Просмотр кода страницы Бидуга

[[Файл:Biarcs 6 Examples.png|thumb|Рис. 1. Примеры бидуг]]
'''Бидуга́''' — гладкая плоская кривая, составленная из двух круговых дуг, меньших полной окружности. Одной из дуг может быть отрезок прямой. Бидуги были предложены
<ref>{{статья
|заглавие=Biarc curves
|ссылка=http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/001044857590086X
|издание=Computer-Aided Design
|том=7
|страницы=89—92
|doi=10.1016/0010-4485(75)90086-X
|язык=en
|автор=Bolton, K. M.
|год=1975
|archivedate=2019-05-02
|archiveurl=https://web.archive.org/web/20190502001349/https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/001044857590086X
}}</ref>
для геометрического моделирования (построения, [[аппроксимация|аппроксимации]]) кривых с заданными граничными точками и касательными в них.
В классе бидуг эта задача имеет целое семейство решений,
и требует дополнительных условий для нахождения конкретных кривых.
Таковыми могут быть задание кривизны или поворота одной из дуг, фиксированная длина кривой<ref>
{{Статья
|автор=[[Сабитов Иджад Хакович|Сабитов И.Х.]], Словеснов А.В.
|заглавие=Приближение плоских кривых круговыми дугами
|ссылка=|язык=
|издание=[[Вычислительная математика и математическая физика|Журнал вычислительной математики и математической физики]]
|год=2010
|том=50
|номер=8
|страницы=1347—1356
|issn=}}
</ref>, требование минимизации скачка кривизны в точке сопряжения, и т. п.

У бидуги зависимость <math>k(s)</math> [[натуральные уравнения|кривизны от длины дуги]] монотонна (так как состоит из двух постоянных участков), поэтому бидуга является простейшей [[спираль#Определения, основанные на монотонности кривизны|спиралью]]<ref>
{{Статья
|автор=Курносенко А.И.
|заглавие=Общие свойства плоских спиральных кривых
|ссылка=|язык=
|издание=[http://www.mathnet.ru/php/journal.phtml?jrnid=znsl&option_lang=rus Записки научных семинаров ПОМИ]
|том=353
|год=2009
|месяц=|число=|номер=
|страницы=93—115
|issn=0373-2703}}
[https://www.dropbox.com/s/24n6ji4b3clqyln/POMI-GeneralSpirals.pdf]
</ref>.

== Примеры бидуг ==
На рис. 1 показаны шесть бидуг <math>AJB</math>.
Точки <math>A</math> и <math>B</math> — начальная и конечная точки кривой,
<math>J</math> (join) — точка гладкого сопряжения двух дуг.

Примеры 1-4 иллюстрируют ''короткие бидуги:'' они не пересекают дополнение хорды до бесконечной прямой, хотя могут пересекать саму хорду (бидуга 1).
Обычно именно такие кривые являются объектами аппроксимации.

Примеры 5 и 6 иллюстрируют ''длинные бидуги:'' они пересекают дополнение хорды, то есть закручиваются вокруг одной из концевых точек. <!-- В литературе они нередко игнорируются. -->

У кривых 1, 2 и 6 точка <math>J</math> является точкой перегиба: в ней кривизна меняет знак (-&nbsp;на&nbsp;+ у кривых 1, 2 и +&nbsp;на&nbsp;- у кривой 6).

Кривые помещены в систему координат хорды <math>\overrightarrow{AB}</math> длины <math>\;2c=|AB|</math>, в которой координаты начальной и конечной точек равны <math>A=(-c,0),\;\; B=(c,0)</math>.

Ориентированные углы наклонов касательных в точках <math>A</math> и <math>B</math>,
измеренные относительно направления хорды <math>\overrightarrow{AB}</math>,
обозначены <math>\alpha</math> и <math>\beta</math>.
Так, у бидуги 1 на рис. 1
<math>\;\alpha>0,\; \beta>0</math>,
а у бидуг 2-6 — <math>\;\alpha>0,\; \beta<0</math>.

== Описание семейства бидуг ==
Граничные касательные векторы у кривых 2-6 на рис. 1 одинаковы: <math>\alpha=100^\circ,\quad\beta=-30^\circ.</math>
Эти кривые являются членами однопараметрического семейства бидуг с общими касательными на концах. Всё семейство показано на нижнем фрагменте рисунка 2.

Далее основные свойства ''семейства бидуг с общими касательными на концах'' приведены по материалам статьи<ref name="Kurnosenko2013">
{{статья
|ссылка=http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0167839612001276
|заглавие=Biarcs and bilens
|издание=Computer Aided Geometric Design
|том=30
|номер=3
|страницы=310—330
|doi=10.1016/j.cagd.2012.12.002
|язык=en
|автор=Kurnosenko, A. I.
|год=2013}}
[https://www.dropbox.com/s/oiph2nyji38v2kr/Biarcs-and-Bilens-preprint.pdf]
</ref>.
Параметр семейства обозначен <math>p</math>. Обозначение бидуги в виде <math>\mathcal{B}(p)</math> подразумевает фиксацию констант, то есть <math>\mathcal{B}(p;\,\alpha,\beta,c)</math>.

Рисунки 2, 3, 4 иллюстрируют такие семейства для различных пар <math>\{\alpha,\beta\}.</math>

{|align="left"
 |-valign="bottom"
 |[[Файл:BiarcsWiki1.png|thumb|Рис. 2. Семейства бидуг с общими касательными на концах (два примера)]]
 |[[Файл:BiarcsWiki2.png|thumb|Рис. 3. Два семейства с общими (параллельными) касательными на концах: <math>\alpha=\beta</math>]]
 |[[Файл:BiarcsWikiPi.png|thumb|Рис. 4. Семейства бидуг с <math>|\alpha|=\pi</math> или  <math>|\beta|=\pi</math>]] 
 |}
{{clear}}

=== Соотношения для углов и кривизн ===
Углы <math>\alpha</math> и <math>\beta</math> считаются определёнными в диапазоне
<math>[-\pi;\,\pi]</math>:
<math>-\pi\leqslant\alpha\leqslant\pi</math>, <math>-\pi\leqslant\beta\leqslant\pi</math>.
Построение бидуги возможно при
: <math>\qquad 0<|\alpha+\beta|<2\pi.\qquad(1)</math>

Введём обозначения 
: <math>\omega=\frac{\alpha+\beta}2,\quad \gamma=\frac{\alpha-\beta}2</math>.
Неравенства (1) означают, что <math>\;\sin\omega\not=0</math>.

Кривизна <math>k_1</math> первой дуги <math>(AJ)</math> и кривизна <math>k_2</math> второй дуги <math>(JB)</math> выражаются, как функции параметра семейства, следующими формулами:
: <math>k_1(p)=\frac1c\left(-\sin\alpha-\frac{\sin\omega}p\right),\quad k_2(p)=\frac1c\left(\sin\beta+p\sin\omega\right).</math>

Пусть
* <math>\theta_1</math> и <math>L_1</math> — поворот и длина дуги <math>AJ</math>:    <math>\theta_1=k_1L_1</math>;
* <math>\theta_2</math> и <math>L_2</math> — поворот и длина дуги <math>JB</math>:    <math>\theta_2=k_2L_2</math>.
Справедливы равенства
: <math>
   \theta_1(p)=2\arg\left(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\alpha} +p^{-1}{\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega}}\right),\quad
   \theta_2(p)=2\arg\left(\mathrm{e}^{ \mathrm{i}\beta } +p\,   \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega}\right).
</math>
<!--
: <math>
   \begin{array}{lll}
     \theta_1(p)=2\arg\left(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\alpha} +p^{-1}{\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega}}\right),&
     \cos\dfrac{\theta_1}2= \dfrac{|p|}{N}(\cos\alpha + p^{-1}\cos\omega),&
     \sin\dfrac{\theta_1}2=-\dfrac{|p|}{N}(\sin\alpha + p^{-1}\sin\omega);\\
     \theta_2(p)=2\arg\left(\mathrm{e}^{ \mathrm{i}\beta } +p\,   \mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega}\right),&
     \cos\dfrac{\theta_2}2=\dfrac{1}{N}(\cos\beta + p\cos\omega),&
     \sin\dfrac{\theta_2}2=\dfrac{1}{N}(\sin\beta + p\sin\omega),\\
     &\text{где}\;N=\sqrt{p^2+2p\cos\gamma+1}.
   \end{array}
</math>
-->

=== Геометрическое место точек сопряжения ===
Точки сопряжения <math>J</math> двух дуг расположены на окружности
: <math>
   X_J(p)=\frac{c(p^2-1)}{{p^2+2p\cos\gamma+1}},\quad
   Y_J(p)=\frac{2cp\sin\gamma}{p^2+2p\cos\gamma+1},\quad
   -\infty \leqslant p \leqslant \infty.\qquad(2)
</math>
Эта окружность выходит из точки <math>A</math> под углом <math>\gamma</math>
и проходит через точку&nbsp;<math>B.</math>
При <math>\gamma=0</math> (то есть при <math>\alpha=\beta</math>) это прямая <math>AB</math> (рис. 3).
Бидуги семейства пересекают эту окружность под постоянным углом  <math>-\omega</math>.

Вектор касательной к бидуге в точке сопряжения есть <math>||\cos\tau_{{}_J},\,\sin\tau_{{}_J} ||</math>, где
: <math>
      \tau_{{}_J}(p)={-2}\operatorname{arctg}\dfrac{p\sin\frac{\alpha}2+\sin\frac{\beta}2}{p\cos\frac{\alpha}2+\cos\frac{\beta}2}.
</math>

Бидуга с '''минимальным скачком кривизны''' в точке сопряжения, <math>\min\left|k_2(p)-k_1(p)\right|,</math> реализуется при <math>p=\pm1;</math> точка <math>J</math> при этом лежит на оси ординат <math>(X_J=0).</math>

=== Вырожденные бидуги ===
<!--
************************************************************************
*  HTML-markup ... is used below instead of wiki-markup * ...,
*  because the latter produces incorrect formatting (indentation) after
*  a displayed formula, :<math>...</math>. 
************************************************************************
-->
В семействе бидуг можно выделить следующие ''вырожденные бидуги''.

*  Бидуга <math>\mathcal{B}(0)</math>: при <math>p\to0</math> точка сопряжения <math>J(p)</math> бидуги <math>AJB</math> стремится к точке <math>A</math>, часть <math>AJ</math> исчезает, превращаясь в бесконечный [[дельта-функция|импульс кривизны]]. Бидуга вырождается в дугу окружности, опирающуюся на хорду <math>AB</math> и имеющую с бидугами семейства общую касательную в конечной точке.
*  Бидуга <math>\mathcal{B}(\infty)</math>: стремление <math>p\to\infty</math> влечёт <math>J(p)\to B</math>, часть <math>JB</math> исчезает. Бидуга вырождается в дугу окружности, опирающуюся на хорду <math>AB</math> и имеющую с бидугами семейства общую касательную в начальной точке.
*  Бидуга <math>\mathcal{B}(p^\ast)</math>, где
: <math>
  \qquad
    p^\ast=
  \left\{
   \begin{array}{lll}
      -\dfrac{\sin\omega}{\sin\alpha},\quad& \text{если}\; |\alpha|\geqslant|\beta|\quad(-\infty,\; \text{при}\; |\alpha|=\pi),\\
      -\dfrac{\sin\beta}{\sin\omega},\quad&  \text{если}\; |\alpha|\leqslant|\beta|\quad(\;0,\;\;\; \text{при}\; |\beta|=\pi),
   \end{array} \right.
</math>
представляет собой ''разрывную бидугу'', проходящую через бесконечно удалённую точку плоскости.
Всегда <math>p^\ast\leqslant 0</math>, а неравенства (1) исключают одновременное равенство <math>|\alpha|=|\beta|=\pi</math>.
 На рисунках&nbsp;2,&nbsp;3 разрывные бидуги показаны красной штрих-пунктирной линией.

С учётом этих трёх вырожденных бидуг ''через любую точку плоскости с выколотыми полюсами <math>A</math> и <math>B</math> проходит единственная бидуга <math>\mathcal{B}(p)</math>''. Именно, через точку <math>(x,y)</math> проходит бидуга с параметром 
: <math>
  \qquad
    p(x,y)=
  \left\{
   \begin{array}{ll}
      -\dfrac{[(x+c)^2+y^2]\sin\omega}{(c^2-x^2-y^2)\sin\alpha-2cy\cos\alpha},\quad& \text{если}\quad\omega\,C(x,y)\leqslant0,\\
      -\dfrac{(c^2-x^2-y^2)\sin\beta+2cy\cos\beta}{[(x-c)^2+y^2]\sin\omega},\quad& \text{если}\quad\omega\,C(x,y)\geqslant0,
   \end{array} \right.
</math>
где <math>\;C(x,y)=(c^2-x^2-y^2)\sin\gamma-2cy\cos\gamma</math>.

=== Структура семейства ===
В семействе бидуг <math>\mathcal{B}(p;\,\alpha,\beta,c)</math> выделим, в зависимости от значения параметра <math>p,</math> следующие подсемейства невырожденных бидуг:
: <math>
\begin{array}{l}
\mathcal{B}^{\,+}(p){:}\quad p\in(0;\infty);\\
\mathcal{B}^{\,-}_1(p){:}\quad p\in(p^\ast;0);\\
\mathcal{B}^{\,-}_2(p){:}\quad p\in(-\infty;p^\ast);\\
\mathcal{B}^{\,-}(p) = \mathcal{B}^{\,-}_1(p) \cup \mathcal{B}^{\,-}_2(p)
\end{array}
</math>
(в<ref name="Kurnosenko2013"/>, Property 2, подсемейства <math>\mathcal{B}^{\,+}</math> и <math>\mathcal{B}^{\,-}</math> названы, соответственно, ''main subfamily'' и ''complementary subfamily'').

На рисунках 2, 3, 4 бидуги, принадлежащие подсемействам
<math>\color{sienna}\mathcal{B}^{\,+}</math>,
<math>\color{blue}\mathcal{B}^{\,-}_1</math> и
<math>\color{green}\mathcal{B}^{\,-}_2</math>
показаны, соответственно, коричневым, синим и зелёным цветом.

'''Бидуги подсемейства''' <math>\mathcal{B}^{\,+}</math> — короткие.
Их кривизна либо возрастает (если <math>\omega>0</math>), либо убывает (если <math>\omega<0</math>):

<math>\sgn(k_2-k_1)=\sgn\omega=\sgn(\alpha+\beta)</math>
([[теорема Фогта#Модифицированная формулировка теоремы|теорема В.Фогта для коротких спиралей]]).

Они заключены внутри ''[[Теорема Фогта#линза|линзы]]'' — области, ограниченной вырожденными бидугами <math>\mathcal{B}(0)</math> и <math>\mathcal{B}(\infty)</math> (на рисунках область линзы затемнена).
Угловая ширина линзы (со знаком) равна <math>\alpha+\beta=2\omega</math>.
ГМТ (2) есть ''биссектриса линзы''.

'''Бидуги подсемейства''' <math>\mathcal{B}^{\,-}</math> имеют противоположный (по отношению к <math>\mathcal{B}^{\,+}</math>) характер монотонности кривизны.<br>
Если <math>|\alpha|\not=\pi</math> и <math>|\beta|\not=\pi</math>, то бидуги этого подсемейства — длинные. Разрывная бидуга <math>\color{red}\mathcal{B}(p^\ast)</math>
отграничивает друг от друга бидуги подсемейств <math>\mathcal{B}^{\,-}_{{\color{blue}1},{\color{green}2}}</math>.

Подсемейство <math>\mathcal{B}^{\,-}_1</math> пусто, если <math>p^\ast=0</math>     <math>(|\beta|=\pi).</math>

Подсемейство <math>\mathcal{B}^{\,-}_2</math> пусто, если <math>p^\ast=-\infty</math> <math>(|\alpha|=\pi).</math>

'''Переопределение граничных углов''' [[Теорема Фогта#Обобщение теоремы|в кумулятивном смысле]].
Интегрирование натурального уравнения бидуги даёт непрерывную (кусочно-линейную) функцию <math>\tau(s)</math> — угол наклона касательной к кривой. При таком определении, ''непрерывном'', её значения могут выйти за пределы <math>\pm\pi</math>, и значения на концах могут отличаться от <math>\alpha,\beta</math> на <math>\pm2\pi.</math> Определим, наряду с <math>\alpha,\beta</math>, кумулятивные версии граничных углов в виде <math>\widetilde\alpha,\widetilde\beta</math>, с учётом непрерывности <math>\tau(s).</math> Поправка к углу <math>\alpha</math> вносится, если бидуга совершает оборот вокруг точки <math>A,</math> то есть пересекает луч <math>\{x<-c,\,y=0\}</math>; поправка к углу <math>\beta</math> вносится, если бидуга совершает оборот вокруг точки <math>B</math> (пересекая правое дополнение хорды до бесконечной прямой):
* в подсемействе <math>\mathcal{B}^{\,+}</math>:    <math>\widetilde\alpha=\alpha,\qquad\qquad\quad\widetilde\beta=\beta</math>;
* в подсемействе <math>\mathcal{B}^{\,-}_1</math>:    <math>\widetilde\alpha=\alpha-2\pi\sgn\omega,\;\widetilde\beta=\beta</math>;
* в подсемействе <math>\mathcal{B}^{\,-}_2</math>:    <math>\widetilde\alpha=\alpha,\qquad\qquad\quad\widetilde\beta=\beta-2\pi\sgn\omega</math>.

Тогда полный поворот бидуги <math>\mathcal{B}(p)</math>  равен
: <math>\theta_1(p)+\theta_2(p)=\widetilde\beta-\widetilde\alpha,</math>
а возрастание/убывание кривизны соответствует равенству
: <math>\sgn(k_2-k_1)=\sgn(\widetilde\alpha+\widetilde\beta).</math>

Так, для бидуг с возрастающей кривизной, <math>k_2>k_1</math>, имеем:
: <math>\widetilde\alpha>-\pi,\quad\widetilde\beta>-\pi,\quad 0<\widetilde\alpha+\widetilde\beta<2\pi.</math>

<!-- Неплохо бы ещё дописать про == Дробно-линейные отображения бидуг ==, да ещё с анимированной картинкой… -->

== Ссылки ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга
|заглавие=Differential geometry applied to curve and surface design. Vol.1: Foundations
|издательство=Ellis Horwood
|год=1988
|isbn=013211822X
|язык=en
|автор=Nutbourne, A. W.; Martin, R. R.
}}

== См. также ==
* [[Теорема Фогта]]

<!-- [[Категория:Математические основы компьютерной графики]] -->
[[Категория:Геометрия]]
[[Категория:Окружности]]