Ряд из натуральных чисел

Первые четыре частичные суммы натурального ряда. Изображённая парабола является сглаживающей асимптотой этих сумм и пересекает ось ординат на отметке −1/12

Ряд из натуральных чисел — числовой ряд (бесконечная сумма элементов), членами которого являются последовательные натуральные числа: $1+2+3+4+\dots$; при этом Шаблон:Mvar-я частичная сумма ряда является треугольным числом:

$\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2},$

которое неограниченно растёт при стремлении $n$ к бесконечности. Из-за того, что последовательность частичных сумм ряда не имеет конечного предела, ряд расходится, то есть не имеет конечной суммы.

Из-за расходимости ряд не имеет никакой значимой ценности для традиционных математических подходов. Но при некотором уровне манипулирования можно получить нетривиальные результаты, находящие применение в комплексном анализе, квантовой теории поляШаблон:Нет АИ и теории струн.

Специальные методы суммирования

В математике существуют методы суммирования, которые позволяют присвоить определённые числовые значения (конечные) даже расходящимся рядам. Одним из таких способов является метод, основанный на регуляризации аналитического продолжения дзета-функции Римана. Другим популярным вариантом является Шаблон:Не переведено. Многие из подобных методов присваивают ряду одинаковое значение в виде отрицательной дроби:

$1+2+3+4+\cdots =-\frac{1}{12}$

Частичные суммы

Первые шесть треугольных чисел

Частичными суммами натурального ряда являются 1, 3, 6, 10, 15 и т. д. Таким образом, Шаблон:Mvar-я частичная сумма выражается формулой

$\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}.$

Это выражение было известно ещё Пифагору в VI веке до нашей эры. Числа такого вида называются треугольными, так как они могут быть представлены в виде треугольника.

Бесконечная последовательность треугольных чисел стремится к $+\mathrm{\infty }$ и, следовательно, бесконечная сумма натурального ряда также стремится к $+\mathrm{\infty }$. Такой результат является следствием невыполнения необходимого условия сходимости числового ряда.

Суммируемость

В сравнении с другими классическими расходящимися рядами, натуральному ряду сложнее приписать имеющее смысл некоторое конечное числовое значение. Существует множество методов суммирования, некоторые из которых являются более устойчивыми и мощными. Так, например, суммирование по Чезаро является широко известным методом, который суммирует умеренно расходящийся ряд Гранди Шаблон:Nowrap и приписывает ему конечное значение 1/2. Суммирование методом Абеля представляет собой более мощный метод, который, кроме ряда Гранди, позволяет также суммировать более сложный знакочередующийся ряд натуральных чисел и присвоить ему значение 1/4.

В отличие от упомянутых выше рядов, как суммирование по Чезаро, так и метод Абеля неприменимы к натуральному ряду. Эти методы работают только со сходящимися и гармоническими рядами и не могут быть использованы для ряда, частичные суммы которого стремятся к Шаблон:Math. Большинство элементарных определений суммы расходящегося ряда являются линейными и устойчивыми, а любой линейный и устойчивый метод не может присвоить натуральному ряду конечное значение.

Следовательно, для этого случая возможно применение только специальных методов, таких как регуляризация дзета-функцией или суммирование Рамануджана.

Эвристические предпосылки

Отрывок из первой заметки Рамануджана, описывающей конечное значение ряда

В главе 8 первого сборника своих трудов Рамануджан показал, что «1 + 2 + 3 + 4 + … = −1/12», используя два способа. Ниже излагается более простой метод, состоящий из двух этапов.

Первое ключевое наблюдение состоит в том, что ряд Шаблон:Nowrap похож на знакочередующийся ряд натуральных чисел Шаблон:Nowrap. Несмотря на то, что этот ряд также является расходящимся, с ним намного проще работать. Существует несколько классических способов присвоить конечное значение этому ряду, известных ещё с XVIII века.

Для того, чтобы привести ряд Шаблон:Nowrap к виду Шаблон:Nowrap, мы можем вычесть 4 из второго члена, 8 из четвёртого члена, 12 из шестого и т. д. Общая величина, которую нужно вычесть, выражается рядом Шаблон:Nowrap, который получается умножением исходного ряда Шаблон:Nowrap на 4. Эти выражения можно записать в алгебраической форме. Что бы из себя ни представляла «сумма», введём для неё обозначение Шаблон:Nowrap, умножим полученное уравнение на 4 и вычтем второе из первого:

$\begin{array}{ccccccc}c& =& 1+2& & +3+4& & +5+6+\cdots ,\\ 4c& =& 4& & +8& & +12+\cdots ,\\ -3c& =& 1-2& & +3-4& & +5-6+\cdots .\end{array}$

Второе ключевое наблюдение заключается в том, что ряд Шаблон:Nowrap является разложением в степенной ряд функции 1/(1 + Шаблон:Mvar)² при Шаблон:Mvar, равном 1. Соответственно, Рамануджан заключает:

$-3c=1-2+3-4+\cdots =\frac{1}{(1+1{)}^2}=\frac{1}{4}.$

Поделив обе части на −3, получаем Шаблон:Mvar = −1/12.

Строго говоря, существует неоднозначность при работе с бесконечными рядами в случае использования методов, предназначенных для конечных сумм (наподобие тех методов, что были использованы выше), в особенности если эти бесконечные ряды расходятся. Неоднозначность заключается в том, что если вставить ноль в любое место в расходящемся ряде, существует вероятность получить противоречивый результат. Например, действие Шаблон:Nowrap противоречит свойствам сложения.

Одним из способов обойти эту неопределённость и тем самым ограничить позиции, куда можно вставить ноль, является присвоение каждому члену ряда значения некоторой функции. Для ряда Шаблон:Nowrap, каждый член Шаблон:Mvar представляет собой натуральное число, которое может быть представлено в виде функции Шаблон:Math, где Шаблон:Mvar — некоторая комплексная переменная. Используя такое представление, можно гарантировать, что все члены ряда последовательны. Таким образом, присвоив Шаблон:Mvar значение −1, можно выразить рассматриваемый ряд в строгом виде. Реализация этого способа носит название регуляризации дзета-функцией.

Исследования Леонарда Эйлера над расходящимися рядами

В De seriebus divergentibus Эйлер упоминает ряд 1 + 2 + 3 + 4 + … наряду с расходящимся геометрическим рядом 1 + 2 + 4 + 8 + …. Он намекает, что ряды этого типа могут иметь конечные, отрицательные суммы в специальном смысле, и объясняет, что это значит для геометрических рядов, но не возвращается к детальному обсуждению 1 + 2 + 3 + 4 + ….

Современная интерпретация, связывающая 1 + 2 + 3 + 4 + … с −1/12, основана на аналитическом продолжении зет-функции, где ζ(−1) = −1/12. Однако Эйлер, по-видимому, не использовал этот результат явно, сосредоточившись на других методах, таких как разложения функций и геометрические интерпретации. Его утверждение о «конечных, отрицательных суммах» для некоторых расходящихся рядов указывает на попытки интерпретировать такие объекты в нетрадиционном контексте, что стало важным шагом к развитию современной теории рядов и функций.

Регуляризация дзета-функцией

График функции ζ(s). Для Шаблон:Nowrap, ряд сходится и Шаблон:Nowrap. Аналитическое продолжение в окрестности Шаблон:Nowrap приводит к отрицательным значениям, в частности Шаблон:Nowrap

В этом методе, ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n$ заменяется рядом $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{n}^{-s}$. Последний ряд является частным случаем ряда Дирихле. Если действительная часть s больше 1, ряд Дирихле сходится, и его сумма представляет собой дзета-функцию Римана ζ(s). С другой стороны, если действительная часть s меньше или равна 1, ряд Дирихле расходится. В частности, ряд Шаблон:Nowrap, который получается подстановкой s = −1, не является сходящимся. Преимущества перехода к дзета-функции Римана заключается в том, что, используя метод аналитического продолжения, она может быть определена для s ⩽ 1. Следовательно, мы можем получить значение регуляризованной дзета-функции ζ(−1) = −1/12.

Существует несколько способов доказать, что Шаблон:Nowrap Один из методов использует связь между дзета-функцией Римана и Шаблон:Не переведено η(s). Эта-функция выражается знакопеременным рядом Дирихле, согласуясь тем самым с ранее представленными эвристическими предпосылками. Тогда как оба ряда Дирихле сходятся, следующие тождества верны:

$\begin{array}{cccccccc}\zeta (s)& =& 1^{-s}+2^{-s}& & +3^{-s}+4^{-s}& & +5^{-s}+6^{-s}+\cdots ,& \\ 2\cdot 2^{-s}\zeta (s)& =& 2\cdot 2^{-s}& & +2\cdot 4^{-s}& & +2\cdot 6^{-s}+\cdots ,& \\ (1-2^{1-s})\zeta (s)& =& 1^{-s}-2^{-s}& & +3^{-s}-4^{-s}& & +5^{-s}-6^{-s}+\cdots & =\eta (s).\end{array}$

Тождество $(1-2^{1-s})\zeta (s)=\eta (s)$ остаётся справедливым если мы продолжим обе функции аналитически в область значений s, где вышезаписанные ряды расходятся. Подставляя Шаблон:Nowrap, получим Шаблон:Nowrap Отметим, что вычисление η(−1) является более простой задачей, так как значение эта-функции выражается значением суммы Абеля соответствующего ряда и представляет собой односторонний предел:

$-3\zeta (-1)=\eta (-1)=\underset{x\nearrow 1}{\lim }(1-2x+3x^2-4x^3+\cdots )=\underset{x\nearrow 1}{\lim }\frac{1}{(1+x{)}^2}=\frac{1}{4}.$

Поделив обе части выражения на −3, получаем Шаблон:Nowrap

Суммирование методом Рамануджана

Суммирование ряда Шаблон:Nowrap методом Рамануджана также позволяет получить значение −1/12. В своём втором письме к Х. Г. Харди, датированном 27 февраля 1913, Рамануджан пишет:

Уважаемый Сэр, я с большим удовольствием прочёл ваше письмо от 8 февраля 1913 года. Я ожидал, что вы ответите мне в том же стиле, что и профессор математики из Лондона, который посоветовал мне внимательно изучить «Бесконечные ряды» Томаса Бромвича и не попадать в ловушку, которую таят расходящиеся ряды. … Я ответил ему, что, согласно моей теории, сумма бесконечного числа членов ряда Шаблон:Nowrap. Узнав это, вы сию же минуту укажете в направлении психиатрической лечебницы. Уверяю, вы не сможете проследить нить рассуждений в моём доказательстве этого факта, если я попытаюсь изложить их в единственном письме.

Метод суммирования Рамануджана заключается в изолировании постоянного члена в формуле Эйлера — Маклорена для частичных сумм ряда. Для некоторой функции f, классическая сумма Рамануджана для ряда $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}f(k)$ определена как

$c=-\frac{1}{2}f(0)-\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2k}}{(2k)!}{f}^{(2k-1)}(0),$

где f^(2k−1) представляет собой (2k−1)-ю производную функции f и B_2k является 2k-м числом Бернулли: Шаблон:Nowrap, Шаблон:Nowrap и т. д. Принимая Шаблон:Nowrap, первая производная f равна 1, а все остальные члены стремятся к нулю, поэтому:

$c=-\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{2!}=-\frac{1}{12}.$

Для избежания противоречий современная теория метода суммирования Рамануджана требует, чтобы функция f являлась «регулярной» в том смысле, что её производные высших порядков убывают достаточно быстро для того, чтобы оставшиеся члены в формуле Эйлера — Маклорена стремились к 0. Рамануджан неявно подразумевал это свойство. Требование регулярности помогает избежать использования метода суммирования Рамануджана для рядов типа 0 + 2 + 0 + 4 + … потому, что не существует регулярной функции, которая выражалась бы значениями такого ряда. Такой ряд должен интерпретироваться с использованием регуляризации дзета-функцией.

Несостоятельность устойчивых линейных методов суммирования

Линейный и устойчивый метод суммирования не в состоянии присвоить конечное значение ряду 1 + 2 + 3 + … (Устойчивый означает, что добавление члена в начало ряда увеличивает сумму ряда на величину этого члена.) Это утверждение может быть продемонстрировано следующим образом. Если

1 + 2 + 3 + … = x,

тогда, добавляя 0 к обеим частям, получаем

0 + 1 + 2 + … = 0 + x = x,

исходя из свойства устойчивости. Вычитая нижний ряд из верхнего, получаем

1 + 1 + 1 + … = x − x = 0,

исходя из свойства линейности. Добавляя 0 к обеим частям повторно, получаем

0 + 1 + 1 + 1 + … = 0

и вычитая два последних ряда, приходим к

1 + 0 + 0 + … = 0,

что противоречит свойству устойчивости.

Методы, использованные выше, для суммирования 1 + 2 + 3 + … являются либо только устойчивыми, либо только линейными. Например, существует два разных метода, называемых регуляризацией дзета-функцией. Первый является устойчивым, но нелинейным и определяет сумму a + b + c + … множества чисел как значение аналитического продолжения выражения 1/a^s + 1/b^s + 1/c^s + при s = −1. Второй метод линейный, но неустойчивый и определяет сумму последовательности чисел как значение аналитического продолжения выражения a/1^s + b/2^s + c/3^s при s = 0. Оба метода присваивают ряду 1 + 2 + 3 + … значение суммы ζ(−1) = −1/12.

Применение в физике

Значение −1/12 встречается в теории бозонных струн при попытке рассчитать возможные энергетические уровни струны, а именно низший энергетический уровень.

Регуляризация ряда 1 + 2 + 3 + 4 + … также встречается при расчёте эффекта Казимира для скалярного поля в одномерном пространстве. Похожие вычисления возникают для трёхмерного пространства, однако в этом случае вместо дзета-функции Римана используются реальныеШаблон:Уточнить аналитические ряды Эйзенштейна.

Список литературы

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Ссылки

• This Week’s Finds in Mathematical Physics (Week 124), (Week 126), (Week 147), (Week 213)
  • Euler’s Proof That 1 + 2 + 3 + · · · = −1/12 — By John Baez
  • Шаблон:Cite web
• The Euler-Maclaurin formula, Bernoulli numbers, the zeta function, and real-variable analytic continuation by Terence Tao
• A recursive evaluation of zeta of negative integers by Luboš Motl
• ASTOUNDING: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … = −1/12 Numberphile video with over a million views
  • Sum of Natural Numbers (second proof and extra footage) includes demonstration of Euler’s method.
  • What do we get if we sum all the natural numbers? response to comments about video by Tony Padilla
  • Related article from New York TImes
• Divergent Series: why 1 + 2 + 3 + · · · = −1/12 by Brydon Cais from University of Arizona