Бидуга

Рис. 1. Примеры бидуг

Бидуга́ — гладкая плоская кривая, составленная из двух круговых дуг, меньших полной окружности. Одной из дуг может быть отрезок прямой. Бидуги были предложены для геометрического моделирования (построения, аппроксимации) кривых с заданными граничными точками и касательными в них. В классе бидуг эта задача имеет целое семейство решений, и требует дополнительных условий для нахождения конкретных кривых. Таковыми могут быть задание кривизны или поворота одной из дуг, фиксированная длина кривой, требование минимизации скачка кривизны в точке сопряжения, и т. п.

У бидуги зависимость $k(s)$ кривизны от длины дуги монотонна (так как состоит из двух постоянных участков), поэтому бидуга является простейшей спиралью.

Примеры бидуг

На рис. 1 показаны шесть бидуг $AJB$. Точки $A$ и $B$ — начальная и конечная точки кривой, $J$ (join) — точка гладкого сопряжения двух дуг.

Примеры 1-4 иллюстрируют короткие бидуги: они не пересекают дополнение хорды до бесконечной прямой, хотя могут пересекать саму хорду (бидуга 1). Обычно именно такие кривые являются объектами аппроксимации.

Примеры 5 и 6 иллюстрируют длинные бидуги: они пересекают дополнение хорды, то есть закручиваются вокруг одной из концевых точек.

У кривых 1, 2 и 6 точка $J$ является точкой перегиба: в ней кривизна меняет знак (- на + у кривых 1, 2 и + на - у кривой 6).

Кривые помещены в систему координат хорды $\overrightarrow{AB}$ длины $2c=|AB|$, в которой координаты начальной и конечной точек равны $A=(-c,0),B=(c,0)$.

Ориентированные углы наклонов касательных в точках $A$ и $B$, измеренные относительно направления хорды $\overrightarrow{AB}$, обозначены $\alpha$ и $\beta$. Так, у бидуги 1 на рис. 1 $\alpha >0,\beta >0$, а у бидуг 2-6 — $\alpha >0,\beta <0$.

Описание семейства бидуг

Граничные касательные векторы у кривых 2-6 на рис. 1 одинаковы: $\alpha =100^{\circ },\beta =-30^{\circ }.$ Эти кривые являются членами однопараметрического семейства бидуг с общими касательными на концах. Всё семейство показано на нижнем фрагменте рисунка 2.

Далее основные свойства семейства бидуг с общими касательными на концах приведены по материалам статьи. Параметр семейства обозначен $p$. Обозначение бидуги в виде $ℬ(p)$ подразумевает фиксацию констант, то есть $ℬ(p;\alpha ,\beta ,c)$.

Рисунки 2, 3, 4 иллюстрируют такие семейства для различных пар $\{\alpha ,\beta \}.$

Рис. 2. Семейства бидуг с общими касательными на концах (два примера)

Рис. 3. Два семейства с общими (параллельными) касательными на концах: $\alpha =\beta$

Рис. 4. Семейства бидуг с $|\alpha |=\pi$ или $|\beta |=\pi$

Соотношения для углов и кривизн

Углы $\alpha$ и $\beta$ считаются определёнными в диапазоне $[-\pi ;\pi ]$: $-\pi ⩽\alpha ⩽\pi$, $-\pi ⩽\beta ⩽\pi$. Построение бидуги возможно при

$0<|\alpha +\beta |<2\pi .(1)$

Введём обозначения

$\omega =\frac{\alpha +\beta }{2},\gamma =\frac{\alpha -\beta }{2}$.

Неравенства (1) означают, что $\sin \omega =0$.

Кривизна $k_1$ первой дуги $(AJ)$ и кривизна $k_2$ второй дуги $(JB)$ выражаются, как функции параметра семейства, следующими формулами:

$k_1(p)=\frac{1}{c}(-\sin \alpha -\frac{\sin \omega }{p}),k_2(p)=\frac{1}{c}(\sin \beta +p\sin \omega ).$

Пусть

• ${\theta }_1$ и $L_1$ — поворот и длина дуги $AJ$:    ${\theta }_1=k_1{L}_1$;
• ${\theta }_2$ и $L_2$ — поворот и длина дуги $JB$:    ${\theta }_2=k_2{L}_2$.

Справедливы равенства

${\theta }_1(p)=2\arg ({\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\alpha }+p^{-1}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\omega }),{\theta }_2(p)=2\arg ({\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\beta }+p{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\omega }).$

Геометрическое место точек сопряжения

Точки сопряжения $J$ двух дуг расположены на окружности

$X_J(p)=\frac{c(p^2-1)}{p^2+2p\cos \gamma +1},Y_J(p)=\frac{2cp\sin \gamma }{p^2+2p\cos \gamma +1},-\mathrm{\infty }⩽p⩽\mathrm{\infty }.(2)$

Эта окружность выходит из точки $A$ под углом $\gamma$ и проходит через точку $B.$ При $\gamma =0$ (то есть при $\alpha =\beta$) это прямая $AB$ (рис. 3). Бидуги семейства пересекают эту окружность под постоянным углом  $-\omega$.

Вектор касательной к бидуге в точке сопряжения есть $||\cos {\tau }_{{}_J},\sin {\tau }_{{}_J}||$, где

${\tau }_{{}_J}(p)=-2\mathrm{arctg}\frac{p\sin \frac{\alpha }{2}+\sin \frac{\beta }{2}}{p\cos \frac{\alpha }{2}+\cos \frac{\beta }{2}}.$

Бидуга с минимальным скачком кривизны в точке сопряжения, $\min |k_2(p)-k_1(p)|,$ реализуется при $p=\pm 1;$ точка $J$ при этом лежит на оси ординат $(X_J=0).$

Вырожденные бидуги

В семействе бидуг можно выделить следующие вырожденные бидуги.

• Бидуга $ℬ(0)$: при $p\to 0$ точка сопряжения $J(p)$ бидуги $AJB$ стремится к точке $A$, часть $AJ$ исчезает, превращаясь в бесконечный импульс кривизны. Бидуга вырождается в дугу окружности, опирающуюся на хорду $AB$ и имеющую с бидугами семейства общую касательную в конечной точке.
• Бидуга $ℬ(\mathrm{\infty })$: стремление $p\to \mathrm{\infty }$ влечёт $J(p)\to B$, часть $JB$ исчезает. Бидуга вырождается в дугу окружности, опирающуюся на хорду $AB$ и имеющую с бидугами семейства общую касательную в начальной точке.
• Бидуга $ℬ(p^{\ast })$, где

$p^{\ast }=\{\begin{array}{cc}-\frac{\sin \omega }{\sin \alpha },& \text{если}|\alpha |⩾|\beta |(-\mathrm{\infty },\text{при}|\alpha |=\pi ),\\ -\frac{\sin \beta }{\sin \omega },& \text{если}|\alpha |⩽|\beta |(0,\text{при}|\beta |=\pi ),\end{array}$

представляет собой разрывную бидугу, проходящую через бесконечно удалённую точку плоскости. Всегда $p^{\ast }⩽0$, а неравенства (1) исключают одновременное равенство $|\alpha |=|\beta |=\pi$.

На рисунках 2, 3 разрывные бидуги показаны красной штрих-пунктирной линией.

С учётом этих трёх вырожденных бидуг через любую точку плоскости с выколотыми полюсами $A$ и $B$ проходит единственная бидуга $ℬ(p)$. Именно, через точку $(x,y)$ проходит бидуга с параметром

$p(x,y)=\{\begin{array}{cc}-\frac{[(x+c{)}^2+y^2]\sin \omega }{(c^2-x^2-y^2)\sin \alpha -2cy\cos \alpha },& \text{если}\omega C(x,y)⩽0,\\ -\frac{(c^2-x^2-y^2)\sin \beta +2cy\cos \beta }{[(x-c{)}^2+y^2]\sin \omega },& \text{если}\omega C(x,y)⩾0,\end{array}$

где $C(x,y)=(c^2-x^2-y^2)\sin \gamma -2cy\cos \gamma$.

Структура семейства

В семействе бидуг $ℬ(p;\alpha ,\beta ,c)$ выделим, в зависимости от значения параметра $p,$ следующие подсемейства невырожденных бидуг:

$\begin{array}{c}{ℬ}^{+}(p):p\in (0;\mathrm{\infty });\\ {ℬ}_1^{-}(p):p\in (p^{\ast };0);\\ {ℬ}_2^{-}(p):p\in (-\mathrm{\infty };p^{\ast });\\ {ℬ}^{-}(p)={ℬ}_1^{-}(p)\cup {ℬ}_2^{-}(p)\end{array}$

(в, Property 2, подсемейства ${ℬ}^{+}$ и ${ℬ}^{-}$ названы, соответственно, main subfamily и complementary subfamily).

На рисунках 2, 3, 4 бидуги, принадлежащие подсемействам ${ℬ}^{+}$, ${ℬ}_1^{-}$ и ${ℬ}_2^{-}$ показаны, соответственно, коричневым, синим и зелёным цветом.

Бидуги подсемейства ${ℬ}^{+}$ — короткие. Их кривизна либо возрастает (если $\omega >0$), либо убывает (если $\omega <0$):

$\mathrm{sgn}(k_2-k_1)=\mathrm{sgn}\omega =\mathrm{sgn}(\alpha +\beta )$ (теорема В.Фогта для коротких спиралей).

Они заключены внутри линзы — области, ограниченной вырожденными бидугами $ℬ(0)$ и $ℬ(\mathrm{\infty })$ (на рисунках область линзы затемнена). Угловая ширина линзы (со знаком) равна $\alpha +\beta =2\omega$. ГМТ (2) есть биссектриса линзы.

Бидуги подсемейства ${ℬ}^{-}$ имеют противоположный (по отношению к ${ℬ}^{+}$) характер монотонности кривизны.
Если $|\alpha |=\pi$ и $|\beta |=\pi$, то бидуги этого подсемейства — длинные. Разрывная бидуга $ℬ(p^{\ast })$ отграничивает друг от друга бидуги подсемейств ${ℬ}_{1,2}^{-}$.

Подсемейство ${ℬ}_1^{-}$ пусто, если $p^{\ast }=0$     $(|\beta |=\pi ).$

Подсемейство ${ℬ}_2^{-}$ пусто, если $p^{\ast }=-\mathrm{\infty }$ $(|\alpha |=\pi ).$

Переопределение граничных углов в кумулятивном смысле. Интегрирование натурального уравнения бидуги даёт непрерывную (кусочно-линейную) функцию $\tau (s)$ — угол наклона касательной к кривой. При таком определении, непрерывном, её значения могут выйти за пределы $\pm \pi$, и значения на концах могут отличаться от $\alpha ,\beta$ на $\pm 2\pi .$ Определим, наряду с $\alpha ,\beta$, кумулятивные версии граничных углов в виде $\tilde{\alpha },\tilde{\beta }$, с учётом непрерывности $\tau (s).$ Поправка к углу $\alpha$ вносится, если бидуга совершает оборот вокруг точки $A,$ то есть пересекает луч $\{x<-c,y=0\}$; поправка к углу $\beta$ вносится, если бидуга совершает оборот вокруг точки $B$ (пересекая правое дополнение хорды до бесконечной прямой):

• в подсемействе ${ℬ}^{+}$:    $\tilde{\alpha }=\alpha ,\tilde{\beta }=\beta$;
• в подсемействе ${ℬ}_1^{-}$:    $\tilde{\alpha }=\alpha -2\pi \mathrm{sgn}\omega ,\tilde{\beta }=\beta$;
• в подсемействе ${ℬ}_2^{-}$:    $\tilde{\alpha }=\alpha ,\tilde{\beta }=\beta -2\pi \mathrm{sgn}\omega$.

Тогда полный поворот бидуги $ℬ(p)$  равен

${\theta }_1(p)+{\theta }_2(p)=\tilde{\beta }-\tilde{\alpha },$

а возрастание/убывание кривизны соответствует равенству

$\mathrm{sgn}(k_2-k_1)=\mathrm{sgn}(\tilde{\alpha }+\tilde{\beta }).$

Так, для бидуг с возрастающей кривизной, $k_2>k_1$, имеем:

$\tilde{\alpha }>-\pi ,\tilde{\beta }>-\pi ,0<\tilde{\alpha }+\tilde{\beta }<2\pi .$

Литература

• Шаблон:Книга

См. также

• Теорема Фогта