Просмотр кода страницы Биномиальный ряд

'''Биномиальный ряд''' — это [[Ряд Тейлора]] для [[Функция (математика)|функции]] <math>f</math>, заданной выражением <math>f(x)=(1+x)^{\alpha},</math> где <math> \alpha \in \Complex</math> является произвольным [[Комплексное число|комплексным числом]], а |''x''| < 1. Ряд в явном виде,

{{NumBlk|:|<math>\begin{align}
 (1 + x)^\alpha  &= \sum_{k=0}^{\infty} \; \binom{\alpha}{k} \; x^k \\
 &= 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} x^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!} x^3 + \cdots,
 \end{align}</math>|{{EquationRef|1}}}}

и биномиальный ряд справа в формуле ({{EquationNote|1}}) является [[Степенной ряд|степенным рядом]], выраженном в терминах [[Биномиальный коэффициент|(обобщённых) биномиальных коэффициентов]]

: <math>\binom{\alpha}{k} := \frac{\alpha (\alpha-1) (\alpha-2) \cdots (\alpha-k+1)}{k!}. </math>

== Специальные случаи ==
Если <math>\alpha</math> является неотрицательным [[Целое число|целым числом]] ''n'', то <math>(n + 2)</math>-й член и все последующие члены в последовательности равны 0, поскольку каждый из них содержит множитель <math>(n-n)</math>, так что в этом случае ряд конечен и образует алгебраическую [[Бином Ньютона|формулу бинома Ньютона]].

Следующие выражения верны для любого комплексного <math>\beta</math>, но они особенно полезны для работы с отрицательными целыми степенями в формуле ({{EquationNote|1}}):

: <math>\frac{1}{(1-z)^{\beta+1}} = \sum_{k=0}^\infty {k+\beta \choose k}z^k.</math>

Чтобы это доказать, подставим <math>x=-z</math> в выражение ({{EquationNote|1}}) и применим тождество для биномиальных коэффициентов
: <math>\binom{-\beta-1}{k} = (-1)^k \binom{k+\beta}{k}.</math>

== Сходимость ==

=== Условия сходимости ===
[[Сходящийся ряд|Сходится ли ряд]] в формуле ({{EquationNote|1}}), зависит значений комплексных чисел <math>\alpha</math> и {{mvar|x}}. Точнее:

<ol style="list-style-type:lower-roman">

*  Если <math>|x| < 1</math>, ряд сходится [[Абсолютная сходимость|абсолютно]] для любого комплексного <math>\alpha</math>.


*  Если <math>\left |x\right | = 1</math> ряд сходится абсолютно тогда и только тогда, когда либо <math>Re(\alpha) > 0</math>, либо <math>\alpha = 0</math>, где <math>Re(\alpha)</math> означает [[Комплексное число|вещественную часть]] <math>\alpha</math>.


*  Если <math>\left |x\right | = 1</math> и <math>x \ne -1</math> ряд сходится тогда и только тогда, когда <math>Re(\alpha) > -1</math>.


*  Если <math>x = -1</math> ряд сходится тогда и только тогда, когда либо <math>Re(\alpha) > 0</math>, либо <math>\alpha = 0</math>.


*  Если <math>\left |x\right | > 1</math> ряд [[Расходящийся ряд|расходится]], за исключением случая, когда <math>\alpha</math> — неотрицательное целое число (в этом случае ряд становится конечной суммой).

В частности, если <math>\alpha</math> не является отрицательным целым числом, ситуация на границе [[Круг сходимости|круга сходимости]] {{nowrap|<math>|x| = 1</math>}} приведена ниже:

* Если <math>Re(\alpha) > 0</math> ряд сходится абсолютно.
* Если <math>-1 < Re(\alpha) \leqslant 0</math> ряд сходится [[Условная сходимость|условно]], если <math>x \ne -1</math>, и расходится, если <math>x =-1</math>.
* Если <math>Re(\alpha) \leqslant -1</math> ряд расходится.

=== Тождества, используемые в доказательстве ===
Следующее выполняется для любого комплексного числа <math>\alpha</math>:

:<math>{\alpha \choose 0} = 1,</math>
{{NumBlk|:|<math> {\alpha \choose k+1} = {\alpha\choose k}\,\frac{\alpha-k}{k+1},  </math>|{{EquationRef|2}}}}

{{NumBlk|:|<math> {\alpha \choose k-1} +  {\alpha\choose k} = {\alpha+1 \choose k}. </math>|{{EquationRef|3}}}}
Если <math>\alpha</math> не является неотрицательным целым (в этом случае биномиальные коэффициенты обращаются, когда <math>k</math> больше <math>\alpha</math>), имеет место следующее [[Асимптотический анализ|асимптотическое]] соотношение для биномиальных коэффициентов в [[«O» большое и «o» малое|терминах «o» малое]]:

{{NumBlk|:|<math> {\alpha \choose k} = \frac{(-1)^k} {\Gamma(-\alpha)k^ {1+\alpha} } \,(1+o(1)), \quad\text{as }k\to\infty. </math>|{{EquationRef|4}}}}

Это, фактически, эквивалентно определению Эйлера для [[Гамма-функция|гамма-функции]]:

: <math>\Gamma(z) = \lim_{k \to \infty} \frac{k! \; k^z}{z \; (z+1)\cdots(z+k)}, </math>

откуда немедленно следуют грубые границы

{{NumBlk|:|<math> \frac {m} {k^{1+\operatorname{Re}\,\alpha}}\leqslant \left|{\alpha \choose k}\right| \leqslant \frac {M} {k^{1+\operatorname{Re}\alpha}}, </math>|{{EquationRef|5}}}}
для некоторых положительных констант ''m'' и ''M''.

Формула ({{EquationNote|2}}) для обобщённых биномиальных коэффициентов может быть переписана как
{{NumBlk|:|<math> {\alpha \choose  k} = \prod_{j=1}^k \left (\frac {\alpha + 1} j - 1 \right ). </math>|{{EquationRef|6}}}}

=== Доказательство ===
Для доказательства (i) и (v) применим [[признак Д’Аламбера]] и используем формулу ({{EquationNote|2}}) выше, чтобы показать, что когда <math>\alpha</math> не является неотрицательным целым, [[Круг сходимости|радиус сходимости]] в точности равен 1. Утверждение (ii) следует из формулы ({{EquationNote|5}}) путём сравнения с [[Гармонический ряд#Обобщённый гармонический ряд|обобщённым гармоническим рядом]]

: <math> \sum_{k=1}^\infty \; \frac {1} {k^p}, </math>

с <math>p=1+\operatorname{Re}\alpha</math>. Для доказательства (iii) сначала используем формулу ({{EquationNote|3}}), чтобы получить

{{NumBlk|:|<math>(1 + x) \sum_{k=0}^n \; {\alpha \choose k} \; x^k =\sum_{k=0}^n \; {\alpha+1\choose k} \; x^k + {\alpha \choose n} \;x^{n+1}, </math>|{{EquationRef|7}}}}

а затем используем (ii) и снова формулу ({{EquationNote|5}}) для доказательства сходимости правой части, когда <math>\operatorname{Re}\alpha>-1</math>. С другой стороны, ряд не сходится, если <math>|x|=1</math> and <math> \operatorname{Re} \alpha \leqslant - 1 </math>, снова по формуле ({{EquationNote|5}}). Иначе можно заметить, что для всех <math>j</math>, <math display="inline"> \left |\frac {\alpha + 1}{j} - 1 \right | \geqslant 1 - \frac {\operatorname{Re} \alpha + 1}{j} \geqslant 1 </math>. Тогда, по формуле ({{EquationNote|6}}), для всех <math display="inline"> k, \left|{\alpha \choose  k} \right| \geqslant 1 </math>. Это завершает доказательство утверждения (iii). Перейдём к (iv) и используем тождество ({{EquationNote|7}}) выше с <math>x=-1</math> и <math>\alpha-1</math> вместо <math>\alpha</math>, и используем формулу ({{EquationNote|4}}), чтобы получить

: <math>\sum_{k=0}^n \; {\alpha\choose k} \; (-1)^k = {\alpha-1 \choose n} \;(-1)^n= \frac{1} {\Gamma(-\alpha+1)n^{\alpha}}(1+o(1))</math>

при <math>n\to\infty</math>. Утверждение (iv) следует теперь из асимптотического поведения последовательности <math>n^{-\alpha} = e^{-\alpha \log(n)}</math>. (А именно, <math> \left|e^{-\alpha\log n}\right| = e^{-\operatorname{Re}\alpha\, \log n}</math>
определённо сходится к <math>0</math>, если <math>\operatorname{Re}\alpha>0</math> и расходится к <math>+\infty</math>, если <math>\operatorname{Re}\alpha<0</math>. Если <math>\operatorname{Re}\alpha=0</math>, то <math>n^{-\alpha} = e^{-i \operatorname{Im}\alpha\log n}</math> и сходится тогда и только тогда, когда последовательность <math> \operatorname{Im}\alpha\log n </math>, что определённо выполняется, если <math>\alpha=0</math>, но неверно, если <math>\operatorname{Im}\alpha \neq 0</math>).

== Суммирование биномиальных рядов ==
Обычный подход к вычислению суммы биномиального ряда следующий. Если [[Производная функции|продифференцировать]] почленно биномиальный ряд в круге сходимости <math>\left |x\right | < 1</math> и использовать формулу ({{EquationNote|1}}), можно получить, что сумма ряда является [[Аналитическая функция|аналитической функцией]], решающей [[Обыкновенное дифференциальное уравнение]] <math>(1 + x)u'(x) = \alpha u(x)</math> с начальным значением <math>u(0) = 1</math>. Единственным решение этой задачи является функция <math>u(x) = (1 + x)^\alpha</math>, которая, поэтому, и является суммой биномиального ряда, по меньшей мере для <math>\left |x\right |<1</math>. Равенство расширяется до <math>\left |x\right | = 1</math>, если ряд сходится, согласно следствию из [[Теорема Абеля|теоремы Абеля]] и [[Непрерывное отображение|непрерывности]] <math>(1 + x)^\alpha</math>.

== История ==
Первые результаты о биномиальном ряде для неположительных целых степеней получены [[Ньютон, Исаак|Исааком Ньютоном]] при изучении [[Площадь|площадей]], ограниченных определёнными кривыми. [[Валлис, Джон|Джон Валлис]] нашёл на основе этой работы, рассматривая выражения вида <math>y = (1-x^2)^m</math>, где ''m'' дробно, что (выражаясь современным языком) последующие коэффициенты <math>c_k</math> при <math>(-x^2)^k</math> получаются путём умножения предыдущего коэффициента на <math>\tfrac{m - (k - 1)}{k}</math> (как в случае целых степеней), посредством чего дал формулу для этих коэффициентов. Он в явном виде записал следующие выражения{{efn|{{sfn|Coolidge|1949}} На деле этот источник даёт все неконстантные отрицательные члены, что неверно для второго уравнения; следует считать это ошибкой цитирования.}}

: <math>(1-x^2)^{1/2}=1-\frac{x^2}2-\frac{x^4}8-\frac{x^6}{16}\cdots</math>

: <math>(1-x^2)^{3/2}=1-\frac{3x^2}2+\frac{3x^4}8+\frac{x^6}{16}\cdots</math>

: <math>(1-x^2)^{1/3}=1-\frac{x^2}3-\frac{x^4}9-\frac{5x^6}{81}\cdots</math>

Биномиальный ряд, поэтому, иногда называется [[Бином Ньютона#Обобщения|биномиальной теоремой Ньютона]]. Ньютон не привёл никаких доказательств и никаких указаний о природе данного ряда. Позднее, в 1826 году [[Абель, Нильс Хенрик|Нильс Хенрик Абель]] обсуждал ряд в статье, опубликованной в ''[[Journal für die reine und angewandte Mathematik|журнале Крелле]]'' и рассмотрел важные вопросы сходимости{{sfn|Abel|1826}}.

== См. также ==
* {{не переведено 5|Биномиальное приближение|||Binomial approximation}}
* [[Бином Ньютона#Обобщения|Бином Ньютона]]

== Примечания ==
{{notelist}}
{{примечания}}

== Литература ==
* {{статья
|ref=Abel
|автор=[[Абель, Нильс Хенрик|Niels Abel]]
|заглавие=Recherches sur la série 1 + (m/1)x + (m(m-1)/1.2)x{{sup|2}} + (m(m-1)(m-2)/1.2.3)x{{sup|3}} + ...
|издание=[[Journal für die reine und angewandte Mathematik]]
|том=1
|год=1826
|страницы=311–339
|ссылка=http://www.bibnum.education.fr/math%C3%A9matiques/alg%C3%A9bre/niels-abel-et-les-crit%C3%A8res-de-convergence
}}
* {{статья
|jstor=2305028
|заглавие= The Story of the Binomial Theorem
|ссылка=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1949-03_56_3/page/147
|автор= Coolidge J. L.
|ref= Coolidge 
|издание= The American Mathematical Monthly 
|том=56 
|выпуск=3 
|страницы=147—157 
|год=1949 
|doi=10.2307/2305028 
}}

== Ссылки ==
* {{MathWorld | urlname= BinomialSeries | title= Binomial Series}}
* {{MathWorld | urlname= BinomialTheorem | title= Binomial Theorem}}
* {{PlanetMath | urlname= binomialformula | title= binomial formula}}
* {{SpringerEOM | author-first= E.D.|author-last= Solomentsev | title= Binomial series}}

{{Разделы вещественного анализа}}
{{rq|checktranslate|style}}

[[Категория:Математический анализ]]
[[Категория:Факториалы и биномиальные коэффициенты]]
[[Категория:Ряды]]