Просмотр кода страницы Волна де Бройля

{{Квантовая механика}}
'''Волна́ де Бро́йля''' — [[волна]] [[вероятность|вероятности]] (или волна [[Амплитуда вероятности|амплитуды вероятности]]{{sfn|''Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М.'', Фейнмановские лекции по физике. Вып. 3–4|1976|с=221–222, 412}}), определяющая [[плотность вероятности]] обнаружения [[Физический объект|объекта]] в заданном интервале [[конфигурационное пространство|конфигурационного пространства]]. В соответствии с принятой терминологией говорят, что волны де Бройля связаны с любыми [[частицы|частицами]] и отражают их [[Корпускулярно-волновой дуализм|волновую природу]].

Идея о волнах, связанных не только с квантами света, но и массивными частицами, предложена [[Бройль Луи де|Луи де Бройлем]] в 1923—1924 годах<ref>Louis de Broglie [http://www.springerlink.com/content/n170347gr6h82147/ «The Reinterpretation of Wave Mechanics» Foundations of Physics, Vol. 1 No. 1 (1970)]{{Недоступная ссылка|date=2020-03|bot=InternetArchiveBot }}</ref> и называется гипотезой де Бройля. Хотя трактовка квадрата модуля амплитуды волны как плотности вероятности в [[Конфигурационное пространство|конфигурационном пространстве]] принадлежит [[Борн, Макс|Максу Борну]]<ref>{{книга
 |заглавие      = М. Борн. Размышления и воспоминания физика: Сборник статей
 |ответственный = Отв. ред. Э. И. Чудинов
 |место         = {{М}}
 |издательство  = Наука
 |год           = 1977
 |страниц       = 280
 |страницы      = 16
}}</ref>, по традиции и в знак признания заслуг французского физика говорят о ''волнах де Бройля''.

Идея волн де Бройля полезна для приблизительных выводов о масштабах проявления волновых свойств частиц, но не отражает всей физической реальности и потому не лежит в основе математического аппарата [[Квантовая механика|квантовой механики]]. Вместо дебройлевских волн эту роль в квантовой механике выполняет [[волновая функция]], а в [[Квантовая теория поля|квантовой теории поля]] — полевые операторы.

== Корпускулярно-волновой дуализм фотонов и массивных частиц ==
[[Атомная физика|Физика атомов]], [[Молекула|молекул]] и их коллективов, в частности кристаллов, а также [[Атомное ядро|атомных ядер]] и [[Элементарные частицы|элементарных частиц]] изучается в [[Квантовая механика|квантовой механике]]. [[Квантовые эффекты]] являются существенными, если характерное значение [[Действие (физическая величина)|действия]] (произведение характерной [[энергия|энергии]] на характерное [[время]] или характерного [[импульс]]а на характерное [[расстояние]]) становится сравнимым с <math>\hbar</math> ([[постоянная Планка]]). Если частицы движутся со скоростями много меньше, чем скорость света в вакууме <math>c</math>, то применяется нерелятивистская квантовая механика; при скоростях, близких к <math>c</math>, — релятивистская квантовая механика.

В основе [[Квантовая механика|квантовой механики]] лежат представления [[Планк, Макс|Планка]] о дискретном характере изменения энергии [[атом]]ов, [[Эйнштейн, Альберт|Эйнштейна]] о [[фотон]]ах, данные о квантованности некоторых физических величин (например, импульса и энергии), характеризующих в определённых условиях состояния частиц микромира. В то же время было твёрдо установлено, что свет проявляет свойства не только потока частиц, но и волны, то есть обладает [[Корпускулярно-волновой дуализм|корпускулярно-волновым дуализмом]].

Де Бройль выдвинул идею о том, что волновой характер распространения, установленный для фотонов, имеет универсальный характер. Он должен проявляться для любых частиц, обладающих импульсом <math>p</math>. Все частицы, имеющие конечный импульс <math>p</math>, обладают волновыми свойствами, в частности, подвержены [[Интерференция волн|интерференции]] и [[дифракция|дифракции]]<ref name="Shirokov">''[[Широков, Юрий Михайлович|Широков Ю. М.]], Юдин Н. П.'' Ядерная физика. — М.: Наука, 1972. — С. 17-18</ref>.

== Природа волн де Бройля ==
Волны де Бройля имеют специфическую природу, не имеющую аналогии среди волн, изучаемых в [[Классическая физика|классической физике]]: квадрат амплитуды волны де Бройля в данной точке является мерой вероятности того, что частица обнаруживается в этой точке. Дифракционные картины, которые наблюдаются в опытах, являются проявлением статистической [[Закономерность|закономерности]], согласно которой частицы попадают в определённые места в приёмниках — туда, где [[Интенсивность (физика)|интенсивность]] волны де Бройля оказывается наибольшей. Частицы не обнаруживаются в тех местах, где, согласно [[Статистическая интерпретация волновой функции|статистической интерпретации]], квадрат модуля амплитуды «волны вероятности» обращается в нуль.

[[Файл:Nicaragua 1971 Mi 1621 stamp and back (The Ten Mathematical Equations that Changed the Face of the Earth. Boltzman's equation - movement of gases).jpg|thumb|300px|[[Десять математических формул, изменивших облик Земли (серия марок)|Почтовая марка Никарагуа 1971 года и её оборот]]. Закон де Бройля (движение частиц вещества)]]

== Формулы де Бройля ==
Формула де Бройля устанавливает зависимость длины волны <math>\lambda</math>, связанной с движущейся частицей вещества, от импульса <math>p</math> частицы, а полной энергии <math>E</math> — от частоты <math>\nu</math>, в виде релятивистски инвариантных соотношений:
: <math>\lambda=\frac{h}{p},</math>
: <math>E = h \nu,</math>
где <math>h</math> — [[постоянная Планка]].

Другой вид формул де Бройля:
: <math>\mathbf{p}=\frac{h}{2\pi}\mathbf{k}=\hbar\mathbf{k},</math>
: <math>E = \hbar \omega,</math>

где <math>\mathbf{k}=\frac{2\pi}{\lambda}\mathbf{n}</math> — волновой вектор, модуль которого <math>k=\frac{2\pi}{\lambda}</math> — волновое число — есть число длин волн, укладывающихся на <math>2\pi</math> единицах длины, <math>\omega=2\pi\nu</math> — циклическая частота, <math>\mathbf{n}</math> — единичный вектор в направлении распространения волны, <math>\hbar=\frac{h}{2\pi}\approx1{,}05\cdot 10^{-34}</math> Дж·с.

Полная энергия <math>E = E_K + m_0 c^2</math> включает кинетическую энергию ''<math>E_K</math>'' и энергию покоя <math>E_0 = m_0 c^2</math>, в терминах которых

<math>\lambda=\frac{h}{p}=\frac {hc}{\sqrt{[E_K(E_K+2m_0 c^2)]}},</math>

где <math>hc</math> = 1240 эВ×нм, и значения <math>m_0 c^2</math> равны 0 для фотона и других безмассовых частиц, <math>m_e c^2 =</math>511 кэВ для электрона, и <math>m_p c^2 =</math>938 МэВ для протона.

=== Нерелятивистский предел ===
У частиц с дорелятивистскими энергиями, движущихся со скоростью <math>v\ll c</math> ([[скорость света|скорости света]]), для импульса справедлива формула <math>p=mv</math> (где <math>m</math> — масса покоя частицы), для кинетической энергии <math>W=E-mc^2</math> — формула <math>W=\frac{mv^2}{2}</math>. Тогда длина волны де Бройля
: <math>\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{mv} = \frac{h}{\sqrt{2mW}}.</math>
В частности, для электрона, который ускорился в электрическом поле с разностью потенциалов <math>\Delta\varphi</math> (в вольтах),
: <math>\lambda=\frac{12{,}25}{\sqrt{\Delta\varphi}}\;\AA.</math>

=== Ультрарелятивистский предел ===
Для частиц в ультрарелятивистском случае, когда их скорость близка к скорости света, <math>v \rightarrow  c, E \gg m c^2</math>, длины волны равна <math>\lambda = \frac{h c}{E}</math><ref name="fe">{{Из|ФЭ|url=http://www.femto.com.ua/articles/part_1/0570.html}}</ref>.

=== Формулы де Бройля для 4-векторов ===
В четырёхмерном виде формулы де Бройля связывают [[четырёхимпульс|четырёхвектор энергии-импульса]] <math>p^\mu</math> с четырёхмерным волновым вектором и имеют вид<ref name = "Pauli">''[[Паули, Вольфганг|Паули В.]]'' Общие принципы волновой механики. — М.: ОГИЗ, 1947. — С. 14</ref>:

: <math>
p^\mu=
\begin{pmatrix}
p_0 \\ p_1 \\ p_2 \\ p_3 
\end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix}
\frac{E}{c} \\ p_x \\ p_y \\ p_z 
\end{pmatrix} = 
\hbar \begin{pmatrix}
\frac{\omega}{c} \\ k_x \\ k_y \\ k_z 
\end{pmatrix}.
</math>

Энергия и импульс любого материального объекта связаны соотношением:

: <math>\frac{E^{2}}{c^{2}} = m^{2} c^{2} + p_{x}^{2} + p_{y}^{2} + p_{z}^{2}.</math>

Аналогичным соотношением связаны частота и волновой вектор<ref name = "Pauli" />:

: <math>\frac{\omega^{2}}{c^{2}} = \frac{m^{2} c^{2}}{\hbar^2} + k_{x}^{2} + k_{y}^{2} + k_{z}^{2},</math>

где <math>\frac{mc}{\hbar}</math> — комптоновское волновое число, обратное приведенной [[комптоновская длина волны|комптоновской длине волны]] <math> \frac{\lambda_C}{2\pi}.</math>

== Фазовая и групповая скорость волн де Бройля ==
[[Фазовая скорость]] волн де Бройля свободной частицы
: <math>v_f=\frac{\omega}{k}=\frac{E}{p}=\frac{mc^2}{mv}=\frac{c^2}{v}\simeq\frac{c^2}{h}m\lambda=\frac{c^2p^2}{2Wh}\lambda.</math>
Последние соотношения — нерелятивистское приближение. Зависимость фазовой скорости дебройлевских волн от длины волны указывает на то, что эти волны испытывают [[Дисперсия волн|дисперсию]]. Фазовая скорость <math>v_f</math> волны де Бройля хотя и больше скорости света, но относится к числу величин, принципиально неспособных переносить информацию (является чисто математическим объектом).

[[Групповая скорость]] волны де Бройля <math>u</math> равна скорости частицы <math>v</math>:
: <math>u=\frac{d\omega}{dk}=\frac{dE}{dp}=v</math>.

== Иллюстрация ==
[[Файл:Рисунок 1. Иллюстрация волны де Бройля.png|мини|300px|Иллюстрация волны де Бройля]]
Для частицы массой <math>m</math>, покоящейся в [[инерциальная система отсчета|инерциальной системе отсчёта]] <math>x',ct'</math> псевдоевклидовой плоскости 4-[[пространство Минковского|пространства Минковского]], движущейся со скоростью <math>V</math> относительно условно неподвижной системы <math>x,ct</math> вдоль положительного направления оси <math>x</math>, формула квантовомеханической [[амплитуда вероятности|амплитуды вероятности]] обнаружить её в каком-либо месте пространства всюду одна и та же. Однако фаза — есть функция времени:
: <math>ae^{(-i\omega_0) t'}</math>,<ref name="Фейнман Р.">[https://www.e-libra.su/read/464761-tom-3-kvantovaya-mehanika.html# Фейнман Ричард Филлипс. Том 3. Квантовая механика] {{Wayback|url=https://www.e-libra.su/read/464761-tom-3-kvantovaya-mehanika.html |date=20210302111814 }} Гл. 5. § 1, § 2.</ref>

где: <math>\omega_0=\frac{E_0}{\hbar}=\frac{mc^2}{\hbar}=\frac{2\pi\cdot c}{\lambda_C}</math>;

Здесь: <math>\omega_0</math> — частота изменения фазы;
: <math>E_0</math> — энергия покоящейся частицы;
: <math>\hbar=\frac{h}{2\pi}</math> — приведённая постоянная Планка:
: <math>c</math> — скорость света;
: <math>\lambda_C=\frac{h}{mc}</math> — [[комптоновская длина волны]] покоящейся частицы массой <math>m</math><ref name="Вихман Э.">Вихман Э. Квантовая физика. — М.: Наука, 1977. — С. 156—157, 185, 187—188. — 415 с.</ref>.

На рисунке обозначено:
<math>\lambda_C=O'A_1</math>. Линиями равных фаз в этой системе будут линии одновременности, проведённые через точки временной оси параллельно пространственной оси <math>x'</math>. Эти линии представляют собой плоскую волну, которая описывается волновой функцией <br>
: <math>\psi_{(x',t')}=ae^{(-i\omega_0)t'}=ae^{(-i/\hbar)E_0 t'}</math>;
На Рисунке 1 показаны только две линии равных фаз, проведённые через точки <math>A_1</math> и <math>A_2</math>, в которых фазы амплитуды вероятности имеют то же значение, что и в точке <math>O'</math>, принятой за начальное.
Для нештрихованной системы отсчёта <math>x,ct</math> фаза амплитуды вероятности обнаружить частицу в какой-либо точке является уже функцией не только времени, но и пространства<ref name="Фейнман Р." />.

Линии равных фаз системы <math>x',ct'</math> пересекают как временную, так и пространственную оси системы <math>x,ct</math>, разбивая при этом каждую из них на равные отрезки.

Фаза амплитуды вероятности является инвариантной величиной. Это означает, если в штрихованной системе в пространственно-временных точках <math>C_1</math> и <math>B_1</math> фаза отличается на целое число <math>2\pi</math> относительно фазы в точке <math>O'</math>, то и в нештрихованной системе в этих точках фазы должны отличаться на то же число <math>2\pi</math>.<ref name="Вихман Э." /> Отсюда следует, что отрезки по осям <math>ct</math> и <math>x</math> представляют собой длины волн как во времени, так и в пространстве.

Согласно релятивистской концепции, применяя [[преобразования Лоренца]],<ref name="Угаров В. А.">Угаров В. А. Специальная теория относительности. - М.: Наука, 1977, - С. 60 - 62, 64 - 65, 121 - 124. - 384 с.</ref> из рисунка следует:
: <math>OC_1=O'A_1\sqrt{1-(V/c)^2}=cT=\lambda_C\sqrt{1-(V/c)^2}</math>,

где: <math>T</math> — период изменения фазы в нештрихованной системе.
Из последнего равенства этой цепочки равенств следует:
: <math>E=\hbar\omega</math>,

где: <math>\omega</math> — круговая частота изменения фазы в системе <math>x,ct</math>;
: <math>E=mc^2/\sqrt{1-(v/c)^2}</math> — полная энергия частицы в системе отсчета <math>x,ct</math>;
Здесь учтено, что скорость частицы <math>v</math> равна скорости <math>V</math> перемещения штрихованной системы, в которой эта частица покоится.

Из треугольника <math>OB_1C_1</math>, принимая во внимание, что <math>\operatorname{tg\alpha}=\frac{V}{c}</math> и учитывая, что <math>v=V</math>, получим:

: <math>B_1O=\frac{\lambda_C\sqrt{1-(v/c)^2}}{\operatorname{tg\alpha}}=\frac{h}{p}=\lambda</math>,

где: <math>\lambda</math> — длина волны де Бройля;
: <math>p</math> — импульс частицы.

Выражение для фазы амплитуды вероятности волны де Бройля в системе <math>x,ct</math> можно получить, используя преобразование Лоренца для времени при переходе из штрихованной системы к нештрихованной:

: <math>t'=\frac{t-(V/c^2)x}{\sqrt{1-(V/c)^2}}</math>;

Заменив <math>t'</math> на <math>t</math> в выражении для амплитуды в штрихованной системе отсчета, получим:

: <math>ae^{(-i/\hbar)E_0t'}=ae^{-{(i/\hbar)\left[\left(E_0t/\sqrt{1-(V/c)^2}\right)-\left(E_0Vx/{c^2\sqrt{1-(V/c)^2}}\right)\right]}}</math>;

Отождествляя полную энергию частицы <math>E=E_0/\sqrt{1-(v/c)^2}</math> и её импульс <math>p=E_0v/c^2\sqrt{1-(v/c^2}</math> с полученным при преобразовании выражением для фазы, учитывая, что <math>v=V</math>, формула амплитуды волны де Бройля запишется так:

: <math>ae^{-{(i/\hbar)\left[Et-px\right]}}</math>;<ref name="Фейнман Р." />

Фазовая скорость волны, то есть скорость, с которой перемещаются точки волны с постоянной фазой (например, на Рисунке 1 перемещение одноимённой фазы из точки <math>B_1</math> в точку <math>C_1</math>) определяется непосредственно из треугольника <math>OB_1C_1</math>:

: <math>v_f=\frac{c^2}{v}</math>;

[[Монохроматическая волна]] де Бройля  характеризуется соотношениями <math>\Delta x=\infty</math> и <math>\Delta p=0</math>. То есть, такой волновой объект имеет вполне определённый импульс и совершенно неопределённую область локации.<ref>Г. А. Зисман, О. М. Тодес. Курс общей физики, том III. — М.: Наука, 1972. — С. 282—283. — 496 с.</ref> Именно это и содержится в утверждении, когда говорится, что существует одинаковая амплитуда вероятности обнаружить частицу во всех точках пространства.

Явление [[корпускулярно-волновой дуализм|корпускулярно-волнового дуализма]] присуще всем видам материи, но в разной степени. Частице массой <math>m=10^{-5}</math> г, движущейся со скоростью <math>v=1</math> м/с, соответствует волна де Бройля с длиной волны <math>\lambda=6{,}6\cdot10^{-22}</math> см. Такие длины волн лежат за пределами доступной наблюдению области. Поэтому в механике макроскопических тел волновые свойства несущественны и не учитываются.<ref name="Вихман Э." />

=== Зависимость длины волны от скорости частицы ===
Механизм изменения длины волны де Бройля в зависимости от изменения скорости частицы заключается в следующем.

При возрастании скорости перемещения штрихованной системы, которая является собственной для покоящейся в ней частицы, координатные оси этой системы словно лезвия ножниц, вращаясь относительно начала <math>O'</math>, поворачиваются в сторону положения биссектрисы квадранта, образованного положительными направлениями осей нештрихованной системы.<ref name="Угаров В. А." /> Точка <math>A_1</math> (Рисунок 1) пересечения временной оси <math>ct'</math> с инвариантной (единичной) гиперболой<ref name="Угаров В. А." /> <math>\lambda_C^2=c^2t^2-x^2</math>, которая определяет длину <math>\lambda_C</math> в штрихованной системе, неограниченно приближается к биссектрисе квадранта, принимая бесконечные положительные значения координатных осей <math>x</math> и <math>ct</math>. При этом, линия одновременности (линия равных фаз), проведенная через эту точку, стремится к положению биссектрисы, и точка <math>B_1</math> пересечения этой линии с осью <math>x</math> устремляется к началу O. То есть, при <math>v=V\rightarrow c</math> длина волны <math>\lambda\rightarrow 0</math>, а импульс частицы <math>p=mv/\sqrt{1-(v/c)^2}\rightarrow \infty</math>.

При уменьшении скорости перемещения собственной системы отсчёта частицы — координатные оси этой системы опять же, словно лезвия ножниц, раздвигаются относительно положения биссектрисы квадранта. Угол <math>\alpha</math> наклона оси <math>ct'</math> к оси <math>ct</math> и оси <math>x'</math> к оси <math>x</math> стремится к нулю. Точка <math>A_1</math> пересечения единичной гиперболы с осью времени штрихованной системы приближается к точке <math>A</math>. При этом, линия равных фаз штрихованной системы, проведённая через точку <math>A_1</math>, стремится к параллельности с осью <math>x</math>, а точка <math>B_1</math> пересечения этой линии с осью <math>x</math> устремляется в бесконечность в сторону отрицательных значений оси <math>x</math>. Это означает, что при <math>v=V\rightarrow 0</math> длина волны <math>\lambda\rightarrow\infty</math>, а импульс частицы <math>p\rightarrow 0</math>. В этом предельном случае фаза амплитуды вероятности будет уже функцией только времени. И параметром волны будет комптоновская длина волны <math>\lambda_C=OA</math>.

Подытоживая результаты обоих предельных случаев, когда произведение длины волны и импульса частицы принимает вид неопределённостей типов <math>(0 \cdot \infty)</math> и <math>(\infty\cdot 0)</math> можно утверждать: <math>\lambda\cdot p=const</math>, что находит своё подтверждение в соотношении де Бройля: <math>\lambda=\frac{h}{p}</math>.

== Экспериментальная проверка ==
Гипотеза де Бройля объясняет ряд экспериментов, необъяснимых в рамках [[Классическая физика|классической физики]]<ref name="martinson" />:
* [[Опыт Дэвиссона — Джермера]] по дифракции электронов на кристаллах никеля.
* [[Опыт Дж. П. Томсона]] по [[Дифракция электронов|дифракции электронов]] на [[металл]]ической [[Фольга|фольге]].
* [[Эффект Рамзауэра]] аномального уменьшения сечения рассеяния электронов малых энергий атомами аргона.
* [[Дифракция]] [[нейтрон]]ов на [[Кристаллы|кристаллах]] (опыты [[Хальбан, Ганс фон|Г. Хальбана]], П. Прайсверка и Д. Митчелла).

Волновые свойства не проявляются у макроскопических тел. Длины волн де Бройля для таких тел настолько малы, что обнаружение волновых свойств оказывается невозможным. Впрочем, наблюдать квантовые эффекты можно и в макроскопическом масштабе, особенно ярким примером этому служат [[сверхпроводимость]] и [[сверхтекучесть]].

== См. также ==
* [[Волновой пакет]]
* [[Комптоновская длина волны]]
* [[Ток вероятности]]

== Примечания ==
{{примечания|refs=
<ref name="martinson">{{Cite web |url=http://fn.bmstu.ru/phys/bib/physbook/tom5/ch2/texthtml/ch2_2.htm |title=Архивированная копия |access-date=2009-12-25 |archive-date=2009-04-26 |archive-url=https://web.archive.org/web/20090426114530/http://fn.bmstu.ru/phys/bib/physbook/tom5/ch2/texthtml/ch2_2.htm |deadlink=unfit }}{{Cite web |url=http://fn.bmstu.ru/phys/bib/physbook/tom5/ch2/texthtml/ch2_2.htm |title=Архивированная копия |access-date=2009-12-25 |archive-date=2009-04-26 |archive-url=https://web.archive.org/web/20090426114530/http://fn.bmstu.ru/phys/bib/physbook/tom5/ch2/texthtml/ch2_2.htm |deadlink=unfit }}</ref>
}}

== Литература ==
* {{книга|автор=Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М.|заглавие=Фейнмановские лекции по физике. Вып. 3–4|издание=3-е изд|издательство=Мир|год=1976|место=М|страниц=496|ref=Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М., Фейнмановские лекции по физике. Вып. 3–4}}
* www.e-libra.su/read/464761-tom-3-kvantovaya-mehanika.html# — Фейнман Ричард Филлипс. Том 3. Квантовая механика читать онлайн. Гл. 5. § 1, § 2.

== Ссылки ==
* [http://www.bog5.in.ua/lection/quantum_optics_lect/lect6_quant.html Волны де Бройля] / лекция «Элементы квантовой механики»
* [http://elementy.ru/trefil/21123 Соотношение де Бройля] // «Элементы»

{{Внешние ссылки}}
{{Нет иллюстрации}}
{{нет ссылок|дата=19 июня 2018}}

[[Категория:Атомная физика]]
[[Категория:Квантовая физика]]
[[Категория:Волны]]