Выпуклый функционал

Выпуклый функционал — функционал, являющийся выпуклой функцией, то есть, надграфик которого является выпуклым множеством.

Формально, функционал $p$, определённый на линейном пространстве $L$, называется выпуклым, если выполненоШаблон:Sfn:

$p(\alpha x+\beta y)\le \alpha p(x)+\beta p(y),\mathrm{\forall }x,y\in L,\mathrm{\forall }\alpha ,\beta ⩾0,\alpha +\beta =1$.

Примерами выпуклых функционалов являются полунорма, норма, линейный функционал и функционал Минковского выпуклого и симметричного множества.

Если $p$ и $q$ — выпуклые функционалы, $\alpha$ — положительное число, то следующие функционалы являются выпуклыми:

• $(p+q)(x)=p(x)+q(x)$
• $(\alpha p)(x)=\alpha p(x)$
• $(p\vee q)(x)=\max (p(x),q(x))$
• Инфимальная конволюция: $(p\oplus q)(x)=\underset{y+z=x}{\inf }(p(y)+q(z))$

Теория выпуклых функционалов используется в выпуклом программированииШаблон:Sfn.

Ссылки

• Половинкин Е. С, Балашов М. В. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. — М.: Физматлит, 2004. — 416 с. — ISBN 5-9221-0499-3.
• Шаблон:Из

Литература

• Шаблон:Книга

Шаблон:Rq