Просмотр кода страницы Брахистохрона

'''Брахистохро́на''' (от {{lang-el|βράχιστος}} «кратчайший» + {{lang-el2|χρόνος}} «время») — кривая скорейшего спуска. Задача о её нахождении была поставлена в июне [[1696 год]]а [[Иоганн Бернулли|Иоганном Бернулли]] следующим образом:
{{рамка}}
Среди плоских кривых, соединяющих две данные точки <math>A</math> и <math>B</math>, лежащих в одной вертикальной плоскости (<math>B</math> ниже <math>A</math>), найти ту, двигаясь по которой под действием только [[сила тяжести|силы тяжести]], сонаправленной отрицательной полуоси <math>OY</math>, [[материальная точка]] из <math>A</math> достигнет <math>B</math> за кратчайшее время.
{{конец рамки}}

Решением задачи о брахистохроне является дуга [[циклоида|циклоиды]] с горизонтальным основанием, [[Касп|точка возврата]] которой находится в точке <math>A</math>, или иными словами, имеющая вертикальную касательную в точке <math>A</math>.

Примечательно, что время спуска до нижней точки не зависит от расположения начальной точки на дуге циклоиды.

== Решение задачи о брахистохроне ==
[[Файл: Brachistochrone.gif|thumb|350px|Движение тел по различным траекториям. Красная линия — брахистохрона]]
На статью [[Иоганн Бернулли|Иоганна Бернулли]] откликнулись [[Ньютон, Исаак|Исаак Ньютон]], [[Якоб Бернулли]], [[Лейбниц, Готфрид Вильгельм|Г. В. Лейбниц]], [[Лопиталь, Гийом Франсуа|Г. Ф. Лопиталь]], [[Чирнхаус, Эренфрид Вальтер фон|Э. В. Чирнхаус]]. Все они, как и сам Иоганн Бернулли, решили задачу разными способами. Метод решения, полученного 26 января [[1697 год]]а [[Ньютон, Исаак|Исааком Ньютоном]], лёг в основу важнейшей области естествознания — [[вариационное исчисление|вариационного исчисления]].

Пусть имеются две произвольные точки, расположенные на разных [[ордината]]х. Далее пусть произвольная [[материальная точка]] M скатывается от точки A к точке B под действием только [[Сила тяжести|силы тяжести]] ([[Сила трения|силы трения]] отсутствуют). Найдём такую [[Траектория материальной точки|траекторию]], при которой [[время]] скатывания будет минимально.

Направим ось ординат вниз и сопоставим начальной точке нулевое значение ординаты. Запишем [[закон сохранения энергии]] для [[Материальная точка|материальной точки]] M:
: <math>\frac{m v^2}{2} = mgy,</math>
где
: <math>m</math> — [[Масса|масса тела]],
: <math>g</math> — [[ускорение свободного падения]],
: <math>y</math> — [[ордината]],
: <math>v</math> — [[скорость]] движения тела.
Получаем:
: <math>v = \sqrt{2gy},</math>
откуда можно найти значение проекции скорости на ось <math>x</math>:
: <math>v_x = \frac{v}{\sqrt{1 + (y')^2}} = \frac{\sqrt{2gy}}{\sqrt{1 + (y')^2}}.</math>
Поскольку время на спуск равняется <math>\int_a^b \frac{1}{v_x} \,dx </math>, то задача сводится к минимизации значения интеграла
: <math>\frac{1}{\sqrt{2g}} \int_a^b \sqrt{\frac{1 + (y')^2}{y}} \,dx.</math>

== Литература ==
* {{ВТ-ЭСБЕ|Брахистохрона|[[Клейбер, Иосиф Андреевич|Клейбер И. А.]]}}

== Ссылки ==
{{wiktionary|брахистохрона}}
* [http://home.imm.uran.ru/iagsoft/brach/BrachJ2_.html Страница с Java-апплетом, строящим брахистохрону и анимирующим движение по ней]
* [http://regiomontan.ru/06_brahistohrona.html Решение Я. Бернулли задачи о брахистохроне]

{{refimprove|дата=2010-11-22}}

{{Кривые}}

[[Категория:Кривые]]
[[Категория:Вариационное исчисление]]
[[Категория:1696 год в науке]]