Верзиера

Верзиера

Верзие́ра (иногда ло́кон Анье́зи) (Шаблон:Lang-en — ведьма АньезиШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn; Шаблон:Lang-en — ведьма с итальянского) — плоская кривая, геометрическое место точек $M$, для которых выполняется соотношение $\frac{BM}{BC}=\frac{OA}{OB}$, где $OA$ — диаметр окружности, $BC$ — полухорда этой окружности, перпендикулярная $OA$Шаблон:Sfn. Своё название верзиера Аньези получила в честь итальянского математика Марии Гаэтаны Аньези, исследовавшей эту кривуюШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Устаревший термин верзье́ра Анье́зиШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Обобщения верзиеры:

• аньезиана — прямая $AL$ занимает произвольное положение, перпендикулярное $OA$Шаблон:SfnШаблон:Sfn;
• агвинея Ньютона — не только прямая $AL$, но и полюс $O$ занимает произвольное положение на $OA$Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

История

Пьер Ферма в 1630 году нашёл площадь области между кривой и её асимптотой. В 1703 году Гвидо Гранди, независимо от Ферма, описал построение этой кривой, а в работе 1718 года назвал её верзиерой (Шаблон:Lang-it, от Шаблон:Lang-la), так как в его конструкции использовалась функция синус-верзусШаблон:SfnШаблон:Sfn.

В 1748 году Мария Аньези опубликовала известный обобщающий труд Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana, в котором кривая, как и в работе Гранди, именовалась верзиерой. По совпадению, итальянское слово Versiera/Aversiera, производное от латинского Adversarius, имело также значение «ведьма» (англ. witch)Шаблон:Sfn. Возможно, по этой причине кембриджский профессор Джон Колсон, переводивший труд Аньези на английский, неправильно перевёл это слово, в результате чего в литературе на английском языке кривая часто именуется the witch of AgnesiШаблон:Sfn.

Синонимы

В источниках встречаются следующие синонимы верзиеры.

• Наиболее известный синоним — локон Аньези (Шаблон:Lang-en)Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn. Это курьезное название, возможно, исторически не обоснованоШаблон:Sfn.
• Естественное название по классификации кривой — кубика Аньези (Шаблон:Lang-en)Шаблон:Sfn.
• Естественное название по форме кривой — колоколообразная кривая Коши (Шаблон:Lang-en)Шаблон:Sfn.
• Устаревшие названия:

• верзьера АньезиШаблон:SfnШаблон:Sfn;
• аньезера Шаблон:Sfn;
• версьера Шаблон:Sfn.

Уравнения

$O=(0,0),$ $A=(0,a).$

• В прямоугольной системе координатШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$y=\frac{a^3}{a^2+x^2}.$

• Параметрическое уравнениеШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$\{\begin{array}{c}x=a\mathrm{tg}\phi ,\\ y=a{\cos }^2\phi \end{array},$

где $\phi$ — угол между $OA$ и $OC,$ $-\frac{\pi }{2}⩽\phi ⩽\frac{\pi }{2}.$ Шаблон:Hider

• В полярной системе уравнение верзиеры достаточно сложное, чтобы найти его, необходимо решить кубическое уравнениеШаблон:Sfn:

$\rho \sin \phi =\frac{a^3}{a^2+{\rho }^2{\cos }^2\phi },$

${\rho }^3({\cos }^2\phi \sin \phi )+\rho (a^2\sin \phi )-a^3=0.$

Однако полученная формула будет слишком сложной и громоздкой, чтобы иметь какое-либо практическое значение.

Свойства

Свойства верзиерыШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:

• верзиера — кривая третьего порядка;
• диаметр $OA$ — единственная ось симметрии кривой;
• кривая имеет один максимум $A(0;a)$ и две точки перегиба $P_{1,2}(\pm \frac{a}{\sqrt{3}},\frac{3a}{4});$
• в окрестности вершины $A$ верзиера приближается к окружности диаметра $OA$. В точке $A$ происходит касание, и кривая совпадает с окружностью. Это показывает величина радиуса кривизны в точке $A$: $R_A=\frac{a}{2};$
• площадь под графиком $S=\pi a^2$. Она вычисляется интегрированием уравнения по всему $ℝ;$
• объём тела вращения верзиеры вокруг своей асимптоты (оси $OX$) $V=\frac{{\pi }^2{a}^3}{2}.$

Построение

Построение верзиеры

Строится окружность диаметра $a$ и касательная к ней. На касательной выбирается система отсчёта с началом в точке касания. Строится произвольная прямая через выбранную точку касательной, которая пересекается с окружностью и касательной прямой в точке окружности, противоположной началу координат. Через точку пересечения произвольной прямой с окружностью строится прямая, параллельная касательным. Точка верзиеры лежит на пересечении этой прямой и перпендикуляра, опущенного из точки пересечения произвольной прямой к касательной в точке, противоположной началу координат (см. рисунок справа)Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

Интересные факты

• Трамплин-рампа российского авианосца Адмирал флота Советского Союза Кузнецов образован верзиерой Аньези. Когда самолет сходит с рампы, он находится в идеальном угле атаки при скорости 180—200 км/ч (для Су-27). Теоретически, с рампы-трамплина может взлететь самолет любой взлетной массы.Шаблон:Sfn

Источники

• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H

Ссылки

• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Cite web