Просмотр кода страницы Верзиера

{{Обзорная статья|Окружность}}

[[Файл:Witch_of_Agnesi_2.svg|400px|thumb|right|Верзиера]]
'''Верзие́ра''' (иногда '''ло́кон Анье́зи''') ({{lang-en|witch of Agnesi}} — ведьма Аньези{{sfn|''Lawrence J. D.'' A Catalog of Special Plane Curves, 1972|loc=4.3. Witch of Agnesi (Fermat, 1666; Agnesi, 1748), с. 90}}{{sfn|''Ferréol Robert.'' Witch of Agnesi, 2019}}{{sfn|''Weisstein Eric W.'' Witch of Agnesi, 2024}}; {{lang-en|versiera}} — ведьма с [[Итальянский язык|итальянского]]) — [[плоская кривая]], [[геометрическое место точек]] <math>M</math>, для которых выполняется соотношение <math>\textstyle\frac{BM}{BC}=\frac{OA}{OB}</math>, где <math>OA</math> — диаметр окружности, <math>BC</math> — полухорда этой окружности, перпендикулярная <math>OA</math>{{sfn|''Выгодский М. Я.'' Справочник по высшей математике, 2006|loc=§ 506. Верзьера Аньези, с. 870}}. Своё название верзиера Аньези получила в честь итальянского математика [[Аньези, Мария Гаэтана|Марии Гаэтаны Аньези]], исследовавшей эту кривую{{sfn|''Lawrence J. D.'' A Catalog of Special Plane Curves, 1972|loc=4.3. Witch of Agnesi (Fermat, 1666; Agnesi, 1748), с. 90}}{{sfn|''Выгодский М. Я.'' Справочник по высшей математике, 2006|loc=§ 506. Верзьера Аньези, с. 870}}{{sfn|''Савелов А. А.'' Плоские кривые, 1960|loc=4. Верзиера, с. 89}}{{sfn|''Шикин Е. В., Франк-Каменецкий М. М.'' Кривые на плоскости и в пространстве, 1997|loc=§ 2. Атлас кривых. Аньезиана, с. 66}}{{sfn|''Смогоржевский А. С., Столова Е. С.'' Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка, 1961|loc=с. 214}}{{sfn|''Иванов А. Б.'' Аньези локон, 1977}}{{sfn|''Аньези локон'', 1988}}{{sfn|''Аньези локон'', 1970}}{{sfn|''Линия'', 1973|loc=с. 467—468}}.

Устаревший термин '''верзье́ра Анье́зи'''{{sfn|''Выгодский М. Я.'' Справочник по высшей математике, 2006|loc=§ 506. Верзьера Аньези, с. 870}}{{sfn|''Выгодский М. Я.'' Справочник по высшей математике, 1956}}.

Обобщения верзиеры:
* [[аньезиана]] — прямая <math>AL</math> занимает произвольное положение, перпендикулярное <math>OA</math>{{sfn|''Смогоржевский А. С., Столова Е. С.'' Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка, 1961|loc=с. 73, 215}}{{sfn|''Шикин Е. В., Франк-Каменецкий М. М.'' Кривые на плоскости и в пространстве, 1997|loc=§ 2. Атлас кривых. Аньезиана, с. 60}};
* [[агвинея Ньютона]] — не только прямая <math>AL</math>, но и полюс <math>O</math> занимает произвольное положение на <math>OA</math>{{sfn|''Иванов А. Б.'' Аньези локон, 1977}}{{sfn|''Савелов А. А.'' Плоские кривые, 1960|loc=4. Верзиера, с. 90}}.

== История ==

[[Пьер Ферма]] в 1630 году нашёл площадь области между кривой и её асимптотой. В 1703 году [[Гранди, Гвидо (философ)|Гвидо Гранди]], независимо от Ферма, описал построение этой кривой, а в работе 1718 года назвал её верзиерой ({{lang-it|Versiera}}, от {{lang-la|Versoria}}), так как в его конструкции использовалась функция [[синус-верзус]]{{sfn|''Выгодский М. Я.'' Справочник по высшей математике, 2006|loc=§ 506. Верзьера Аньези, с. 872}}{{sfn|''Truesdell C.'' Corrections and Additions for “Maria Gaetana Agnesi”, 1992}}.

В 1748 году Мария Аньези опубликовала известный обобщающий труд ''Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana'', в котором кривая, как и в работе Гранди, именовалась верзиерой. По совпадению, итальянское слово ''Versiera/Aversiera'', производное от латинского ''Adversarius'', имело также значение «ведьма» (англ. ''witch''){{sfn|''Pietro Fanfani.'' Vocabolario dell' uso toscano, 1863}}. Возможно, по этой причине кембриджский профессор Джон Колсон, переводивший труд Аньези на английский, неправильно перевёл это слово, в результате чего в литературе на английском языке кривая часто именуется ''the witch of Agnesi''{{sfn|''Weisstein Eric W.'' Witch of Agnesi, 2024}}.

== Синонимы ==
В источниках встречаются следующие синонимы верзиеры.
* Наиболее известный синоним — '''локон Аньези''' ({{lang-en|Agnesi curl}}){{sfn|''Lawrence J. D.'' A Catalog of Special Plane Curves, 1972|loc=4.3. Witch of Agnesi (Fermat, 1666; Agnesi, 1748), с. 90}}{{sfn|''Ferréol Robert.'' Witch of Agnesi, 2019}}{{sfn|''Шикин Е. В., Франк-Каменецкий М. М.'' Кривые на плоскости и в пространстве, 1997|loc=§ 2. Атлас кривых. Аньезиана, с. 66}}{{sfn|''Смогоржевский А. С., Столова Е. С.'' Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка, 1961|loc=с. 214}}{{sfn|''Иванов А. Б.'' Аньези локон, 1977}}{{sfn|''Аньези локон'', 1988}}{{sfn|''Аньези локон'', 1970}}{{sfn|''Линия'', 1973|loc=с. 467—468}}{{sfn|''Выгодский М. Я.'' Справочник по высшей математике, 2006|loc=§ 506. Верзьера Аньези, с. 872}}. Это курьезное название, возможно, исторически не обосновано{{sfn|''Выгодский М. Я.'' Справочник по высшей математике, 2006|loc=§ 506. Верзьера Аньези, с. 872}}.
* Естественное название по классификации кривой — '''[[кубика]] Аньези''' ({{lang-en|cubic of Agnesi}}){{sfn|''Ferréol Robert.'' Witch of Agnesi, 2019}}.
* Естественное название по форме кривой — '''колоколообразная кривая [[Коши, Огюстен Луи|Коши]]''' ({{lang-en|bell curve of Cauchy}}){{sfn|''Ferréol Robert.'' Witch of Agnesi, 2019}}.
* Устаревшие названия:
:* '''верзьера Аньези'''{{sfn|''Выгодский М. Я.'' Справочник по высшей математике, 2006|loc=§ 506. Верзьера Аньези, с. 870}}{{sfn|''Выгодский М. Я.'' Справочник по высшей математике, 1956}};
:* '''аньезера''' {{sfn|''Шикин Е. В., Франк-Каменецкий М. М.'' Кривые на плоскости и в пространстве, 1997|loc=с. 326}};
:* '''версьера''' {{sfn|''Шикин Е. В., Франк-Каменецкий М. М.'' Кривые на плоскости и в пространстве, 1997|loc=с. 326}}.

== Уравнения ==
<math>O=(0,\, 0),\,</math>
<math>A=(0,\, a).</math>
* В [[Прямоугольные координаты|прямоугольной]] системе координат{{sfn|''Ferréol Robert.'' Witch of Agnesi, 2019}}{{sfn|''Смогоржевский А. С., Столова Е. С.'' Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка, 1961|loc=с. 73, 214}}:
: <math>y = \frac{a^3}{a^2+x^2}.</math>
{{Hider|
  title = Вывод{{sfn|''Ferréol Robert.'' Witch of Agnesi, 2019}}{{sfn|''Смогоржевский А. С., Столова Е. С.'' Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка, 1961|loc=с. 73, 214}}|
  hidden = 1 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content =
Координаты точки <math>M</math>, лежащей на верзиере — это <math>x = BM,\,</math> <math>y = OB.\,</math> Далее, <math>OA = a</math> и по определению строим пропорцию
: <math>\frac{x}{BC} = \frac{a}{y}.</math>
Отсюда
: <math>BC=\frac{xy}{a}.</math>
С другой стороны, <math>BC</math> может быть найден из уравнения окружности
: <math>\left (y - \frac{a}{2}\right )^2 + x^2 = \frac{a^2}{4}.</math>
Нам известен <math>y = OB</math>, значит, выражаем <math>x^2:</math>
: <math>x^2 = \frac{a^2}{4} - \left(y - \frac{a}{2}\right)^2.</math>
Приравниваем оба выражения для <math>BC:</math>
: <math>\frac{x^2 y^2}{a^2} = \frac{a^2}{4} - \left(y - \frac{a}{2}\right)^2.</math>
Возводим в квадрат, переносим и выносим <math>y^2</math> за скобки:
: <math>\left(\frac{x^2}{a^2} + 1\right)y^2 = ay.</math>
Выражаем y (y = 0 не подходит по определению):
: <math>y = \frac{a^3}{a^2 + x^2}.</math>
Если <math>a</math> — это не [[диаметр]],  а [[радиус]] окружности, то уравнение такое:
: <math>y = \frac{8a^3}{4a^2+x^2}.</math>
}}

* Параметрическое уравнение{{sfn|''Ferréol Robert.'' Witch of Agnesi, 2019}}{{sfn|''Lawrence J. D.'' A Catalog of Special Plane Curves, 1972|loc=4.3. Witch of Agnesi (Fermat, 1666; Agnesi, 1748), с. 91}}:
: <math>\begin{cases}x = a\,\operatorname{tg}\,\varphi, \\ y = a\cos^2\varphi \end{cases},</math>
где <math>\varphi</math> — угол между <math>OA</math> и <math>OC,\,</math> <math>-\frac\pi2 \leqslant \varphi \leqslant \frac\pi2.</math>
{{Hider|
  title = Вывод{{sfn|''Lawrence J. D.'' A Catalog of Special Plane Curves, 1972|loc=4.3. Witch of Agnesi (Fermat, 1666; Agnesi, 1748), с. 91}}|
  hidden = 1 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content =
Координаты точки <math>M</math> однозначно определяются углом <math>\varphi</math> между <math>OB</math> и <math>OC</math>. Если <math>OB = y</math>, а <math>BM = x</math>, то по определению верзиеры можно составить пропорцию
: <math>\frac{OA}{y}=\frac{x}{BC}.</math>
<math>OA</math> по предположению равен <math>a</math>. Из треугольника <math>OBC</math>: <math>BC = y\,\operatorname{tg}\,\varphi</math>, значит,
: <math>\frac{a}{y} = \frac{x}{y\,\operatorname{tg}\,\varphi},</math>
отсюда <math>x = a\,\operatorname{tg}\,\varphi</math>. Эту формулу подставляем в уравнение кривой:
:<math>y = \frac{a^3}{a^2+a^2\,\operatorname{tg}^2\,\varphi}.</math>

:<math>y = \frac{a}{1+\,\operatorname{tg}^2\,\varphi}.</math>
Используя [[тригонометрические тождества|тождество]], получаем
:<math>y=a\cos^2\varphi.</math>
}}

* В [[Полярные координаты|полярной]] системе уравнение верзиеры достаточно сложное, чтобы найти его, необходимо решить [[кубическое уравнение]]{{sfn|''Lawrence J. D.'' A Catalog of Special Plane Curves, 1972|loc=5.13. Piriform (De Longchamps, 1886), с. 91}}:
: <math>\rho\sin{\varphi} = \frac{a^3}{a^2+\rho^2\cos^{2}\varphi},</math>
: <math>\rho^3(\cos^2\varphi\sin\varphi)+\rho(a^2\sin\varphi)-a^3 = 0.</math>
Однако полученная формула будет слишком сложной и громоздкой, чтобы иметь какое-либо практическое значение.

== Свойства ==
Свойства верзиеры{{sfn|''Ferréol Robert.'' Witch of Agnesi, 2019}}{{sfn|''Шикин Е. В., Франк-Каменецкий М. М.'' Кривые на плоскости и в пространстве, 1997|loc=§ 2. Атлас кривых. Аньезиана, с. 60}}{{sfn|''Аньези локон'', 1988}}{{sfn|''Смогоржевский А. С., Столова Е. С.'' Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка, 1961|loc=с. 214}}{{sfn|''Савелов А. А.'' Плоские кривые, 1960|loc=4. Верзиера, с. 90}}:
* верзиера — [[кривая]] третьего порядка;
* диаметр <math>OA</math> — единственная ось [[симметрия|симметрии]] кривой;
* кривая имеет один максимум <math>A(0;a)</math> и две [[Точка перегиба плоской кривой|точки перегиба]] <math>P_{1,2}\left(\pm\frac{a}{\sqrt{3}},\, \frac{3a}{4}\right);</math>
* в окрестности вершины <math>A</math> верзиера приближается к окружности диаметра <math>OA</math>. В точке <math>A</math> происходит касание, и кривая совпадает с окружностью. Это показывает величина [[радиус кривизны|радиуса кривизны]] в точке <math>A</math>: <math>R_A = \frac{a}{2};</math>
* площадь под графиком <math>S = \pi a^2</math>. Она вычисляется [[несобственный интеграл|интегрированием]] уравнения по всему [[Вещественная прямая|<math>\mathbb{R};</math>]]
* объём тела вращения верзиеры вокруг своей асимптоты (оси <math>OX</math>) <math>V=\frac{\pi^2 a^3}{2}.</math>

== Построение ==
[[Файл: Anesi01.gif|400px|thumb|Построение верзиеры]]
Строится окружность диаметра <math>a</math> и касательная к ней. На касательной выбирается [[система отсчёта]] с началом в точке касания. Строится произвольная прямая через выбранную точку касательной, которая пересекается с окружностью и касательной прямой в точке окружности, противоположной началу координат. Через точку пересечения произвольной прямой с окружностью строится прямая, [[параллельность|параллельная]] касательным. Точка верзиеры лежит на пересечении этой прямой и [[перпендикулярность#Перпендикулярность прямых на плоскости|перпендикуляра]], опущенного из точки пересечения произвольной прямой к касательной в точке, противоположной началу координат (см. рисунок справа){{sfn|''Lawrence J. D.'' A Catalog of Special Plane Curves, 1972|loc=4.3. Witch of Agnesi (Fermat, 1666; Agnesi, 1748), с. 90}}{{sfn|''Смогоржевский А. С., Столова Е. С.'' Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка, 1961|loc=с. 73, 214}}.

== Интересные факты ==
* [[Трамплин]]-[[Рампа_(конструкция)|рампа]] российского авианосца [[Адмирал флота Советского Союза Кузнецов]] образован верзиерой Аньези. Когда самолет сходит с рампы, он находится в идеальном угле атаки при скорости 180—200 км/ч (для [[Су-27]]). Теоретически, с рампы-трамплина может взлететь самолет любой взлетной массы.{{sfn|''Локон красавицы и арбалет великана: тренажер «Нитка» — прошлое и будущее'', 2012}}

== Примечания ==
{{примечания}}

== Источники ==
* {{h|''Аньези локон'', 1970|3=
''Аньези локон'' // ''[[Большая советская энциклопедия]].'' (В 30 томах) Гл. ред. [[Прохоров, Александр Михайлович|А. М. Прохоров]]. Изд. 3-е. М.: «[[Большая российская энциклопедия (издательство)|Советская энциклопедия]]», 1970. Т. 2. Ангола — Барзас. 1970. 632 с. с илл., 32 л. илл., 14 л. карт. С. 115.
}}
* {{h|''Аньези локон'', 1988|3=
''Аньези локон'' // ''[[Математический энциклопедический словарь]]'' / Гл. ред. [[Прохоров, Юрий Васильевич|Ю. В. Прохоров]]; Ред. Кол.: [[Адян, Сергей Иванович|С. И. Адян]], [[Бахвалов, Николай Сергеевич|Н. С. Бахвалов]], В. И. Битюцков, [[Ершов, Андрей Петрович|А. П. Ершов]], [[Кудрявцев, Лев Дмитриевич|Л. Д. Кудрявцев]], [[Онищик, Аркадий Львович|А. Л. Онищик]], [[Юшкевич, Адольф Павлович|А. П. Юшкевич]]. М.: «[[Большая российская энциклопедия (издательство)|Советская энциклопедия]]», 1988. 847 с., ил. С. 75.
}}
* {{h|''Выгодский М. Я.'' Справочник по высшей математике, 2006|3=
''[[Выгодский, Марк Яковлевич|Выгодский М. Я.]]'' Справочник по высшей математике. М.: [[АСТ (издательство)|АСТ]]: [[Астрель]], 2006. 991 с., ил. ISBN 5-17-012238-1 (ООО «Издательство ACT»). ISBN 5-271-03651-0 (ООО «Издательство Астрель»).
}}
* {{h|''Выгодский М. Я.'' Справочник по высшей математике, 1956|3=
''[[Выгодский, Марк Яковлевич|Выгодский М. Я.]]'' Справочник по высшей математике. М.: [[Физматлит|Гостехиздат]], 1956. 783 с., черт.
}}
* {{h|''Иванов А. Б.'' Аньези локон, 1977|3=
''Иванов А. Б.'' Аньези локон // ''[[Математическая энциклопедия]]'': Гл. ред. [[Виноградов, Иван Матвеевич|И. М. Виноградов]], т. 1 А—Г. М.: «Советская Энциклопедия», 1977. 1152 стб., ил. Стб. 297.
}}
* {{h|''Линия'', 1973|3=
''Линия'' // ''[[Большая советская энциклопедия]].'' (В 30 томах) Гл. ред. [[Прохоров, Александр Михайлович|А. М. Прохоров]]. Изд. 3-е. М.: «[[Большая российская энциклопедия (издательство)|Советская энциклопедия]]», 1973. Т. 14. Куна — Ломами. 1973. 624 с. с илл., 32 л. илл., 6 л. карт. С. 466—470.
}}
* {{h|''Локон красавицы и арбалет великана: тренажер «Нитка» — прошлое и будущее'', 2012|3=
[https://www.ntv.ru/peredacha/smotr/m2220/o95017/ ''Локон красавицы и арбалет великана: тренажер «Нитка» — прошлое и будущее''. 04.02.2012, 07:25] // [https://www.ntv.ru/ НТВ.Ru] {{Wayback|url=https://www.ntv.ru/peredacha/smotr/m2220/o95017/ |date=20180330}}
}}
* {{h|''Савелов А. А.'' Плоские кривые, 1960|3=
''Савелов А. А.'' Плоские кривые. Систематика, свойства, применения. (Справочное руководство) / Под ред. [[Норден, Александр Петрович|А. П. Нордена]]. М.: Физматлит, 1960. 293 с., ил.
}}
* {{h|''Смогоржевский А. С., Столова Е. С.'' Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка, 1961|3=
''Смогоржевский А. С., Столова Е. С.'' Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка. М.: Физматлит, 1961. 271 с., ил.
}}
* {{h|''Шикин Е. В., Франк-Каменецкий М. М.'' Кривые на плоскости и в пространстве, 1997|3=
''Шикин Е. В., Франк-Каменецкий М. М.'' Кривые на плоскости и в пространстве. Справочник с приложенипем дискеты «Плоские кривые». М.: ФАЗИС, 1997. 334 с., ил. ISBN 5-7036-0027-8.
}}
* {{h|''Pietro Fanfani.'' Vocabolario dell' uso toscano, 1863|3=
''Pietro Fanfani.'' Vocabolario dell' uso toscano. P. 334. [https://books.google.ru/books?id=SOczmy2F2y0C&pg=PA334&lpg=PA334&dq=versicra&source=bl&ots=uR83eWWp30&sig=efg5mhXOHtdB4XNw0FnSgOAf6zM&hl=en&ei=7zWPTvHTLsLpsQLbqsidAQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&redir_esc=y#v=onepage&q=versicra&f=false ''Pietro Fanfani.'' Vocabolario dell' uso toscano. P. 334] // [https://books.google.ru/books?uid=103200717240741676246&hl=ru Google Книги] {{Wayback|url=https://books.google.ru/books?id=SOczmy2F2y0C&pg=PA334&lpg=PA334&dq=versicra&source=bl&ots=uR83eWWp30&sig=efg5mhXOHtdB4XNw0FnSgOAf6zM&hl=en&ei=7zWPTvHTLsLpsQLbqsidAQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&redir_esc=y#v=onepage&q=versicra&f=false |date=20140502}}
}}
* {{h|''Ferréol Robert.'' Witch of Agnesi, 2019|3=
[https://mathcurve.com/courbes2d.gb/agnesi/agnesi.shtml ''Ferréol Robert.'' Witch of Agnesi] // [https://mathcurve.com/ ENCYCLOPÉDIE DES FORMES MATHÉMATIQUES REMARQUABLES] {{Wayback|url=https://mathcurve.com/courbes2d.gb/agnesi/agnesi.shtml |date=20230825}}
}}
* {{h|''Lawrence J. D.'' A Catalog of Special Plane Curves, 1972|3=
''Lawrence J. D.'' A Catalog of Special Plane Curves. New York: Dover Publications, Inc., 1972. 218 p.
}}
* {{h|''Truesdell C.'' Corrections and Additions for “Maria Gaetana Agnesi”, 1992|3=
''Truesdell C.'' Corrections and Additions for “Maria Gaetana Agnesi” // Archive for History of Exact Sciences. 1992. Vol. 43. P. 385–386. [https://doi.org/10.1007/BF00374764 doi=10.1007/BF00374764] [https://link.springer.com/article/10.1007/BF00374764#preview ''Truesdell C.'' Corrections and Additions for “Maria Gaetana Agnesi”] // [https://link.springer.com/ Springer Link] {{Wayback|url=https://link.springer.com/article/10.1007/BF00374764#preview |date=20230731}}
}}
* {{h|''Weisstein Eric W.'' Witch of Agnesi, 2024|3=
[https://mathworld.wolfram.com/about/author.html ''Weisstein Eric W.''] [https://mathworld.wolfram.com/WitchofAgnesi.html Witch of Agnesi] // [https://mathworld.wolfram.com/  Wolfram MathWorld] {{Wayback|url=https://mathworld.wolfram.com/WitchofAgnesi.html |date=20220508}}
}}

== Ссылки ==
* {{cite web|author=|datepublished=|url=http://school-collection.edu.ru/catalog/res/d2e2e977-064d-4a6e-99a8-17ef4f4f5d2c/|title=Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов|accessdate=2012-01-13|archiveurl=|archivedate=|deadlink=no}}
* {{cite web|author=|datepublished=|lang=en|url=http://www.dynamicgeometry.com/JavaSketchpad/Gallery/Trigonometry_and_Analytic_Geometry/The_Witch_of_Agnesi.html|title=Анимация построения|accessdate=2012-01-13|archiveurl=https://www.webcitation.org/66AJmlUcs?url=http://www.dynamicgeometry.com/JavaSketchpad/Gallery/Trigonometry_and_Analytic_Geometry/The_Witch_of_Agnesi.html|archivedate=2012-03-14|deadlink=no}}
* {{cite web
 |author        = Leslie Pacher
 |datepublished = 
 |lang          = en
 |url           = http://www.shsu.edu/~mth_jaj/math470/papers_s06/Leslie.pdf
 |title         = The mathematical “Witch”
 |accessdate    = 2012-01-13
 |archiveurl    = https://www.webcitation.org/66AJohbSX?url=http://www.shsu.edu/~mth_jaj/math470/papers_s06/Leslie.pdf
 |archivedate   = 2012-03-14
 |deadlink      = yes
}}

{{Внешние ссылки}}
{{Кривые}}

[[Категория:Кривые]]