Алгебра Темперли — Либа

Алгебра Темперли — Либа — алгебра, при помощи которой строятся некоторые Шаблон:Нп3. Открыта Шаблон:Нп3 и Эллиотом Либом. Алгебра применяется в статистической механике, в теории Шаблон:Нп3, имеет отношение к теории узлов и группам кос, квантовым группам и подфакторам алгебр фон Неймана.

Определение

Пусть $R$ — коммутативное кольцо (чаще всего — поле вещественных чисел), в котором зафиксирован элемент $δ \in R$ . Алгеброй Темперли — Либа $T L_{n} (δ)$ называется $R$ -алгебра образованная генераторами $U_{1}, U_{2}, \dots, U_{n - 1}$ , подчиняющимися соотношениям Джонса:

$U_{i}^{2} = δ U_{i}$ при $1 \leq i \leq n - 1$
$U_{i} U_{i + 1} U_{i} = U_{i}$ при $1 \leq i \leq n - 2$
$U_{i} U_{i - 1} U_{i} = U_{i}$ при $2 \leq i \leq n - 1$
$U_{i} U_{j} = U_{j} U_{i}$ при $1 \leq i, j \leq n - 1$ , таких что $| i - j | \neq 1$

$T L_{n} (δ)$ можно представить как векторное пространство, с базисными векторами, каждый из которых представляет собой диаграмму в виде квадрата, на двух противоположных сторонах которого находятся по $n$ точек. Точки образуют n пар, каждая пара соединена кривой, и никакие две кривые не пересекаются. Пять базисных векторов $T L_{3} (δ)$ выглядят следующим образом:

.

Умножение двух базисных элементов происходит соединением двух квадратов стык-в-стык, после каждый образовавшийся цикл даёт множитель $δ$ . Например,

× = = δ .

Единичным элементом является диаграмма с n горизонтальными прямыми, а генератор $U_{i}$ — диаграмма, в которой i-ая вершина соединена с i+1-ой, 2n − i + 1-ая точка — с 2n − i-ой точкой, а все остальные точки соединены с противоположными себе. К примеру, генераторами $T L_{5} (δ)$ являются: