Просмотр кода страницы Алгебра Кэли

'''А́лгебра Кэ́ли''' — система [[Гиперкомплексное число|гиперкомплексных чисел]], 8-[[Размерность пространства|мерная]] [[алгебра над полем]] [[Вещественное число|вещественных чисел]].
Обычно обозначается <math>\mathbb{O}</math>, поскольку её элементы ('''''числа Кэли''''') называются иногда ''октонионами'' или ''октавами''.

Впервые рассмотрена в [[1843 год в науке|1843 году]] {{iw|Грейвс, Джон|Джоном Грейвсом||John T. Graves}}, приятелем<ref name="Graves">{{cite web
 |url         = http://www.kirsoft.com.ru/freedom/KSNews_179.htm
 |title       = Куда же спряталась самая свободная алгебра?
 |date        = 2003-01-26
 |format      = HTML
 |archiveurl  = https://web.archive.org/web/20120227131134/http://www.kirsoft.com.ru/freedom/KSNews_179.htm
 |archivedate = 2012-02-27
 |accessdate  = 2009-10-04
 |deadlink    = yes
 }}</ref> [[Гамильтон, Уильям Роуэн|Уильяма Гамильтона]], а двумя годами позже — независимо [[Кэли, Артур|Артуром Кэли]].

Число Кэли — это [[Линейное пространство|линейная комбинация]] элементов <math>\{1, i, j, k, l, il, jl, kl\}</math>, то есть октава <math>x</math> может быть записана в форме:
: <math>x = x_0 + x_1\,i + x_2\,j + x_3\,k + x_4\,l + x_5\,il + x_6\,jl + x_7\,kl</math>
с вещественными коэффициентами <math>x_i</math>. Октонионы находят применение в физике, в частности, в [[Специальная теория относительности|специальной теории относительности]] и [[Теория струн|теории струн]]<ref>[http://www.incunabula.org/blog/articles/stewart.html Ian Stewart: The Missing Link] {{Wayback|url=http://www.incunabula.org/blog/articles/stewart.html |date=20100505023503 }} {{недоступная ссылка|число=19|месяц=05|год=2013|url=http://www.incunabula.org/blog/articles/stewart.html}}{{ref-en}}. Ссылка недоступна по состоянию на 6 ноября 2010. <br>[http://tech.groups.yahoo.com/group/cph_theory/message/6401 Статья ''The missing link'']{{Недоступная ссылка}} на yahoo.com, [http://www.scientific.ru/journal/western/mislink.html русский перевод] {{Wayback|url=http://www.scientific.ru/journal/western/mislink.html |date=20100506020444 }} на scientific.ru.</ref>.

== Таблицы умножения ==
[[Таблица умножения]] элементов октавы: 
{| class="wikitable" style="align: center; text-align: right;"
! 1
! ''i'' (''e1'')
! ''j'' (''e2'')
! ''k'' (''e3'')
! ''l'' (''e4'')
! ''il'' (''e5'')
! ''jl'' (''e6'')
! ''kl'' (''e7'')
|-
! ''i'' (''e1'')
| −1
| ''k''
| −''j''
| ''il''
| −''l''
| −''kl''
| ''jl''
|-
! ''j'' (''e2'')
| −''k''
| −1
| ''i''
| ''jl''
| ''kl''
| −''l''
| −''il''
|-
! ''k'' (''e3'')
| ''j''
| −''i''
| −1
| ''kl''
| −''jl''
| ''il''
| −''l''
|-
! ''l'' (''e4'')
| −''il''
| −''jl''
| −''kl''
| −1
| ''i''
| ''j''
| ''k''
|-
! ''il'' (''e5'')
| ''l''
| −''kl''
| ''jl''
| −''i''
| −1
| −''k''
| ''j''
|-
! ''jl'' (''e6'')
| ''kl''
| ''l''
| −''il''
| −''j''
| ''k''
| −1
| −''i''
|-
! ''kl'' (''e7'')
| −''jl''
| ''il''
| ''l''
| −''k''
| −''j''
| ''i''
| −1
|}
[[Файл:FanoMnemonic.PNG|thumb|210px|[[Плоскость Фано]] для [[Мнемоника|мнемонического]] запоминания таблицы умножения]]

Таблица (Кэли) умножения октонионов<ref>Антисимметрия по диагонали для −1</ref>:
{| class="wikitable" style="text-align: center;"
|-
 !style=background:#FAEBD7 |{{math|''e''<sub>0</sub>}}
  !{{math|'''e'''<sub>1</sub>}}
  !{{math|'''e'''<sub>2</sub>}}
  !{{math|'''e'''<sub>3</sub>}}
  !{{math|'''e'''<sub>4</sub>}}
  !{{math|'''e'''<sub>5</sub>}}
  !{{math|'''e'''<sub>6</sub>}}
  !{{math|'''e'''<sub>7</sub>}}
 |-
!{{math|'''e'''<sub>1</sub>}}
   | bgcolor=#FAEBD7 |{{math|−1}}
  | bgcolor=#D3D3D3|{{math|e<sub>3</sub>}}
  | bgcolor=#D3D3D3 |{{math|−e<sub>2</sub>}}
  ||{{math|e<sub>5</sub>}}
  ||{{math|−e<sub>4</sub>}}
  |bgcolor=#D3D3D3 |{{math|−e<sub>7</sub>}}
  ||{{math|e<sub>6</sub>}}
 |-
!{{math|'''e'''<sub>2</sub>}}
 | bgcolor=#D3D3D3 |{{math|−e<sub>3</sub>}}
  | bgcolor=#FAEBD7 |{{math|−1}}
  | bgcolor=#D3D3D3 |{{math|e<sub>1</sub>}}
  ||{{math|e<sub>6</sub>}}
  |bgcolor=#D3D3D3 |{{math|e<sub>7</sub>}}
  ||{{math|−e<sub>4</sub>}}
  ||{{math|−e<sub>5</sub>}}
|-
!{{math|'''e'''<sub>3</sub>}}
  | bgcolor=#D3D3D3 |{{math|e<sub>2</sub>}}
  | bgcolor=#D3D3D3 |{{math|−e<sub>1</sub>}}
   | bgcolor=#FAEBD7 |{{math|−1}}
  |bgcolor=#D3D3D3 |{{math|e<sub>7</sub>}}
  ||{{math|−e<sub>6</sub>}}
  ||{{math|e<sub>5</sub>}}
  ||{{math|−e<sub>4</sub>}}
|-
!{{math|'''e'''<sub>4</sub>}}
  ||{{math|−e<sub>5</sub>}}
  ||{{math|−e<sub>6</sub>}}
  |bgcolor=#D3D3D3 |{{math|−e<sub>7</sub>}}
  | bgcolor=#FAEBD7 |{{math|−1}}
  | bgcolor=#D3D3D3 |{{math|e<sub>1</sub>}}
  | bgcolor=#D3D3D3 |{{math|e<sub>2</sub>}}
  | bgcolor=#D3D3D3|{{math|e<sub>3</sub>}}
 |-
!{{math|'''e'''<sub>5</sub>}}
  ||{{math|e<sub>4</sub>}}
  |bgcolor=#D3D3D3 |{{math|−e<sub>7</sub>}}
  ||{{math|e<sub>6</sub>}}
  | bgcolor=#D3D3D3 |{{math|−e<sub>1</sub>}}
   | bgcolor=#FAEBD7 |{{math|−1}}
  | bgcolor=#D3D3D3 |{{math|−e<sub>3</sub>}}
  | bgcolor=#D3D3D3 |{{math|e<sub>2</sub>}}
|-
!{{math|'''e'''<sub>6</sub>}}
  |bgcolor=#D3D3D3 |{{math|e<sub>7</sub>}}
  ||{{math|e<sub>4</sub>}}
  ||{{math|−e<sub>5</sub>}}
  | bgcolor=#D3D3D3 |{{math|−e<sub>2</sub>}}
  | bgcolor=#D3D3D3 |{{math|e<sub>3</sub>}}
   | bgcolor=#FAEBD7 |{{math|−1}}
  | bgcolor=#D3D3D3 |{{math|−e<sub>1</sub>}}
|-
!{{math|'''e'''<sub>7</sub>}}
  ||{{math|−e<sub>6</sub>}}
  ||{{math|e<sub>5</sub>}}
  ||{{math|e<sub>4</sub>}}
  | bgcolor=#D3D3D3 |{{math|−e<sub>3</sub>}}
  | bgcolor=#D3D3D3 |{{math|−e<sub>2</sub>}}
  | bgcolor=#D3D3D3 |{{math|e<sub>1</sub>}}
   | bgcolor=#FAEBD7 |{{math|−1}}
|-
|}

Иногда заменяются буквенным обозначением:
{| class="wikitable" style="text-align: center;"
|-
|bgcolor=#FAEBD7 |{{math|''Номер''}}
 | bgcolor=|{{math|1}}
  ||{{math|2}}
  ||{{math|3}}
  ||{{math|4}}
  ||{{math|5}}
  ||{{math|6}}
  ||{{math|7}}
 |-
|bgcolor=#FAEBD7 |{{math|''Буквы''}}
  |{{math|''i''}}
  ||{{math|''j''}}
  ||{{math|''k''}}
  ||{{math|''l''}}
  ||{{math|''il''}}
  ||{{math|''jl''}}
  ||{{math|''kl''}}
 |-
|bgcolor=#FAEBD7 |{{math|''Замена''}}
  |{{math|''i''}}
  ||{{math|''j''}}
  ||{{math|''k''}}
  ||{{math|''l''}}
  ||{{math|''m''}}
  ||{{math|''n''}}
  ||{{math|''o''}}
 |-
|}

== Свойства ==
По [[Теорема Фробениуса|теореме Фробениуса]] алгебра Кэли является единственной 8-мерной вещественной [[Альтернативная алгебра|альтернативной алгеброй]] без [[Делитель нуля|делителей нуля]].

Алгебра Кэли является алгеброй с однозначным делением и с единицей, альтернативной, но [[Ассоциативность (математика)|неассоциативной]] и [[Коммутативная операция|некоммутативной]].

Для октониона <math>x = x_0 + x_1\,i + x_2\,j + x_3\,k + x_4\,l + x_5\,il + x_6\,jl + x_7\,kl</math>
операция [[Сопряжение (математика)|сопряжения]] определена равенством:
: <math>x^* = x_0 - x_1\,i - x_2\,j - x_3\,k - x_4\,l - x_5\,il - x_6\,jl - x_7\,kl</math>.
Сопряжение удовлетворяет равенствам:
: <math>( xy)^*=y^* x^* </math> и
: <math> x^* =-\frac 16 (x+(ix)i+(jx)j+(kx)k+(lx)l+((il)x)(il)+((jl)x)(jl)+((kl)x)(kl)).</math>

Вещественная часть октониона <math>x</math> определена равенством:
: <math> \frac 12(x + x^*) = x_0 </math>,
мнимая часть:
: <math> \frac 12(x - x^*)</math>.

[[Норма (математика)|Норма]] октониона <math>x</math>: <math>\|x\| = \sqrt{x^* x}</math>; <math>\|x\|=0</math> тогда и только тогда, когда <math>x=0</math>. Из определения нормы следует, что октонион <math>x\ne 0</math> обратим и
: <math>x^{-1} = \frac {x^*}{\|x\|^2}</math>.

Из-за неассоциативности октонионы не имеют матричных представлений.

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* [[Джон Баэс]]. [http://hypercomplex.xpsweb.com/articles/286/ru/pdf/main-05.pdf Октонионы] {{Wayback|url=http://hypercomplex.xpsweb.com/articles/286/ru/pdf/main-05.pdf |date=20160304141737 }} //   Гиперкомплексные числа в геометрии и физике, № 1(5), Vol 3(2006), с.120-176.

{{Числа}}
{{Алгебра над кольцом}}

[[Категория:Теория колец]]
[[Категория:Гиперкомплексные числа]]
[[Категория:Неассоциативные алгебры]]