Просмотр кода страницы Волновое уравнение

'''Волновое уравнение''' в физике — линейное [[гиперболические уравнения|гиперболическое]] [[дифференциальное уравнение в частных производных]], задающее малые поперечные колебания тонкой [[Механическая мембрана|мембраны]] или [[струна (музыка)|струны]], а также другие колебательные процессы в [[сплошная среда|сплошных средах]] ([[акустика]], преимущественно линейная: звук в газах, жидкостях и твёрдых телах) и [[электромагнетизм]]е ([[электродинамика|электродинамике]]). Находит применение и в других областях теоретической физики, например при описании гравитационных волн. Является одним из основных уравнений [[математическая физика|математической физики]].

== Вид уравнения ==
В многомерном случае однородное волновое уравнение записывается в виде

<center><math>\Delta u=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}</math>,</center>
где <math>\Delta</math> — [[оператор Лапласа]], <math>u=u(x,t)</math> — неизвестная функция, <math>t\in \mathbb R</math> — время, <math>x\in \mathbb R^n</math> — пространственная переменная, <math>v</math> — [[фазовая скорость]].

 {{Скрытый
 |Рамка = 1px dashed #aa0000
 |Ссылка = left
 |Выравнивание_заголовка = center
 |Заголовок =  Вывод для трёхмерного случая.
 |Наклон_текста = italic
 |Фон_заголовка = #ccccff
 |Содержание =
Приведённые выкладки, конечно же, можно обобщить и на многомерные случаи. Итак.

Пусть дано уравнение плоской волны:
: <math> A(\vec{r},t) = A_0 cos \left( \omega t - (\vec{k},\vec{r}) + \varphi_0 \right), </math>
:: где
::* <math> A(x,t) </math> — величина возмущения в данной точке [[Пространство|пространства]] <math>x</math> и [[время|времени]] <math>t</math>;
::* <math> A_0 </math> — [[амплитуда]] волны;
::* <math> \omega </math> — [[круговая частота]];
::* <math> \vec{k} </math> — [[волновой вектор]], равный <math> k \vec{n}</math>
:::: где
::::* <math> k </math> — [[волновое число]];
::::* <math> \vec{n} </math> — единичный вектор [[нормаль|нормали]], проведённый к [[волновой фронт|волновому фронту]]
::* <math> \vec{r} \left( x,y,z \right) </math> — [[радиус-вектор]] точки с координатами <math>x,y</math> и <math>z</math>;
::* <math> (\vec{k},\vec{r})</math> — [[скалярное произведение]] векторов <math>\vec{k}</math> и <math>\vec{r}</math>. ''Здесь и далее скалярное произведение будет обозначаться таким образом;''
::* <math> \varphi_0 </math> — [[Фаза колебаний|начальная фаза колебаний]].

Продифференцируем его по <math> x</math>, по <math> y</math>, по <math> z </math> и по <math> t </math>.  Получим четыре уравнения:

: <math> \left \{ \begin{matrix} \cfrac {\partial^2 A(\vec{r},t)} {\partial t^2} = -\omega^2 A_0 cos \left( \omega t - (\vec{k},\vec{r}) + \varphi_0 \right) = - \omega^2 A(\vec{r},t) \qquad \left( 1 \right) \\ \cfrac {\partial^2 A(\vec{r},t)} {\partial x^2} = - k_x^2 A_0 cos \left( \omega t - (\vec{k},\vec{r}) + \varphi_0 \right) = - k_x^2 A(\vec{r},t) \qquad \left( 2 \right) \\\cfrac {\partial^2 A(\vec{r},t)} {\partial y^2} = -k_y^2 A_0 cos \left( \omega t - (\vec{k},\vec{r}) + \varphi_0 \right) = - k_y^2 A(\vec{r},t) \qquad \left( 3 \right) \\ \cfrac {\partial^2 A(\vec{r},t)} {\partial z^2} = - k_z^2 A_0 cos \left( \omega t - (\vec{k},\vec{r}) + \varphi_0 \right) = -k_z^2 A(\vec{r},t) \qquad \left( 4 \right) \end{matrix} \right. </math>

Сложим <math> \left( 2 \right), \left( 3 \right) </math> и <math> \left( 4 \right): </math>
: <math> \cfrac {\partial^2 A(\vec{r},t)} {\partial x^2} + \cfrac {\partial^2 A(\vec{r},t)} {\partial y^2} + \cfrac {\partial^2 A(\vec{r},t)} {\partial z^2}  = -(k_x^2 + k_y^2 + k_z^2)A(\vec{r},t) = - \vec{k}^2 \cdot A(\vec{r},t) </math>
Из полученного уравнения и уравнения <math> \left( 1 \right) , </math> заменив <math> \cfrac {k^2} {\omega^2} = \cfrac {1} {v^2}, </math> получаем, что
: <math> \cfrac {\partial^2 A(\vec{r},t)} {\partial x^2} + \cfrac {\partial^2 A(\vec{r},t)} {\partial y^2} + \cfrac {\partial^2 A(\vec{r},t)} {\partial z^2} = \cfrac {1} {v^2} \cdot \cfrac {\partial^2 A(\vec{r},t)} {\partial t^2} \Leftrightarrow \Delta A(\vec{r},t) = \cfrac {1} {v^2} \cdot \cfrac {\partial^2 A(\vec{r},t)} {\partial t^2} </math>

 }}

В одномерном случае уравнение называется также '''уравнением колебания струны''' или '''уравнением продольных колебаний стержня''' и записывается в виде

<center><math>\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}</math>.</center>

Данное уравнение можно трактовать следующим образом. Вторая производная координаты по времени — сила (второй закон Ньютона) — пропорциональна кривизне струны (вторая производная по координате). Иными словами, чем выше кривизна "горбов" на струне (чем более острые "горбы"), тем большая сила растягивает данный участок струны.

=== Оператор Д’Аламбера ===
Разность <math>\Delta - \frac{1}{v^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2}</math> называется [[Оператор Д’Аламбера|оператором Д’Аламбера]] и обозначается как <math>\square</math> (разные источники используют разный знак).
Таким образом, с использованием оператора Д’Аламбера (даламбертиана) однородное волновое уравнение записывается как

: <math>\square u = 0</math>

=== Неоднородное уравнение ===
Допустимо также рассматривать неоднородное волновое уравнение

: <math>\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=v^2\Delta u  + f</math>,

где <math>f = f(x,t)</math> — некая заданная функция внешнего воздействия (внешней силы).

Стационарным вариантом волнового уравнения является [[уравнение Лапласа]] ([[уравнение Пуассона]] в неоднородном случае).

Задача нахождения нормальных колебаний системы, описываемой волновым уравнением, приводит к [[задача на собственные значения|задаче на собственные значения]] для [[уравнение Лапласа|уравнения Лапласа]], то есть к нахождению решений [[уравнение Гельмгольца|уравнения Гельмгольца]], получающегося подстановкой <math> u(x,t) = U(x) e^{i\omega t}\ </math> или <math> u(x,t) = U(x)\, \mathop{\rm cos}\,(\omega t)\ </math>.

== Решение волнового уравнения ==
{{main|Формула Кирхгофа}}
Существует аналитическое решение гиперболического уравнения в частных производных. В евклидовом пространстве произвольной размерности оно называется формулой Кирхгофа. Частные случаи: для колебания струны (<math>\mathbb{R}^1</math>) — [[формула Д’Аламбера]], для колебания мембраны (<math>\mathbb{R}^2</math>) — [[формула Пуассона]].

=== Формула Д'Аламбера ===
{{main|Формула Д'Аламбера}}
Решение одномерного волнового уравнения (здесь <math> v = a </math> — фазовая скорость)
: <math>u_{tt}=a^2 u_{xx} + f(x,t)\quad</math> (функция <math>f(x,t)</math> соответствует вынуждающей внешней силе)
с начальными условиями
: <math>u(x,0)=\varphi(x),\quad u_t(x,0)=\psi(x)</math>
имеет вид
: <math>u(x,t)=\frac{\varphi(x+at)+\varphi(x-at)}{2}+\frac{1}{2a}\int\limits^{x+at}_{x-at}{\psi(\alpha)d \alpha}+\frac{1}{2a}\int\limits^t_0\int\limits^{x+a(t-\tau)}_{x-a(t-\tau)} f(s, \tau)ds d\tau</math>
Интересно заметить, что решение однородной задачи
: <math>u_{tt}=a^2 u_{xx}</math>,
имеющее следующий вид:
: <math>u(x,t)=\frac{\varphi(x+at)+\varphi(x-at)}{2}+\frac{1}{2a}\int\limits^{x+at}_{x-at}{\psi(\alpha)d \alpha}</math>,
может быть представлено в виде
: <math>u(x,t)= f_1(x+at) + f_2(x-at)</math>,
где
: <math> f_1(x)= \frac{\varphi(x)}{2} + \frac{1}{2a}\int\limits^{x}_{0}{\psi(\alpha)d \alpha}, \qquad f_2(x)= \frac{\varphi(x)}{2} + \frac{1}{2a}\int\limits^{0}_{x}{\psi(\alpha)d \alpha} </math>.

В таком случае говорят, что решение представлено в виде суммы бегущих волн, а функции <math>f_1(x)</math> и <math>f_2(x)</math> — это профили волн, бегущих, соответственно, влево и вправо. В рассматриваемом случае профили волн со временем не изменяются.

В многомерном случае решение задачи Коши также может быть разложено в бегущие волны, однако уже не в сумму, а в интеграл, поскольку направлений становится бесконечно много. Это делается элементарно при помощи [[преобразование Фурье|преобразования Фурье]]

=== Задача на полупрямой ===
Рассмотрим однородное уравнение колебаний на полупрямой <math>[0; +\infty)</math>
: <math>u_{tt} = a^2 u_{xx} </math>
с закрепленным концом:
: <math>u(0,t) = 0 </math>
и начальными условиями
: <math>u(x,0)=\varphi(x),\qquad u_t(x,0)=\psi(x)</math>
для того, чтобы задача имела решение, необходима согласованность начальных условий и граничного условия, а именно:
: <math>\varphi(0) = 0,\qquad \psi(0) = 0</math>

Задача на полупрямой легко сводится к задаче на прямой после того, как мы антисимметрично продолжим начальные условия:
: <math>\varphi(-x)=-\varphi(x),\qquad \psi(-x)=-\psi(x) \qquad \forall x \in [0, +\infty)</math>

В силу того, что начальные условия <math>\varphi(x), \psi(x)</math> — нечётные функции, логично ожидать, что и решение <math>u(x,t)</math> будет нечётной функцией. В этом можно непосредственно убедиться, рассмотрев решение в виде формулы Д’Аламбера. Поэтому полученное решение u(x, t) будет удовлетворять начальным условиям и граничному условию <math>u(0,t) = 0 </math> (последнее следует из нечётности функции).

Показанный приём широко используется (не только для волнового уравнения) и называется ''метод отражения''. Например, можно рассмотреть волновое уравнение на полупрямой, но с граничным условием второго рода на конце <math>x = 0</math>:
: <math>u_x(0,t)=0</math>.
Физически условие означает, что левый конец стержня (если рассматривать систему как продольные колебания стержня) свободен, то есть на него не действует никакая сила.

== Методы решения в ограниченной одномерной области ==

=== Метод отражений ===
Рассмотрим одномерное однородное волновое уравнение на отрезке <math>[0,a]</math>
: <math>u_{tt}=a^2 u_{xx} </math>
с однородными граничными условиями первого рода (то есть при закрепленных концах)
: <math>u(0,t)=0 \qquad u(a,t)=0</math>
и начальными условиями
: <math>u(x,0)=\varphi(x),\quad u_t(x,0)=\psi(x) \qquad \forall x \in [0, a]</math>

При помощи метода отражения задача может быть снова сведена к задаче на прямой. В данном случае потребуется бесконечное число отражений, в итоге продолженные начальные условия будут определяться таким образом:

: <math>\varphi(2na + x) = \varphi(x) \qquad \psi(2na + x) = \psi(x) \qquad \forall x \in [0,a] \quad \forall n \in Z</math>
: <math>\varphi(2na - x) = - \varphi(x) \qquad \psi(2na - x) = -\psi(x) \qquad \forall x \in [0,a] \quad \forall n \in Z</math>

При рассмотрении неоднородного волнового уравнения:
: <math>u_{tt}=a^2 u_{xx} + f(x,t)</math>
используются ровно те же соображения, и функция <math>f(x,t)</math> продолжается таким же образом.

=== Метод Фурье ===
{{main|Метод Фурье}}

Снова рассмотрим одномерное однородное волновое уравнение на отрезке <math>[0,l]</math>
: <math>u_{tt}=a^2 u_{xx} </math>
с однородными граничными условиями первого рода
: <math>u(0,t)=0 \qquad u(l,t)=0</math>
и начальными условиями
: <math>u(x,0)=\varphi(x),\quad u_t(x,0)=\psi(x) \qquad \forall x \in [0, l]</math>

Метод Фурье основывается на представлении решения в виде (бесконечной) линейной комбинации простых решений задачи вида
: <math>X(x)T(t)</math>, где обе функции зависят только от одной переменной.
Отсюда другое название метода — метод разделения переменных.

Нетрудно показать, что для того, чтобы функция <math>u(x,t)=X(x)T(t)</math> была решением уравнения колебаний и удовлетворяла граничным условиям, необходимо,
чтобы выполнялись условия
: <math>X(0) = 0 \qquad X(l) = 0</math>
: <math> a^2 X''(x) =  - \lambda X(x) </math>
: <math> T''(t) =  - \lambda T(t) </math>

Решение [[задача Штурма-Лиувилля|задачи Штурма-Лиувилля]] на <math>X(x)</math> приводит к ответу:
: <math>X_n(x) = \sin \left( \frac{\pi n x}{l} \right) \qquad n \in \mathbf{N}</math>
и их собственным значениям <math>\lambda_n = \left(\frac {\pi n a}{l}\right)^2</math>

Соответствующие им функции <math>T</math> выглядят как
: <math>T_n(t) = \alpha_n \sin ( \sqrt \lambda_n t ) + \beta_n \cos ( \sqrt \lambda_n t ). </math>

Таким образом, их линейная комбинация (при условии, что ряд сходится) является решением смешанной задачи
: <math>u(x,t) = \sum_{n=1}^{+\infty} X_n(x)T_n(t) 
= \sum_{n=1}^{+\infty} \left( \alpha_n \sin ( \sqrt \lambda_n t ) + \beta_n \cos ( \sqrt \lambda_n t ) \right) \sin \frac{\pi n x}{l}.  </math>

Разложив функции <math>\varphi(x), \psi(x)</math> в [[ряд Фурье]], можно получить коэффициенты <math>\alpha_n, \beta_n </math>, при которых решение будет обладать такими начальными условиями.

=== Метод учёта волн ===
[[Файл:Wave equation 1D fixed endpoints.gif|right|thumb|250px|[[Импульс]], отражающийся от закрепленных граничных концов,
упругие колебания моделируются волновым уравнением]]
Снова рассмотрим одномерное однородное волновое уравнение на отрезке <math>[0,a]</math>
: <math>u_{tt}= u_{xx}, </math>
однако на сей раз положим однородные начальные условия
: <math>u(x,0) \equiv 0,\quad u_t(x,0) \equiv 0 \qquad \forall x \in [0, a]</math>
и неоднородные граничные. Например, будем считать, что задана зависимость положения концов стержня от времени
(граничное условие первого рода)
: <math>u(0,t)=\mu(t) \qquad u(a,t)=\nu(t)</math>

Решение записывается в виде
: <math>u(x,t)= \sum_{k=0}^{+\infty} \biggl[ \mu(t - x - 2ka) -  \mu(t + x  - (2k+2)a) \biggr] + \sum_{k=0}^{+\infty} \biggl[  \nu(t + x - (2k+1)a) - \nu(t - x - (2k+1)a) \biggr]</math>

В том, что оно удовлетворяет уравнению и начально-краевым условиям, можно убедиться непосредственно. Интересна интерпретация: каждое слагаемое в решении соответствует некоторому отражению одной из граничных волн. Например, левое граничное условие порождает волну вида
: <math> \mu(t-x), </math>
которая, добегая за время '''а''' до правого конца, отражается и даёт вклад
: <math> \mu(t+x-2a), </math>
через время '''а''' снова отражается и дает вклад
: <math> \mu(t-x-2a), </math>
Этот процесс продолжается бесконечно долго, суммируя вклады всех волн и получаем указанное решение. Если нас интересует решение на промежутке <math>[0,T]</math>, то мы можем ограничиться лишь первыми <math> \lceil T / a \rceil</math> слагаемыми.

== Уравнение плоской электромагнитной волны ==
Примером физических величин, поведение которых описывается волновым уравнением, являются электрическая и магнитная компоненты [[Электромагнитная волна|электромагнитной волны]].

Система [[уравнения Максвелла]] в дифференциальной форме имеет вид
: <math>\operatorname{rot}\mathbf E=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} \qquad  \operatorname{div}\mathbf D=\rho</math>
: <math>\operatorname{rot}\mathbf H=\mathbf{j}+\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t} \quad \operatorname{div}\mathbf B=0</math>.
При этом действуют соотношения <math>\mathbf{B}=\mu\mu_0\mathbf{H}</math> и <math>\mathbf{D}=\varepsilon\varepsilon_0\mathbf{E}</math>. Здесь <math>\mathbf{E}</math> — [[напряженность электрического поля]], <math>\mathbf{H}</math> — [[напряженность магнитного поля]], <math>\mathbf{B}</math> — [[Вектор магнитной индукции|магнитная индукция]], <math>\mathbf{D}</math> — [[электрическое смещение]], <math>\mathbf{j}</math> — [[плотность тока]], <math>\rho</math> — [[плотность заряда]], <math>\mu</math> — [[магнитная проницаемость]], <math>\varepsilon</math> — [[диэлектрическая проницаемость]], <math>\mu_0</math> — [[магнитная постоянная]], <math>\varepsilon_0</math> — [[электрическая постоянная]].

Для электромагнитной волны <math>\mathbf{j}=0</math>, <math>\rho=0</math>, поэтому, если среда однородна, уравнения принимают форму
: <math>\varepsilon\varepsilon_0\operatorname{div}\mathbf E=0</math>
: <math>\operatorname{rot}\mathbf H=\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}</math>.
Предполагая, что волна распространяется в направлении X, а колебания вектора <math>\mathbf{E}</math> происходят в направлении Y, отсюда можно вывести волновое уравнение для составляющей <math>E_y</math> и аналогичное уравнение для <math>H_z</math>:
{{начало скрытого блока|показать вывод}}

: <math>\operatorname{rot}</math> — [[Ротор (дифференциальный оператор)|ротор]], дифференциальный оператор,  <math>\operatorname{rot}\mathbf E=
\mathbf{\nabla}\times\mathbf E=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
E_x & E_y & E_z \end{vmatrix}=
\left(\frac{\partial E_z}{\partial y} - \frac{\partial E_y}{\partial z}\right) \mathbf i+
\left(\frac{\partial E_x}{\partial z} - \frac{\partial E_z}{\partial x}\right) \mathbf j+
\left(\frac{\partial E_y}{\partial x} - \frac{\partial E_x}{\partial y}\right) \mathbf k
</math>

: <math>\operatorname{div}
</math> — [[дивергенция]], дифференциальный,  <math>\operatorname{div}\mathbf{E}=\nabla \cdot \mathbf E=
\frac{\partial E_x}{\partial x}
+\frac{\partial E_y}{\partial y}
+\frac{\partial E_z}{\partial z}
</math>

: <math>\Delta </math> — оператор Лапласа,  <math>\Delta \mathbf{E} =\Delta E_x \mathbf i + \Delta E_y \mathbf j +\Delta E_z \mathbf k
</math> ,  <math>\Delta  =
\frac{\partial^2 }{\partial x^2}
+\frac{\partial^2 }{\partial y^2}
+\frac{\partial^2 }{\partial z^2}
</math><ref>В.Г.Воднев, А.Ф.Наумович, Н.Ф.Наумович "Математический словарь высшей школы". Издательство МПИ 1984. Статья "Оператор Лапласа" и "Ротор векторного поля".</ref>

Согласно свойству ротора векторного поля <math>\operatorname{rot}\operatorname{rot}\mathbf E=\mathbf{\operatorname{grad}}(\operatorname{div}\mathbf E)-\Delta E</math>. Подставив сюда <math>\operatorname{rot}\mathbf E=-\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}
</math> и <math>\operatorname{div}\mathbf E=0</math> , получим:

: <math>\operatorname{rot}\left( -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}\right) =-\Delta \mathbf{E}</math>

Далее имеем цепочку равенств:
: <math>\Delta \mathbf{E} =\operatorname{rot}\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t}\operatorname{rot}\mathbf{B} =\mu\mu_0\frac{\partial}{\partial t}\operatorname{rot}\mathbf{H}</math>

Подставляем сюда из уравнений Максвелла <math>\operatorname{rot}\mathbf H=\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}</math> , получаем:

: <math>\Delta \mathbf{E} =\mu\mu_0\frac{\partial}{\partial t}\left(\frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}\right) = \mu\mu_0{\partial^2 \mathbf{D} \over \partial t^2} = \mu\mu_0\varepsilon\varepsilon_0{\partial^2 \mathbf{E} \over \partial t^2} </math><ref>И.В.Савельев "Курс общей физики" том II параграф "Волновое уравнение" стр. 398 формула (109.8)</ref>

Введя обозначение скорости распространения <math>v = 1/\sqrt{\mu\mu_0\epsilon\epsilon_0} </math>, записываем:
: <math>\Delta E_x \mathbf i + \Delta E_y \mathbf j +\Delta E_z \mathbf k = 
\frac{1}{v^2} {\partial^2  \over \partial t^2}
(E_x \mathbf{i} + E_y \mathbf{j} + E_z \mathbf{k})
</math>

Вектор <math>\mathbf{E}</math> колеблется в плоскости <math>XY </math> перпендикулярно оси <math>X
</math>, поэтому <math>E_x=E_z=0 </math>.

: <math>\Delta E_y = 
\frac{1}{v^2}  {\partial^2  E_y \over \partial t^2} 
</math>

: <math>\frac{\partial^2 E_y }{\partial x^2}
+\frac{\partial^2 E_y }{\partial y^2}
+\frac{\partial^2 E_y }{\partial z^2}=\frac{1}{v^2}  {\partial^2  E_y \over \partial t^2}
</math>

Волна распространяется вдоль оси <math>X </math>, поэтому <math>\mathbf E</math> не зависит от координат <math>y</math> и <math>z</math>:

: <math>\frac{\partial^2 E_y }{\partial x^2}=
\frac{1}{v^2}  {\partial^2  E_y \over \partial t^2}
</math>.

Аналогичное рассматривается поведение напряжённости магнитного поля <math>\mathbf{H}</math>
{{конец скрытого блока}}

: <math>\frac{\partial^2 E_y }{\partial x^2}=
\frac{1}{v^2}  {\partial^2  E_y \over \partial t^2} \qquad v = \frac{1}{\sqrt{\mu\mu_0\epsilon\epsilon_0}}</math>
: <math>\frac{\partial^2 H_z }{\partial x^2}=
\frac{1}{v^2}  {\partial^2  H_z \over \partial t^2}
</math>.

Простейшим решением этих уравнений будут функции<ref name="автоссылка1">И.В.Савельев "Курс общей физики" том II параграф "Плоская электромагнитная волна"</ref>:

: <math>E_y=E_m \cos(\omega t - kx) </math>       
: <math>H_z=H_m \cos(\omega t - kx) </math>,

где <math>k</math> — [[волновое число]]. Найдём его, подставив решение в волновое уравнение:

: <math>E_m k^2 \cos(\omega t - kx) = \frac{1}{v^2} E_m \omega^2 \cos(\omega t - kx) </math>

Отсюда получается, что <math>k = \omega/v </math>.

Отношение амплитуд электрической и магнитной составляющих электромагнитной волны может быть определено с использованием уравнений 
: <math>\operatorname{rot}\mathbf E =
-\mu \mu_0 \frac{\partial\mathbf{H}}{\partial t} \qquad \operatorname{rot}\mathbf H = \varepsilon\varepsilon_0 \frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}
</math>.

Подставляя сюда выписанные выше решения для полей, приходим к двум соотношениям:
{{начало скрытого блока|показать подробности подстановки}}
В самом общем виде уравнение для <math>\operatorname{rot}\mathbf E</math> расписывается как
: <math>\left(\frac{\partial E_z}{\partial y} - \frac{\partial E_y}{\partial z}\right) \mathbf i+
\left(\frac{\partial E_x}{\partial z} - \frac{\partial E_z}{\partial x}\right) \mathbf j+
\left(\frac{\partial E_y}{\partial x} - \frac{\partial E_x}{\partial y}\right) \mathbf k =
-\mu \mu_0 \frac{\partial}{\partial t}(H_x \mathbf i + H_y \mathbf j + H_z \mathbf k)
</math>,
а уравнение для <math>\operatorname{rot}\mathbf H</math> — как
: <math>\left(\frac{\partial H_z}{\partial y} - \frac{\partial H_y}{\partial z}\right) \mathbf i+
\left(\frac{\partial H_x}{\partial z} - \frac{\partial H_z}{\partial x}\right) \mathbf j+
\left(\frac{\partial H_y}{\partial x} - \frac{\partial H_x}{\partial y}\right) \mathbf k =
\varepsilon\varepsilon_0 \frac{\partial}{\partial t}(E_x \mathbf i + E_y \mathbf j + E_z \mathbf k)
</math>

Волна движется вдоль оси <math> X
</math>, поэтому производные по <math>\partial x
</math> и <math>\partial z
</math> равны нулю.

<math>\mathbf{E}
</math> распространяется в плоскости <math>XY
</math> перпендикулярно <math>X
</math> поэтому <math>E_x=E_z=0
</math>

<math>\mathbf{H}
</math> распространяется в плоскости <math>XZ
</math> перпендикулярно <math>X
</math> поэтому <math>H_x=H_y=0
</math>
В связи с этим записть радикально упрощается, а именно получаются формулы

: <math>
\frac{\partial E_y}{\partial x}  =
-\mu \mu_0 \frac{\partial H_z}{\partial t}\qquad
\frac{\partial H_z}{\partial x}  =
-\varepsilon\varepsilon_0 \frac{\partial E_y}{\partial t}
</math>.

Подставив сюда решения
: <math>E_y=E_m \cos(\omega t - kx) </math>       
: <math>H_z=H_m \cos(\omega t - kx) </math>,
получаем
: <math>E_m k\sin(\omega t - kx) = \mu \mu_0 H_m \omega\sin(\omega t - kx) </math>      
: <math>H_m k\sin(\omega t - kx) =\varepsilon\varepsilon_0  E_m \omega\sin(\omega t - kx) </math>
что после сокращения синусов даёт выражения основного текста.
{{конец скрытого блока}}

: <math>E_m k = \mu \mu_0 H_m \omega </math>      
: <math>\varepsilon\varepsilon_0  E_m \omega = H_m k  </math>

Если умножить одно на другое, получится связь амплитуд:
: <math>\varepsilon\varepsilon_0  E_m^2 k \omega = \mu \mu_0 H_m^2 k \omega  </math>.

В случае вакуума (<math>c</math> — [[скорость света]] в вакууме):
: <math>\frac{E_m}{H_m} = \sqrt {\frac {\mu_0}{\varepsilon_0}}=
\sqrt { (4\pi 10^{-7})(4 \pi c^2 10^7)}=
120\pi\approx377 </math> Ом<ref name="автоссылка1" />.

== См. также ==
{{Навигация}}
* [[Спор о струне]]
* [[Уравнение Гельмгольца]]
* [[Уравнение Лапласа]]
* [[Уравнение Клейна — Гордона — Фока]]
* [[Волновое уравнение в случайно неоднородной среде]]
* [[Формула Кирхгофа]]
* [[Специальная теория относительности]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Ссылки ==
* {{БСЭ3|заглавие=Волновое уравнение}}
* {{книга
 |автор         = [[Тихонов Андрей Николаевич|Тихонов А. Н.]], [[Самарский Александр Андреевич|Самарский А. А.]]
 |заглавие      = Уравнения математической физики: Учебное пособие.
 |издание       = 6-е изд., испр. и доп.
 |место         = М.
 |издательство  = Изд-во МГУ
 |год           = 1999
 |страниц       = 798
 |isbn          = 5-211-04138-0
}}
* [http://www.orenport.ru/images/doc/833/Saveliev2.pdf И.В.Савельев "Курс общей физики" том II]
* В.Г.Воднев, А.Ф.Наумович, Н.Ф.Наумович "Математический словарь высшей школы". Издательство МПИ 1984
{{Математическая физика}}
{{Нет источников |дата=2024-10-19}}

[[Категория:Дифференциальные уравнения в частных производных]]
[[Категория:Физические законы и уравнения]]