Атом (теория меры)

Шаблон:Значения В теории меры, атом — это измеримое множество положительной меры, которое не содержит в себе подмножества меньшей положительной меры. Мера, не имеющая атомов, называется безатомной.

Определение

Если есть измеримое пространство $(X,\mathrm{\Sigma })$ и мера $\mu$ на этом пространстве, то множество $A$ из $\mathrm{\Sigma }$ называется атомом, если

$\mu (A)>0$

и для любого измеримого подмножества $B$ множества $A$ из

$\mu (A)>\mu (B)$

следует, что

$\mu (B)=0.$

Примеры

• Рассмотрим множество X = {1, 2, ..., 9, 10}, и пусть сигма-алгебра $\mathrm{\Sigma }$ есть множество всех подмножеств X. Определим меру $\mu$ множества как его мощность, т. е. количество элементов в нем. Тогда каждое одноточечное подмножество {i} для i = 1, 2, ..., 9, 10 является атомом.
• Мера Лебега на действительной прямой является безатомной.

Безатомные меры

Мера, не содержащая атомов, называется безатомной. Другими словами, мера является безатомной, если для любого измеримого множества $A$ с $\mu (A)>0$ существует такое измеримое подмножество B множества A, что

$\mu (A)>\mu (B)>0.$

Безатомная мера с хотя бы одним положительным значением имеет бесконечное количество различных значений, т.к. начиная с множества A с мерой $\mu (A)>0$ можно построить бесконечную последовательность измеримых множеств

$A=A_1\supset A_2\supset A_3\supset \cdots$

такую, что

$\mu (A)=\mu (A_1)>\mu (A_2)>\mu (A_3)>\cdots >0.$

Это может быть неверно для мер с атомами (см. пример выше).

На самом деле оказывается, что безатомные меры имеют континуум значений. Можно доказать, что если μ является безатомной мерой, а A — это измеримое множество с $\mu (A)>0,$ то для любого действительного числа b, удовлетворяющего условию

$\mu (A)\ge b\ge 0$

существует измеримое подмножество B множества A, такое, что

$\mu (B)=b.$

Эта теорема была доказана Вацлавом Серпинским. Она напоминает теорему о промежуточном значении для непрерывных функций.

Набросок доказательства теоремы Серпинского для безатомных мер. Используем слегка более сильное утверждение: если есть безатомное измеримое пространство $(X,\mathrm{\Sigma },\mu )$ и $\mu (X)=c$, то существует функция $S:[0,c]\to \mathrm{\Sigma }$, задающая однопараметрическое семейство измеримых множеств S(t), таких что для всех $0\le t\le t^{\prime }\le c$

$S(t)\subset S(t^{\prime }),$

$\mu (S(t))=t.$

Доказательство легко следует из леммы Цорна, применённой к множеству

$\mathrm{\Gamma }:=\{S:D\to \mathrm{\Sigma }:D\subset [0,c],S\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{e},\mathrm{\forall }t\in D(\mu (S(t))=t)\},$

упорядоченному по включению графиков. Далее стандартным образом показывается, что всякая цепь в $\mathrm{\Gamma }$ имеет максимальный элемент, а любой максимальный элемент $\mathrm{\Gamma }$ имеет область определения $[0,c]$, что и доказывает утверждение.

См. также

• Дельта-функция Дирака
• Элементарные события, известные также как события-атомы

Ссылки

• Шаблон:Книга

• Шаблон:Книга