Просмотр кода страницы Быстрота

'''Быстрота́''' ({{lang-en|rapidity}}, иногда применяются<ref>{{книга|автор=Копылов Г. И. |заглавие=Основы кинематики резонансов|место=М.|издательство=Наука|год=1970}}</ref> также термины '''рапи́дити''', '''гиперско́рость''' и '''угол лоренцева поворота''') — в [[релятивистская кинематика|релятивистской кинематике]] [[Монотонная функция|монотонно]] возрастающая функция [[Скорость|скорости]], которая стремится к бесконечности, когда скорость стремится к [[Скорость света|скорости света]]. В отличие от скорости, для которой [[Закон сложения скоростей|закон сложения]] нетривиален, для быстроты характерен простой закон сложения («быстрота аддитивна»). Поэтому в задачах, связанных с [[Теория относительности|релятивистскими]] движениями (например, [[кинематика]] реакций частиц в [[Физика высоких энергий|физике высоких энергий]]), часто удобнее пользоваться формализмом быстрот, а не обычных скоростей.

== Определение и свойства ==
Быстрота выражается формулой:
: <math>\theta=c\,\operatorname{Arth}\frac{v}{c}=\frac{c}{2}\ln\frac{1+\dfrac{v}{c}}{1-\dfrac{v}{c}},</math>
где
* <math>\theta</math> — быстрота,
* <math>v</math> — обычная скорость,
* <math>c</math> — скорость света,
* <math>\operatorname{Arth}x</math> — [[ареатангенс]].

Ареатангенс (или ''гиперболический арктангенс'') <math>\operatorname{Arth}x\equiv\frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x}</math> определён в области значений аргумента от −1 до +1; при <math>x\to\plusmn 1</math> функция <math>\operatorname{Arth}x\to\plusmn\infty.</math>

Таким образом, быстрота имеет размерность скорости и при изменении скорости от <math>-c</math> до <math>+c</math> меняется от <math>-\infty</math> до <math>+\infty</math>. Иногда вводят также '''параметр быстроты''' <math>\varphi\equiv\theta/c\equiv\operatorname{Arth}\frac{v}{c}</math> — [[Безразмерная величина|безразмерную величину]], которую иногда также называют быстротой (особенно при обычном в физике высоких энергий использовании системы единиц, где <math>c = 1</math>, которая значительно упрощает формулы; при таком определении быстрота становится безразмерной и совпадает с параметром быстроты).

В пределе малых скоростей быстрота примерно равна скорости:
: <math>\theta = v\left(1+\frac{1}{3}\left(\frac{v}{c}\right)^2 + ... \right)\approx v</math> при <math>v\ll c</math>.

В ультрарелятивистском случае <math>E \gg m</math> параметр быстроты можно выразить через энергию и продольный импульс <math>p_{\|} = p \cos \alpha</math> (где {{math|α}} — угол вылета) следующим образом:

: <math>\varphi = \frac{1}{2}\ln\frac{E+cp_{\|}}{E-cp_{\|}}.</math>

При этом энергия и продольный импульс частицы могут быть выражены через массу частицы, поперечный импульс <math>p_{\perp} = p \sin \alpha</math> и параметр быстроты:

: <math>E      = \sqrt{m^2 c^4 + p_{\perp}^2 c^2}\operatorname{ch}\varphi,</math>
: <math>p_{\|} = \sqrt{m^2 c^4 + p_{\perp}^2 c^2}\operatorname{sh}\varphi.</math>


=== Фактор Лоренца ===
Связанная с быстротой часто используемая величина — '''[[Лоренц-фактор|фа́ктор Ло́ренца]]''', или '''ло́ренц-фа́ктор''', названный по имени [[Лоренц, Хендрик Антон|Г. А. Лоренца]] и определяемый как
: <math> \gamma \equiv \frac {1} {\sqrt{ 1 - v^2 / c^2}}.</math>
Лоренц-фактор равен гиперболическому косинусу параметра быстроты:
: <math>\gamma=\operatorname{ch}\varphi.</math>
С увеличением скорости от 0 до <math>c</math> лоренц-фактор <math>\gamma</math> увеличивается от 1 до <math>+\infty</math>.

[[Гиперболические функции|Гиперболический синус]] параметра быстроты равен произведению лоренц-фактора и безразмерной скорости:
: <math>\beta\gamma=\operatorname{sh}\varphi.</math>

== Аддитивность быстроты ==
Пусть в некоторой инерциальной системе отсчёта <math>K</math> две частицы движутся вдоль одной прямой, скорость одной из них равна <math>v_1</math>, а скорость второй относительно первой равна <math>v'_2</math> (скорости могут быть как положительными, так и отрицательными). Обозначим скорость второй частицы в системе <math>K</math> через <math>v_2</math>. При малых (по сравнению со скоростью света <math>c</math>) скоростях приближённо выполняется галилеевский закон сложения скоростей <math>v_2=v_1+v'_2</math>. Однако в релятивистском случае эта формула не действует, и скорость второй частицы необходимо вычислять с помощью [[преобразования Лоренца|лоренцевых преобразований]]. Релятивистский закон сложения скоростей
: <math>v_2=\frac{v_1+v'_2}{1+\dfrac{v_1v'_2}{c^2}}</math>
отличается от галилеевского знаменателем, который при малых скоростях близок к единице. Рассмотрим соответствующие скоростям быстроты <math>\theta \equiv c\,\mathrm{Arth}\frac{v}{c}</math>. Оказывается, что быстрота второй частицы в системе отсчёта <math>K</math> равна сумме быстрот:
: <math>\theta_2=\theta_1+\theta'_2.</math>
Удобство записи закона сложения скоростей в терминах быстрот привело к тому, что эта величина довольно широко используется в релятивистской кинематике, особенно в ускорительной физике. Однако следует помнить, что сложение быстрот совпадает по виду с галилеевским векторным сложением скоростей только при одномерном движении частиц.

Вводится также '''полная быстрота''' <math>\vartheta = c\cdot\frac{1}{2}\ln\frac{E+cp}{E-cp},</math> аддитивная при преобразованиях Лоренца и представляющая собой расстояние в пространстве скоростей. Быстрота является продольной составляющей полной быстроты.

== Геометрический смысл быстроты ==
В [[Пространство Минковского|пространстве Минковского]] быстрота представляет собой [[угол]] между [[Касательная прямая|касательной]] к [[Мировая линия|мировой линии]] частицы и осью времени в базовой системе отсчёта. В формализме Минковского (<math>x_0 = ict</math>) этот угол является [[Комплексные числа|мнимым]].

В формализме гиперболических комплексных чисел (известных также как [[двойные числа]] или паракомплексные числа — вариант комплексных чисел, в которых мнимая единица {{math|''j''}} определяется соотношением {{nobr|{{math|''j''}}<sup>2</sup> {{=}} +1}}) точка в пространстве Минковского представляется паракомплексным числом {{math|''z'' {{=}} ρ''e''<sup>''j''φ</sup> {{=}} ρ(ch φ + ''j''sh φ)}}, где {{math|φ}} и {{math|ρ}} — действительные. При этом угол {{math|φ}} является быстротой частицы, движущейся равномерно из начала отсчёта и проходящей через точку {{math|''z''}}, а {{math|ρ}} — [[Интервал (теория относительности)|интервалом]] от начала отсчёта до точки {{math|''z''}} (то есть собственным временем частицы, протекшим от прохождения через начало отсчёта до прохождения через {{math|''z''}}). Лоренц-преобразование определяется умножением пространственно-временных координат, выраженных паракомплексными числами, на паракомплексное число с единичным модулем {{math|λ(φ) {{=}} ''e''<sup>''j''φ</sup>}}. В результате все интервалы сохраняются, а паракомплексная плоскость Минковского поворачивается на угол {{math|φ}}. Два последовательных лоренц-преобразования демонстрируют аддитивность быстроты, аналогичную аддитивности угла поворота:
: {{math|λ(φ)·λ(ψ) {{=}} ''e''<sup>''j''φ</sup>·''e''<sup>''j''ψ</sup> {{=}} ''e''<sup>''j''(φ + ψ)</sup> {{=}} λ(φ + ψ).}}

== Некоторые величины специальной теории относительности, выраженные через быстроту ==
Релятивистский импульс:
: <math>p=mc\cdot\operatorname{sh}\frac{\theta}{c}=mc\cdot\operatorname{sh}\varphi,</math>
где:
* {{math|''m''}} — масса,
* {{math|''c''}} — скорость света,
* {{math|φ {{=}} θ/''c''}} — параметр быстроты (безразмерная быстрота).
Полная энергия:
: <math>E = mc^2\cdot\operatorname{ch}\frac{\theta}{c} = mc^2\cdot\operatorname{ch}\varphi.</math>

Скорость в СТО:
: <math>v=c\cdot\operatorname{th}\frac{\theta}{c}=c\cdot\operatorname{th}\varphi.</math> Безразмерная скорость <math>\beta = \operatorname{th}\varphi.</math>
Релятивистский [[эффект Доплера]] (если вектор скорости совпадает с направлением на источник):
: <math>1+z=e^{\theta/c}=e^\varphi,</math>
где <math>z</math> — параметр [[Красное смещение|красного смещения]].

== См. также ==
* [[Псевдобыстрота]]
* [[Лоренцевский буст]]

== Литература ==
* {{статья|автор=Бабурова О. В.|заглавие=Релятивистская кинематика и геометрия Лобачевского|издание=Соросовский образовательный журнал|год=2004|том=8|выпуск=|страницы=77—84|ссылка=https://web.archive.org/web/20061209025440/http://journal.issep.rssi.ru/articles/pdf/0402_077.pdf|doi=|arxiv=|язык=ru}} {{free access}}
* {{ФЭ|автор = Гришин В. Г.|статья = Быстрота|ссылка = http://www.physicum.narod.ru/vol_1/233.pdf|том = 1|страницы = 233}}

== Примечания ==
{{примечания}}

[[Категория:Специальная теория относительности]]
[[Категория:Физические величины]]
[[Категория:Безразмерные параметры]]
[[Категория:Скорость]]