Просмотр кода страницы Алгебра Темперли — Либа

'''Алгебра Темперли — Либа''' — [[алгебра над кольцом|алгебра]], при помощи которой строятся некоторые {{нп3|трансфер-матрица|трансфер-матрицы||Transfer matrix}}. Открыта {{нп3|Темперли, Харольд Невилл Вазилл|Невиллом Темперли|en|Harold Neville Vazeille Temperley}} и [[Либ, Эллиот|Эллиотом Либом]]. Алгебра применяется в [[статистическая механика|статистической механике]], в теории {{нп3|интегрируемая система|интегрируемых моделей||Integrable system}}, имеет отношение к [[Теория узлов|теории узлов]] и [[Группа кос|группам кос]], [[квантовая группа|квантовым группам]] и подфакторам [[алгебра фон Неймана|алгебр фон Неймана]].

== Определение ==
Пусть <math>R</math> — [[коммутативное кольцо]] (чаще всего — [[поле (алгебра)|поле]] [[вещественное число|вещественных чисел]]), в котором зафиксирован элемент <math>\delta \in R</math>. Алгеброй Темперли — Либа
<math>TL_n(\delta)</math> называется <math>R</math>-[[алгебра над кольцом|алгебра]] образованная генераторами <math>U_1, U_2, \ldots, U_{n-1}</math>, подчиняющимися ''[[генераторы и соотношения|соотношениям]] Джонса'':
* <math>U_i^2 = \delta U_i</math> при <math>1 \leq i \leq n-1</math>
* <math>U_i U_{i+1} U_i = U_i</math> при <math>1 \leq i \leq n-2</math>
* <math>U_i U_{i-1} U_i = U_i</math> при <math>2 \leq i \leq n-1</math>
* <math>U_i U_j = U_j U_i</math> при <math>1 \leq i,j \leq n-1</math>, таких что <math>|i-j| \neq 1</math>

<math>TL_n(\delta)</math> можно представить как [[векторное пространство]], с базисными векторами, каждый из которых представляет собой диаграмму в виде квадрата, на двух противоположных сторонах которого находятся по <math>n</math> точек. Точки образуют n пар, каждая пара соединена кривой, и никакие две кривые не пересекаются. Пять базисных векторов <math>TL_3(\delta)</math> выглядят следующим образом:

[[Файл:Temperley-lieb (horizontal).svg|340px|Basis of the Temperley-Lieb algebra <math>TL_3(\delta)</math>]].

Умножение двух базисных элементов происходит соединением двух квадратов стык-в-стык, после каждый образовавшийся цикл даёт множитель <math>\delta</math>. Например,

[[Файл:Factor-a.svg|50px]] × [[Файл:Factor-b.svg|50px]] = [[Файл:Factor-a.svg|50px]][[Файл:Factor-b.svg|50px]] = δ [[Файл:Concatenation-ab.svg|50px]].

Единичным элементом является диаграмма с n горизонтальными прямыми, а [[генераторы и соотношения|генератор]] <math>U_i</math> — диаграмма, в которой ''i''-ая вершина соединена с ''i+1''-ой, ''2n − i + 1''-ая точка — с ''2n − i''-ой точкой, а все остальные точки соединены с противоположными себе. К примеру, генераторами <math>TL_5(\delta)</math> являются:

[[Файл:Temperley-Lieb (generateurs).svg|340px|Generators of the Temperley-Lieb algebra <math>TL_5(\delta)</math>]]

Слева направо: тождественный элемент (единица) и генераторы U<sub>1</sub>, U<sub>2</sub>, U<sub>3</sub>, U<sub>4</sub>.

Соотношения Джонса можно изобразить графически:

[[Файл:E 2 Temperley.svg|50px]] [[Файл:E 2 Temperley.svg|50px]] = δ [[Файл:E 2 Temperley.svg|50px]]

[[Файл:E 2 Temperley.svg|50px]] [[Файл:E 3 Temperley.svg|50px]] [[Файл:E 2 Temperley.svg|50px]] = [[Файл:E 2 Temperley.svg|50px]]

[[Файл:E 1 Temperley.svg|50px]] [[Файл:E 4 Temperley.svg|50px]] = [[Файл:E 4 Temperley.svg|50px]] [[Файл:E 1 Temperley.svg|50px]]

== Ссылки ==
* ''Louis H. Kauffman'', [https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0040938387900097 State Models and the Jones Polynomial.] {{Wayback|url=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0040938387900097 |date=20191208204605 }} Topology, 26(3):395-407, 1987.
* ''R.J. Baxter'', [http://tpsrv.anu.edu.au/Members/baxter/book Exactly solved models in statistical mechanics] {{Wayback|url=http://tpsrv.anu.edu.au/Members/baxter/book |date=20120320064257 }} [[Academic Press]] Inc., 1982.
* ''N. Temperley, E. Lieb'', [https://www.jstor.org/stable/77727 Relations between the percolation and colouring problem and other graph-theoretical problems associated with regular planar lattices: some exact results for the percolation problem.] [[Proceedings of the Royal Society]] Series A 322 (1971), 251—280.

{{rq|refless}}

[[Категория:Алгебры над кольцами]]
[[Категория:Теория узлов]]
[[Категория:Теория кос]]
[[Категория:Инварианты узлов]]