Банаховы пределы

Линейный функционал $\mathrm{B}\in l_{\mathrm{\infty }}^{\ast }$ называется банаховым пределом если выполняются следующие 3 условия:
1) $B(\mathrm{𝟏})=1$

2) $B\ge 0$ для любых $x\ge 0$

3) $B(Tx)=B(x)$ для любого $x\in l_{\mathrm{\infty }}$ , где $T$ — оператор сдвига, действующий следующим образом: $T(x_1,x_2,x_3,\mathrm{...})=(x_2,x_3,\mathrm{...})$

Существование таких пределов было доказано Стефаном БанахомШаблон:Sfn. Из определения следует, что $\Vert B{\Vert }_{l_{\mathrm{\infty }}^{\ast }}=1$ и $B(x_1,x_2,\mathrm{...})=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n$, если последовательность $x_1,x_2,\mathrm{...}$ сходится. Множество банаховых пределов обозначается как $𝔅$. $𝔅$ — выпуклое замкнутое множество на единичной сфере пространства $l_{\mathrm{\infty }}^{\ast }$. Из неравенства треугольника следует, что для любых $B_1,B_2\in 𝔅$ справедливо неравенство $\Vert B_1-B_2\Vert \le 2$. Если $B_1$ и $B_2$ являются крайними точками множества $𝔅$, то $\Vert B_1-B_2\Vert =2$Шаблон:Sfn.

Лемма 1

Различные банаховы пределы несравнимы, то есть если $B_1(x)\le B_2(x)\mathrm{\forall }x\in l_{\mathrm{\infty }}x\ge 0$, то $B_1(x)=B_2(x)$ Шаблон:Sfn. Шаблон:Начало скрытого блока Если $B_1(u)\le B_2(u)$ для какого-то $u\in l_{\mathrm{\infty }}u\ge 0\Rightarrow \mathrm{\forall }\lambda >0u\ne 0B_1(\lambda u)<B_2(\lambda u)$ . Возьмём $0<\lambda <\frac{1}{\Vert u\Vert }\Rightarrow 0\le \lambda u\le \mathrm{𝟏}\Rightarrow \mathrm{𝟏}-\lambda u\ge 0$ , $B_1(\mathrm{𝟏}-\lambda u)=1-B_1(\lambda u)>1-B_2(\lambda u)=B_2(\mathrm{𝟏}-\lambda u)$

Получаем противоречие, которое доказывает леммуШаблон:Sfn. Шаблон:Конец скрытого блока

Теорема 1

Функционал $f\in l_{\mathrm{\infty }}^{\ast }$ можно представить в виде $f=B_1-B_2$ ($B_1,B_2\in 𝔅$) тогда и только тогда, когда

1. $f(Tx)=f(x)$ для всех $x\in l_{\mathrm{\infty }}$
2. $f(\mathrm{𝟏})=1$
3. $\Vert f{\Vert }_{l_{\mathrm{\infty }}^{\ast }}\le 2$

Для того, чтобы при указанных условиях данное представление было единственным, необходимо и достаточно, чтобы $\Vert f{\Vert }_{l_{\mathrm{\infty }}^{\ast }}=2$ Шаблон:Sfn. Шаблон:Начало скрытого блока Необходимость условий 1.—3. вытекает из определения банаховых пределов. Для доказательства достаточности определим функционал

$g=\max (f,0)=\underset{0\le u\le x}{\sup }f(u)g\in l_{\mathrm{\infty }}^{\ast }g\ge 0\mathrm{\forall }x\le 0$

Используя свойства 1.—3. получаем:

$g(\mathrm{𝟏})=\underset{0\le u\le \mathrm{𝟏}}{\sup }f(u)=\underset{0\le u+\frac{1}{2}\mathrm{𝟏}\le \mathrm{𝟏}}{\sup }f(u+\frac{1}{2}\mathrm{𝟏})=\underset{-\frac{1}{2}\mathrm{𝟏}\le u\le \frac{1}{2}\mathrm{𝟏}}{\sup }(f(u)+\frac{1}{2}f(\mathrm{𝟏}))=\underset{\left|u\right|\le \frac{1}{2}\mathrm{𝟏}}{\sup }f(u)=\frac{1}{2}\Vert f{\Vert }_{l_{\mathrm{\infty }}^{\ast }}\le 1$

Для

$B\in 𝔅$

справедливо, что

$B_1=g+(1-\frac{\Vert f\Vert }{2})B\ge 0B_1(Tx)=B_1(x)B_1(\mathrm{𝟏})=1$,

значит $B_1$ — банахов предел. То же самое верно для функционала $B_2=B_1-f=g-f+(1-\frac{\Vert f\Vert }{2})B$. По построению $B_1-B_2=f$. Докажем единственность такого представления при $\Vert f\Vert =0$. Пусть $f=B_1-B_2$ при $\Vert f\Vert =0$.

$B_1=f+B_2{B}_2=f-B_1$

$B_1\ge 0B_1\ge 0\Rightarrow B_1\ge f{B}_2\ge f$

$B_1\ge \max (f,0)B_2\ge \max (-f,0)$

Выше доказано, что $max(f,0)\in 𝔅$, аналогичные рассуждения показывают, что $max(-f,0)\in 𝔅$. По лемме 1 получаем

$B_1=\max (f,0)B_2=\max (-f,0)$

Теорема доказанаШаблон:Sfn. Шаблон:Конец скрытого блока

Понятие почти сходимости

Для заданных $a\in {ℝ}^1$ , $x\in l_{\mathrm{\infty }}$, для любых $\mathrm{B}\in 𝔅$

$B(x)=a\iff \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1}{n}\sum _{k=m+1}^{m+n}{x}_k=a$

равномерно по $m\in \mathbb{N}$ Шаблон:Sfn. Последнее равенство называется критерием Лоренца. Его можно уточнить следующим образомШаблон:Sfn:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{m\in \mathbb{N}}{\inf }\frac{1}{n}\sum _{k=m+1}^{m+n}{x}_k\le B(x)\le \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{m\in \mathbb{N}}{\sup }\frac{1}{n}\sum _{k=m+1}^{m+n}{x}_k$

Последовательность $x\in l_{\mathrm{\infty }}$ называется почти сходящейся к числу $a\in {ℝ}^1$, если значения всех банаховых пределов на этой последовательности равны $a$. Используется следующее обозначение: $Lim{x}_k=a$. Множество почти сходящихся последовательностей имеет обозначение $ac$. $ac$ — линейное не сепарабельное пространство, замкнутое и нигде не плотное в $l_{\mathrm{\infty }}$ . Множество почти сходящихся к числу $s$ последовательностей обозначается как $a{c}_s$. Ясно, что $a{c}_s\subset ac$ для любого $s$ Шаблон:Sfn.

Пример

Последовательность $x=(1,0,1,0,\mathrm{...})$ не имеет обычного предела, но $Limx=\frac{1}{2}$ . Для проверки равенства можно использовать критерий Лоренца или свойство данной последовательности: $x_k=1-x_{k+1}$ .

$Lim{x}_k=Lim(\mathrm{𝟏}-x_{k+1})=1-Lim{x}_{k+1}=1-Lim{x}_k$

Также можно будет использовать следующую лемму:

Лемма 2

Любая периодическая последовательность почти сходится к числу, равному среднему арифметическому значений по периоду Шаблон:Sfn.

Характеристические функции

Системой Радемахера называется последовательность функций

$r_n(t)=\mathrm{sgn}\sin (2^n\pi t)n\in \mathbb{N}t\in [0,1]$

Каждому $B\in 𝔅$ можно поставить в соответствие функцию

$f_B(t)=B(r_n(t))$

которая называется характеристической функцией банахова предела $B$. $f_B$ — комплекснозначная функцияШаблон:Sfn.

Теорема 2

Если $A,B\in 𝔅$ и $f_A(t)\le f_B(t)$ для всех $t\in (0,1)$ , то $A=B$ для всех $x\in l_{\mathrm{\infty }}$ Шаблон:Sfn.

Свойства характеристических функций

Пусть $A,B\in 𝔅$ , тогда

1. $f_B(t)$ периодична, причём периодом является любое двоично-рациональное число из $(0,1)$
2. $f_B(t)=f_B(\frac{t}{2})$ для любых $t\in (0,1)$
3. $\mathrm{\forall }\lambda \in [0,1]\mathrm{\exists }x\in 2^{\mathbb{N}}\cap ac$ , что $B(x)=\lambda$ для любого $B\in 𝔅$ и $Im{f}_B=[-1,1]$
4. график $f_B$ плотен в прямоугольнике $[0,1]\times [-1,1]$
5. $f_B(t)+f_B(1-t)=0$ для всех $t\in (0,1)$

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:КнигаШаблон:Ref-en
• Шаблон:Книга
• Шаблон:СтатьяШаблон:Ref-en