовы симметрические пространствах

Примечания

Литература

Навигация

Поиск