Просмотр кода страницы Атом (теория меры)

{{Значения|Атом (значения)}}
В [[мера множества|теории меры]], '''атом''' — это измеримое множество положительной меры, которое не содержит в себе подмножества меньшей положительной меры. Мера, не имеющая атомов, называется '''безатомной'''.

== Определение ==
Если есть [[измеримое пространство]] <math>(X, \Sigma)</math> и [[мера множества|мера]] <math>\mu</math> на этом пространстве, то множество <math>A</math> из <math>\Sigma</math> называется '''атомом''', если 

: <math> \mu (A) >0</math>

и для любого измеримого подмножества <math>B</math> множества <math>A</math> из

: <math> \mu(A) > \mu (B)</math>
следует, что

: <math> \mu(B) = 0.</math>

== Примеры ==
* Рассмотрим множество ''X'' = {1, 2, ..., 9, 10}, и пусть [[сигма-алгебра]] <math>\Sigma</math> есть [[булеан|множество всех подмножеств]] ''X''. Определим меру <math>\mu</math> множества как его [[мощность множества|мощность]], т. е. количество элементов в нем. Тогда каждое [[синглетон (математика)|одноточечное подмножество]] {''i''} для ''i'' = 1, 2, ..., 9, 10 является атомом.
* [[Мера Лебега]] на [[действительная прямая|действительной прямой]] является безатомной.

== Безатомные меры ==
Мера, не содержащая атомов, называется '''безатомной'''. Другими словами, мера является безатомной, если для любого измеримого множества <math>A</math> с <math> \mu (A) >0</math> существует такое измеримое подмножество ''B'' множества ''A'', что 

: <math> \mu(A) > \mu (B) > 0.</math>

Безатомная мера с хотя бы одним положительным значением имеет бесконечное количество различных значений, т.к. начиная с множества ''A'' с мерой <math> \mu (A) >0</math> можно построить бесконечную последовательность измеримых множеств

:<math>A=A_1\supset A_2 \supset A_3 \supset \cdots</math>

такую, что

:<math>\mu(A)=\mu(A_1) > \mu(A_2) > \mu(A_3) > \cdots > 0. </math>

Это может быть неверно для мер с атомами (см. пример выше).

На самом деле оказывается, что безатомные меры имеют [[континуум (теория множеств)|континуум]] значений. Можно доказать, что если &mu; является безатомной мерой, а ''A'' — это измеримое множество с <math>\mu (A) >0,</math> то для любого действительного числа ''b'', удовлетворяющего условию

: <math>\mu (A) \geq b \geq0</math> 

существует измеримое подмножество ''B'' множества ''A'', такое, что

: <math>\mu(B)=b.</math>

Эта теорема была доказана [[Серпинский, Вацлав|Вацлавом Серпинским]].
<ref>W. Sierpinski.
[http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm3/fm3125.pdf Sur les fonctions d'ensemble additives et continues] {{Wayback|url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm3/fm3125.pdf |date=20110515030128 }}.
Fundamenta Mathematicae, 3:240-246, 1922.</ref> 
<ref>
{{книга |заглавие=Fixed Point Theory for Decomposable Sets (Topological Fixed Point Theory and Its Applications) |издательство=Springer |isbn=1-4020-2498-3 |страницы=39 |язык=en |автор=Fryszkowski, Andrzej}}
</ref>
Она напоминает [[Теорема Больцано — Коши|теорему о промежуточном значении]] для непрерывных функций.

'''Набросок доказательства''' теоремы Серпинского для безатомных мер. Используем слегка более сильное утверждение: если есть безатомное измеримое пространство <math>(X,\Sigma, \mu)</math> и <math>\mu(X)=c</math>, то существует функция <math>S:[0, c]\to\Sigma</math>, задающая однопараметрическое семейство измеримых множеств S(t), таких что для всех <math>0\leq t \leq t'\leq c</math>
:<math>S(t)\subset S(t'),</math> 
:<math>\mu\left (S(t)\right)=t.</math>
Доказательство легко следует из [[Лемма Цорна|леммы Цорна]], применённой к множеству
:<math>\Gamma:=\{S:D\to\Sigma\; :\; D\subset[0,\,c],\, S\; \mathrm{ monotone }, \forall t\in D\; (\mu\left (S(t)\right)=t)\},</math>
упорядоченному по включению графиков. Далее стандартным образом показывается, что всякая [[линейно упорядоченное множество|цепь]] в <math>\Gamma</math> имеет максимальный элемент, а любой максимальный элемент <math>\Gamma</math> имеет область определения <math>[0,c]</math>, что и доказывает утверждение.

== См. также ==
* [[Дельта-функция|Дельта-функция Дирака]]
* [[Элементарное событие|Элементарные события]], известные также как '''события-атомы'''


== Ссылки ==
<references />
* {{книга |заглавие=Real analysis |год=1997 |издательство=[[Prentice Hall|Prentice-Hall]] |место=Upper Saddle River, N.J. |isbn=0-13-458886-X |страницы=108 |язык=en |автор=Bruckner, Andrew M.; Bruckner, Judith B.; Thomson, Brian S.}}

* {{книга |заглавие=Triangular norm-based measures and games with fuzzy coalitions |ссылка=https://archive.org/details/triangularnormba0000butn |год=1993 |издательство=[[Springer Science+Business Media|Kluwer Academic]] |место=Dordrecht |isbn=0-7923-2369-6 |страницы=[https://archive.org/details/triangularnormba0000butn/page/87 87] |язык=en |автор=Butnariu, Dan; Klement, E. P.}}

[[Категория:Теория меры]]