Теорема Хана — Банаха

Теоре́мой Ха́на — Ба́наха называют несколько связанных между собой классических результатов функционального анализа, в частности

• Теорему о продолжении линейного функционала с сохранением мажоранты;
• Теорему о разделении выпуклых множеств;
• Теорему о непрерывном или положительном продолжении линейного функционала.

Теорема о продолжении линейного функционала с сохранением мажоранты

Легко показать, что одной лишь положительной однородности (такая ошибочная формулировка приведена в Математической энциклопедии) или субаддитивности функционала $p$ для справедливости этой теоремы недостаточно.

Контрпример для положительно однородного функционала: $X=ℝ$, $Y=\{0\}$, $p(x):=-|x|,x\in X,f(0)=0$.

Широко известны различные варианты теоремы о продолжении линейного функционала с сохранением мажоранты для линейных пространств над полем комплексных чисел, когда $p$ — полунорма.

Теорема о непрерывном продолжении линейного функционала

Из этих теорем вытекает много важных следствий. Одно из них:

Доказательство

Сначала докажем, что существует продолжение в одном направлении. Пусть $z\in X\setminus Y$. Рассмотрим линейное пространство вида:

$Y_z\doteq \{y+az,y\in Y,a\in ℝ\}.$

Продолжение $f$ на $Y_z$ запишем:

$\tilde{f}(y+az)\doteq f(y)+a\tilde{f}(z),$

где $\tilde{f}(z)$ — вещественное число, которое необходимо определить. Для произвольных $y_1,y_2\in Y$ и $a,b>0$ выполняется:

$f(a{y}_1+b{y}_2)=(a+b)f(\frac{a}{a+b}{y}_1+\frac{b}{a+b}{y}_2)⩽$

$⩽(a+b)p(\frac{a}{a+b}{y}_1+\frac{b}{a+b}{y}_2)=$

$=(a+b)p(\frac{a}{a+b}(y_1-bz)+\frac{b}{a+b}(y_2+az))⩽$

$⩽ap(y_1-bz)+bp(y_2+az).$

Отсюда

$a(f(y_1)-p(y_1-bz))⩽-b(f(y_2)-p(y_2+az))$

Как следствие

$\frac{1}{b}(-p(y_1-bz)+f(y_1))⩽\frac{1}{a}(p(y_2+az)-f(y_2))\mathrm{\forall }{y}_1,y_2\in Y,\mathrm{\forall }a,b>0.$

Определим $c\in ℝ$ так

$\underset{a>0,y\in Y}{\sup }\left\{\frac{1}{a}[-p(y-az)+f(y)]\right\}⩽c⩽\underset{a>0,y\in Y}{\inf }\left\{\frac{1}{a}[p(y+az)-f(y)]\right\}.$

Выполняется равенство

$ac⩽p(y+az)-f(y)\mathrm{\forall }y\in Y,\mathrm{\forall }a\in ℝ$.

Определим

$\tilde{f}(z)=c.$

Для всех $y\in Y$ и произвольных $a\in ℝ$ выполняется неравенство:

$\tilde{f}(y+az)=f(y)+ac⩽p(y+az),$

поэтому

$\tilde{f}(x)⩽p(x)\mathrm{\forall }x\in Y_z.$

Для завершения доказательства используем лемму Цорна. Пусть $E$ является множеством всех возможных продолжений, удовлетворяющих условия теоремы. Данное множество является частично упорядоченным из-за включения областей определения, и каждое линейно упорядоченное подмножество имеет супремум (объединение областей определения). Поэтому по лемме Цорна данное множество имеет максимальный элемент. Данный элемент равен всему пространству, иначе в противном случае можно осуществить дальнейшее продолжение воспользовавшись только определенной конструкцией.

См. также

• Выпуклый функционал
• Банаховы пределы

Литература

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981. 544 с.
• Пугачев В. С. Лекции по функциональному анализу. М.: Изд-во МАИ, 1996. 744 с.
• Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Том 1. Функциональный анализ. М.: Мир, 1977. 358 c.
• Рудин У. Функциональный анализ. М.: Мир, 1975.
• Вайнберг М. М. Функциональный анализ. — М.: Просвещение, 1979. — 128 с.