Аньезиана

Аньезиа́на (Шаблон:Lang-en — кривая АньезиШаблон:Sfn) (частный случай — верзие́раШаблон:Sfn Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn) — гиперболизм окружности с полюсом на этой окружности и произвольной прямой, перпендикулярной диаметру окружности с концом на полюсеШаблон:Sfn Шаблон:Sfn.

В декартовых координатах аньезиана — это гиперболизм окружности

x^{2} + (y - a)^{2} = a^{2}

с радиусом $a$ и полюсом в начале координат на окружности и прямой $y = b$ , имеющий следующее уравнениеШаблон:Sfn Шаблон:Sfn:

{(x \frac{y}{b})}^{2} + (y - a)^{2} = a^{2},

или

y (b^{2} + x^{2}) = 2 a b^{2};

или

y = \frac{2 a b^{2}}{b^{2} + x^{2}} .

Полагают, что $a > 0$ : при $a = 0$ аньезиана вырождается в ось абсциссШаблон:Sfn Шаблон:Sfn.

Относится к плоским алгебраически кривым 3-го порядкаШаблон:Sfn Шаблон:Sfn.

Аньезиана — это кривая, обладающая следующими простыми свойствамиШаблон:Sfn Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn:

неограниченная;
имеет одну асимптоту.
связная;
имеет бесконечно удалённую изолированную точку в направлении оси ординат;
особых точек нет;
имеет одну ось симметрии.

Образующая окружность есть антигиперболизм аньезианыШаблон:Sfn.

Своё название аньезиана получила в честь итальянского математика Марии Гаэтаны Аньези, исследовавшей частный случай этой кривой — верзиеру — в 1748 годуШаблон:Sfn Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn. Ранее верзиеру изучали Пьер Ферма в 1630 году и Гвидо Гранди в 1703 годуШаблон:Sfn.

Определения аньезианы

Определение и уравнение

Аньезиа́на (Шаблон:Lang-en — кривая АньезиШаблон:Sfn) — гиперболизм окружности, ограниченный тем, что его полюс расположен на этой окружности, и произвольной прямой, перпендикулярной диаметру окружности с концом на полюсеШаблон:Sfn Шаблон:Sfn. Эта окружность называется образующейШаблон:Sfn, или производящейШаблон:Sfn Шаблон:Sfn. Точка образующей окружности, диаметрально противоположная полюсу, называется вершиной аньезианыШаблон:Sfn.

В декартовых координатах аньезиана — это гиперболизм окружности

x^{2} + (y - a)^{2} = a^{2}

с радиусом $a$ ограниченный тем, что его полюс расположен на окружности, куда удобно поместить также и начало координат, и произвольной прямой $y = b$ . Такой гиперболизм окружности записывается уравнением, полученным из уравнения окружностиШаблон:Sfn Шаблон:Sfn:

{(x \frac{y}{b})}^{2} + (y - a)^{2} = a^{2},

или

y (b^{2} + x^{2}) = 2 a b^{2};

или

y = \frac{2 a b^{2}}{b^{2} + x^{2}} .

Полагают, что $a > 0$ , поскольку при $a = 0$ аньезиана вырождается в прямую $y = 0$ — ось абсциссШаблон:Sfn Шаблон:Sfn.

Относится к плоским алгебраически кривым 3-го порядкаШаблон:Sfn Шаблон:Sfn.

Аньезиана — это кривая, обладающая следующими простыми свойствамиШаблон:Sfn Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn:

неограниченная;
имеет одну асимптоту.
связная;
имеет бесконечно удалённую изолированную точку в направлении оси ординат;
особых точек нет;
имеет одну ось симметрии.

Приведённое выше уравнение аньезианы в декартовой системе координат

y (b^{2} + x^{2}) = 2 a b^{2};

(с площадью $S = 2 π a b$ области, ограниченной кривой и асимптотой $y = 0$ Шаблон:Sfn) может быть записано по-другому:

в сокращённой формеШаблон:Sfn Шаблон:Sfn:

y (b^{2} + x^{2}) = d b^{2};

где

d = 2 a

— диаметр базовой окружности гиперболизма (и площадью

S = π d b

Шаблон:Sfn);

с изменённым параметром $2 a = \frac{r^{2}}{b}$ (и площадью $S = π r^{2}$ )Шаблон:Sfn:

y (b^{2} + x^{2}) = b r^{2} .

Все уравнения, рассмотренные выше, имеют вертикальную ось симметрии (совпадающую с оью ординат) и асимптоту $y = 0$ , расположенную снизу от кривой. Но асимптоту можно расположить на графике и сверху, записав уравнение аньезианы в следующей форме:

y (b^{2} + x^{2}) = - 2 a b^{2} .

У всех уравнений, рассмотренные выше, ось симметрии совпадает с осью ординат. У следующих уравнений ось симметрии аньезианы совпадает с осью абсциссШаблон:Sfn:

асимптота $x = 0$ расположена слева от кривой:

x (b^{2} + y^{2}) = 2 a b^{2};

асимптота $x = 0$ расположена справа от кривой:

x (b^{2} + y^{2}) = - 2 a b^{2} .

Частные случаи

Шаблон:Обзорная статья Верзиера (локон Аньези) — частный случай аньезианы при $b = 2 a$ со следующим уравнениемШаблон:Sfn Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn:

y (4 a^{2} + x^{2}) = 8 a^{3} (y (d^{2} + x^{2}) = d^{3}, d = 2 a) .

Псевдоверзиера — частный случай аньезианы при $b = a$ со следующим уравнениемШаблон:Sfn Шаблон:Sfn:

y (a^{2} + x^{2}) = 2 a^{3} (y (d^{2} + 4 x^{2}) = d^{3}, d = 2 a) .

Поскольку уравнение верзиеры можно записать в виде

y (d^{2} + x^{2}) = d^{3},

а уравнение псевдоверзиеры в виде

y (a^{2} + x^{2}) = 2 a^{3},

то псевдоверзиера получается удвоением ординат верзиеры, если $d = a,$ другими словами, если диаметр образующей окружности верзиеры равен радиусу образующей окружности псевдоверзиерыШаблон:Sfn.

Вывод уравнения и геометрическое построение

Получить аньезиану $F (X, Y)$ путём гиперболизма $X = \frac{b x}{y},$ $Y = y$ базовой окружности $x^{2} + (y - a)^{2} = a^{2}$ радиуса $a$ с началом координат на этой окружности и базовой прямой $x = b$ , перпендикулярной диаметру окружности с концом в начале координатШаблон:Sfn Шаблон:Sfn можно двумя способами:

исходя из уравнения образующей окружности:

x^{2} + (y - a)^{2} = a^{2},

{(\frac{X y}{b})}^{2} + (y - a)^{2} = a^{2},

Y (X^{2} + b^{2}) = 2 a b^{2};

исходя из преобразования гиперболизма:

X = \frac{b x}{y},

X^{2} = \frac{b^{2}}{y^{2}} x^{2},

y^{2} X^{2} = b^{2} (a^{2} - (y - a)^{2}),

Y (X^{2} + b^{2}) = 2 a b^{2} .

Получаем, что преобразование гиперболизма окружности:

сохраняет ординату $y;$
изменяет абсциссу $x$ пропорционально абсциссе и обратно пропорционально ординате с постоянным коэффициентом $b .$

Геометрическое построение красной точки аньезианы

Выясним роль образующих окружности и прямой, построив аньезиану геометрически (см. рисунок справа)Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn:

выберем внутри диаметра образующей окружности произвольную точку с ординатой $y^{″}$ , которая будет также и ординатой аньезианы;
проведём прямую $y = y^{″}$ , которая пересечётся с образующей окружностью в точке $P^{″} = (x^{″}, y^{″}),$ на которой будет расположена точка аньезианы;
проведём образующую прямую $y = b$ ;
проведём прямую $O P^{″}$ через начало координат, которая пересечётся с образующей прямой $y = b$ в точке $P^{'} = (x^{'}, y^{'})$ ;
проведём прямую $x = x^{'}$ через точку $P^{'}$ , которая пересечётся с прямой $y = y^{″}$ в точке $P$ — точке аньезианы.

Так как полюс $O$ находится на окружности, то иногда при построении аньезианы вместо окружности используют её точку $D$ , диаметрально противоположную полюсу. При этом точка $P^{″}$ есть основание перпендикуляра, опущенного из точки $D$ на произвольную прямую, проходящую через полюс (см. рисунок справа)Шаблон:Sfn.

Получим уравнение аньезианы в декартовых координатах, исходя из её геометрического построенияШаблон:Sfn:

пусть уравнение прямой $(O, P^{″})$ есть

y = m x

,

где

m

— некоторый угловой коэффициент;

тогда декартовы координаты точки $P^{″}$ , лежащей на окружности, будут

P^{″} = \frac{2 a m}{1 + m^{2}} (1, m),

а точки

P^{'}

—

P^{'} = b (\frac{1}{m}, 1);

наконец, координаты точки $P$ получаются

P = (\frac{b}{m}, \frac{2 a m^{2}}{1 + m^{2}}),

откуда уравнение аньезианы есть

y (x^{2} + b^{2}) = 2 a b^{2} .

Другой способ получения уравнения аньезианы в декартовых координатах, исходя из её геометрического построенияШаблон:Sfn:

имеет место пропорция

\frac{y^{″}}{y^{″} P^{″}} = \frac{b}{x^{″}},

имеет место соотношение

y^{″} P^{″} = \sqrt{y^{″} (2 a - y^{″})},

тогда

\frac{y^{″}}{\sqrt{y^{″} (2 a - y^{″})}} = \frac{b}{x^{″}},

то есть

y (x^{2} + b^{2}) = 2 a b^{2} .

Из подобных треугольников 0yP и 0bP' этого геометрического построения также можно получить уравнения преобразования гиперболизма, которое зависит только от образующей прямой $x = b$ и не зависит от образующей кривойШаблон:Sfn:

\frac{X}{x^{″}} = \frac{b}{y^{″}},

Y = y^{″},

X = \frac{b x}{y},

Y = y .

Образующая окружность есть антигиперболизм аньезианыШаблон:Sfn.

Уравнение в других координатных системах

Для перевода уравнения кривой из декартовой $(x, y)$ в полярную систему координат $(r, φ)$ (и обратно) используют соотношения

x = r \cos φ,

y = r \sin φ,

x^{2} + y^{2} = r^{2},

поэтому уравнение аньезианы будет следующимШаблон:Sfn:

y (x^{2} + b^{2}) = 2 a b^{2},

r \sin φ (r^{2} \cos^{2} φ + b^{2}) = 2 a b^{2},

или

r^{3} \sin^{3} φ = r \sin φ (r^{2} + b^{2}) - 2 a b^{2} .

В параметрическом виде уравнение аньезианы на вещественной декартовой плоскости

y (x^{2} + b^{2}) = 2 a b^{2}

может быть такимШаблон:Sfn Шаблон:Sfn:

x = b tg t,

y = 2 a \cos^{2} t,

где $t = ∠ D O P^{″},$ $- \frac{π}{2} ⩽ t ⩽ \frac{π}{2},$

или такимШаблон:Sfn:

x = t,

y = \frac{2 a b^{2}}{b^{2} + t^{2}},

где $- \infty ⩽ t ⩽ \infty,$

или такимШаблон:Sfn:

x = b ctg t,

y = a (1 - \cos 2 t),

где $0 ⩽ t ⩽ π,$

или такимШаблон:Sfn:

x = b t,

y = \frac{2 a}{1 + t^{2}},

где $- \infty ⩽ t ⩽ \infty .$

Из декартовых параметрических уравнений

x = b tg t,

y = 2 a \cos^{2} t

можно получить в параметрическом виде уравнение аньезианы в полярных координатахШаблон:Sfn:

r = \sqrt{b^{2} {tg}^{2} t + 4 a^{2} \cos^{4} t},

tg φ = \frac{2 a \cos^{3} t}{b \sin t} .

Виды аньезиан

В этом разделе аньезианы определяются уравнением

y (b^{2} + x^{2}) = 2 a b^{2} .

Точки перегиба и максимум

Вычислим вторую производную функции, задающей аньезиану:

y = \frac{2 a b^{2}}{x^{2} + b^{2}},

\frac{d y}{d x} = - \frac{4 a b^{2} x}{(x^{2} + b^{2})^{2}},

\frac{d^{2} y}{d^{2} x} = - \frac{4 a b^{2}}{(x^{2} + b^{2})^{2}} + \frac{16 a b^{2} x^{2}}{(x^{2} + b^{2})^{3}} =

= 4 a b^{2} \frac{3 x^{2} - b^{2}}{(x^{2} + b^{2})^{3}} .

В точке перегиба вторая производная функции меняет знак, то есть необходимое условие точки перегиба — равенство нулю второй производной функции (а заодно и кривизны кривой). Другими словами, точки перегиба суть решение следующего уравнения:

\frac{d^{2} y}{d^{2} x} = 4 a b^{2} \frac{3 x^{2} - b^{2}}{(x^{2} + b^{2})^{3}} = 0 .

Получаем следующие точки перегиба аньезианыШаблон:Sfn Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn (см. рисунок справа):

(\frac{\pm b}{\sqrt{3}}, \frac{3 a}{2}),

лежащие на прямой $y = \frac{3 a}{2} .$

Точки экстремума удовлетворяют уравнению

\frac{d y}{d x} = - \frac{4 a b^{2} x}{(x^{2} + b^{2})^{2}} = 0,

поэтому аньезиана имеет единственный максимум в точке $(0, 2 a)$ на образующей окружности — вершинуШаблон:Sfn Шаблон:Sfn Шаблон:Sfn.

Пересечение с образующей окружностью

Аньезиана

y (b^{2} + x^{2}) = 2 a b^{2};

всегда пересекается с образующей окружностью

(x - a)^{2} + y^{2} = a^{2}

в точке вершины $(0, 2 a),$ и, кроме того, может пересекаться ещё в точках пересечения образующей прямой с образующей окружностью.

Найдём эти две точки. Для этого уравнение аньезианы

x^{2} = b^{2} \frac{2 a - y}{y}

подставим в уравнение образующей окружности

x^{2} = y (2 a - y),

получим:

b^{2} \frac{2 a - y}{y} = y (2 a - y),

(2 a - y) (b^{2} - y^{2}) = 0 .

Итак, две искомые точки задаются уравнением

b^{2} - y^{2} = 0

при условии

0 ⩽ y ⩽ 2 a,

то есть это точки

(\pm \sqrt{2 a b - b^{2}}, b) .

В итоге аньезианы по точкам пересечения с образующей окружностью делятся на три вида (см. рисунок справа):

при $0 < b < 2 a$ имеем три точки пересечения: $(0, 0),$ $(2 a, 0)$ и $(\pm \sqrt{2 a b - b^{2}}, b);$
для пограничной верзиеры с $b = 2 a$ две предыдущие точки пересечения $(\pm \sqrt{2 a b - b^{2}}, b)$ сливаются с «тройной» точкой $(0, 2 a);$
при $b > 2 a$ имеем одну обычную точку пересечения $(0, 2 a) .$

Примечания

Шаблон:Примечания

Источники

Шаблон:Кривые

Аньезиана

Содержание