Сублинейная функция

Сублинейной функцией в математике называется функция $f:V\to ℝ$ над действительным векторным пространством $V$ (более обще вместо поля действительных чисел можно рассматривать произвольное упорядоченное поле), для которой выполняются следующие условия:

$f(\gamma x)=\gamma f\left(x\right)$  для всех $\gamma \in {ℝ}_{+}$ и всех x ∈ V (положительная однородность),

$f(x+y)⩽f(x)+f(y)$  для всех x, y ∈ V (субаддитивность).

Эквивалентные определения

Эквивалентно в определении условие субадитивности можно заменить условием выпуклости, согласно которому для функции должно выполняться неравенство:

$f(\gamma x+(1-\gamma )y)⩽\gamma f(x)+(1-\gamma )f(y)$  для всех x, y ∈ V и $0⩽\gamma ⩽1$.

Действительно, если функция является положительно однородной и выпуклой, то:

$f(x+y)=2f\left(\frac{x+y}{2}\right)⩽2(\frac{1}{2}f(x)+\frac{1}{2}f(y))=f(x)+f(y).$

Из сублинейности и положительной однородности тоже, очевидно, следует выпуклость. Учитывая это альтернативное определение, такой тип функций иногда называют однородно-выпуклыми. Другое распространенное название — функционал Банаха, несмотря на появление такого типа функционалов в утверждении теоремы Хана — Банаха.

Другое альтернативное определение: функция $f:V\to ℝ$ является сублинейной тогда и только тогда, когда выполняется условие:

$f(\gamma x+\delta y)⩽\gamma f(x)+(1-\gamma )f(y)$  для всех x, y ∈ V и всех $0<\gamma ,\delta$.

Примеры

• Каждая линейная функция является, очевидно, сублинейной. Сублинейной будет также и функция $p(x)=|f(x)|$, если $f(x)$ — линейная.
• Длина вектора в $n$-мерном евклидовом пространстве является сублинейной функцией. Здесь условие субаддитивности означает, что длина суммы двух векторов не превышает сумму их длин (неравенство треугольника), а положительная однородность непосредственно следует из определения длины вектора в ${ℝ}^n.$
• Пусть M — пространство ограниченных последовательностей $x=(x_1,x_2,\dots ,x_i,\dots ).$

Функционал:

$f(x)=\underset{i}{\sup }|x_i|$

является сублинейным.

Свойства

• $f(0)=0.$ Данное утверждение получается подстановкой x = 0 в уравнение положительной однородности.
• Ненулевая сублинейная функция может быть неотрицательной, но если $f(x)⩽0,\mathrm{\forall }x\in V$, тогда данная функция всюду равна нулю. Это следует из неравенства:

$0=f(x+(-x))⩽f(x)+f(-x),\mathrm{\forall }x\in V$

согласно которому если f(x) является отрицательным числом то f(-x) должно быть положительным.

• Для любого $\gamma$ выполняется неравенство:

$f(\gamma x)⩾\gamma f\left(x\right)$

При $\gamma >0$ это следует из определения положительной однородности, при $\gamma =0$ — из первого свойства, если же $\gamma <0$, то из неравенства в предыдущем свойстве получаем:

$0⩽f(\gamma x)+f(|\gamma |x)=f(\gamma x)+|\gamma |f(x)$

или:

$f(\gamma x)⩾-|\gamma |f(x)=\gamma f(x).$

См. также

• Теорема Хана — Банаха