Быстрота

Быстрота́ (Шаблон:Lang-en, иногда применяются также термины рапи́дити, гиперско́рость и угол лоренцева поворота) — в релятивистской кинематике монотонно возрастающая функция скорости, которая стремится к бесконечности, когда скорость стремится к скорости света. В отличие от скорости, для которой закон сложения нетривиален, для быстроты характерен простой закон сложения («быстрота аддитивна»). Поэтому в задачах, связанных с релятивистскими движениями (например, кинематика реакций частиц в физике высоких энергий), часто удобнее пользоваться формализмом быстрот, а не обычных скоростей.

Определение и свойства

Быстрота выражается формулой:

$\theta =c\mathrm{Arth}\frac{v}{c}=\frac{c}{2}\ln \frac{1+\frac{v}{c}}{1-\frac{v}{c}},$

где

• $\theta$ — быстрота,
• $v$ — обычная скорость,
• $c$ — скорость света,
• $\mathrm{Arth}x$ — ареатангенс.

Ареатангенс (или гиперболический арктангенс) $\mathrm{Arth}x\equiv \frac{1}{2}\ln \frac{1+x}{1-x}$ определён в области значений аргумента от −1 до +1; при $x\to \pm 1$ функция $\mathrm{Arth}x\to \pm \mathrm{\infty }.$

Таким образом, быстрота имеет размерность скорости и при изменении скорости от $-c$ до $+c$ меняется от $-\mathrm{\infty }$ до $+\mathrm{\infty }$. Иногда вводят также параметр быстроты $\phi \equiv \theta /c\equiv \mathrm{Arth}\frac{v}{c}$ — безразмерную величину, которую иногда также называют быстротой (особенно при обычном в физике высоких энергий использовании системы единиц, где $c=1$, которая значительно упрощает формулы; при таком определении быстрота становится безразмерной и совпадает с параметром быстроты).

В пределе малых скоростей быстрота примерно равна скорости:

$\theta =v(1+\frac{1}{3}{\left(\frac{v}{c}\right)}^2+...)\approx v$ при $v\ll c$.

В ультрарелятивистском случае $E\gg m$ параметр быстроты можно выразить через энергию и продольный импульс $p_{\Vert }=p\cos \alpha$ (где Шаблон:Math — угол вылета) следующим образом:

$\phi =\frac{1}{2}\ln \frac{E+c{p}_{\Vert }}{E-c{p}_{\Vert }}.$

При этом энергия и продольный импульс частицы могут быть выражены через массу частицы, поперечный импульс $p_{\perp }=p\sin \alpha$ и параметр быстроты:

$E=\sqrt{m^2{c}^4+p_{\perp }^2{c}^2}\mathrm{ch}\phi ,$

$p_{\Vert }=\sqrt{m^2{c}^4+p_{\perp }^2{c}^2}\mathrm{sh}\phi .$

Фактор Лоренца

Связанная с быстротой часто используемая величина — фа́ктор Ло́ренца, или ло́ренц-фа́ктор, названный по имени Г. А. Лоренца и определяемый как

$\gamma \equiv \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.$

Лоренц-фактор равен гиперболическому косинусу параметра быстроты:

$\gamma =\mathrm{ch}\phi .$

С увеличением скорости от 0 до $c$ лоренц-фактор $\gamma$ увеличивается от 1 до $+\mathrm{\infty }$.

Гиперболический синус параметра быстроты равен произведению лоренц-фактора и безразмерной скорости:

$\beta \gamma =\mathrm{sh}\phi .$

Аддитивность быстроты

Пусть в некоторой инерциальной системе отсчёта $K$ две частицы движутся вдоль одной прямой, скорость одной из них равна $v_1$, а скорость второй относительно первой равна $v{\text{'}}_2$ (скорости могут быть как положительными, так и отрицательными). Обозначим скорость второй частицы в системе $K$ через $v_2$. При малых (по сравнению со скоростью света $c$) скоростях приближённо выполняется галилеевский закон сложения скоростей $v_2=v_1+v{\text{'}}_2$. Однако в релятивистском случае эта формула не действует, и скорость второй частицы необходимо вычислять с помощью лоренцевых преобразований. Релятивистский закон сложения скоростей

$v_2=\frac{v_1+v{\text{'}}_2}{1+\frac{v_{1}v{\text{'}}_2}{c^2}}$

отличается от галилеевского знаменателем, который при малых скоростях близок к единице. Рассмотрим соответствующие скоростям быстроты $\theta \equiv c\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{t}\mathrm{h}\frac{v}{c}$. Оказывается, что быстрота второй частицы в системе отсчёта $K$ равна сумме быстрот:

${\theta }_2={\theta }_1+\theta {\text{'}}_2.$

Удобство записи закона сложения скоростей в терминах быстрот привело к тому, что эта величина довольно широко используется в релятивистской кинематике, особенно в ускорительной физике. Однако следует помнить, что сложение быстрот совпадает по виду с галилеевским векторным сложением скоростей только при одномерном движении частиц.

Вводится также полная быстрота $\vartheta =c\cdot \frac{1}{2}\ln \frac{E+cp}{E-cp},$ аддитивная при преобразованиях Лоренца и представляющая собой расстояние в пространстве скоростей. Быстрота является продольной составляющей полной быстроты.

Геометрический смысл быстроты

В пространстве Минковского быстрота представляет собой угол между касательной к мировой линии частицы и осью времени в базовой системе отсчёта. В формализме Минковского ($x_0=ict$) этот угол является мнимым.

В формализме гиперболических комплексных чисел (известных также как двойные числа или паракомплексные числа — вариант комплексных чисел, в которых мнимая единица Шаблон:Math определяется соотношением Шаблон:Nobr) точка в пространстве Минковского представляется паракомплексным числом Шаблон:Math, где Шаблон:Math и Шаблон:Math — действительные. При этом угол Шаблон:Math является быстротой частицы, движущейся равномерно из начала отсчёта и проходящей через точку Шаблон:Math, а Шаблон:Math — интервалом от начала отсчёта до точки Шаблон:Math (то есть собственным временем частицы, протекшим от прохождения через начало отсчёта до прохождения через Шаблон:Math). Лоренц-преобразование определяется умножением пространственно-временных координат, выраженных паракомплексными числами, на паракомплексное число с единичным модулем Шаблон:Math. В результате все интервалы сохраняются, а паракомплексная плоскость Минковского поворачивается на угол Шаблон:Math. Два последовательных лоренц-преобразования демонстрируют аддитивность быстроты, аналогичную аддитивности угла поворота:

Шаблон:Math

Некоторые величины специальной теории относительности, выраженные через быстроту

Релятивистский импульс:

$p=mc\cdot \mathrm{sh}\frac{\theta }{c}=mc\cdot \mathrm{sh}\phi ,$

где:

• Шаблон:Math — масса,
• Шаблон:Math — скорость света,
• Шаблон:Math — параметр быстроты (безразмерная быстрота).

Полная энергия:

$E=m{c}^2\cdot \mathrm{ch}\frac{\theta }{c}=m{c}^2\cdot \mathrm{ch}\phi .$

Скорость в СТО:

$v=c\cdot \mathrm{th}\frac{\theta }{c}=c\cdot \mathrm{th}\phi .$ Безразмерная скорость $\beta =\mathrm{th}\phi .$

Релятивистский эффект Доплера (если вектор скорости совпадает с направлением на источник):

$1+z=e^{\theta /c}=e^{\phi },$

где $z$ — параметр красного смещения.

См. также

• Псевдобыстрота
• Лоренцевский буст

Литература

• Шаблон:Статья Шаблон:Free access
• Шаблон:ФЭ