Просмотр кода страницы Вторая производная

[[Файл:4_fonctions_du_second_degré.svg|справа|мини|200x200пкс| Вторая производная [[Квадратичная функция одной переменной|квадратичной функции]] [[Константная функция|постоянна]].]]
'''Вторая производная''' или производная '''второго порядка''' [[Функция (математика)|функции]] <math>f</math> является [[Производная функции|производной]] от производной от <math>f</math>. Грубо говоря, вторая производная измеряет, как изменяется '''скорость изменения''' самой величины; например, вторая производная положения объекта по времени — это [[Ускорение|мгновенное ускорение]] объекта или скорость изменения [[Скорость|скорости]] объекта по времени. В [[Нотация Лейбница|нотации Лейбница]]:

: <math>\mathbf{a} = \frac{d\mathbf{v}}{dt} = \frac{d^2\boldsymbol{x}}{dt^2},</math>

где <math>a</math> — ускорение, <math>v</math> — скорость, <math>t</math> — время, <math>x</math> — положение объекта, d — мгновенная «дельта» или изменение. Последнее выражение <math>\tfrac{d^2\boldsymbol{x}}{dt^2}</math> является второй производной положения <math>(x)</math> по времени.

На [[График функции|графике функции]] вторая производная соответствует [[Кривизна|кривизне]] или [[Выпуклая функция|выпуклости]] графика. График функции с положительной второй производной на некотором участке является выпуклым вниз на этом участке, в то время как график функции с отрицательной второй производной на некотором участке изгибается в противоположную сторону на этом участке.

== Обозначение ==
Вторая производная функции <math>f(x)</math> обычно обозначается <math>f''(x)</math><ref>{{Cite web|url=https://amsi.org.au/ESA_Senior_Years/SeniorTopic3/3b/3b_2content_10.html|title=Content - The second derivative|website=amsi.org.au|access-date=2020-09-16|archive-date=2022-03-24|archive-url=https://web.archive.org/web/20220324051353/https://amsi.org.au/ESA_Senior_Years/SeniorTopic3/3b/3b_2content_10.html|url-status=live}}</ref><ref name=":1">{{Cite web|lang=en-US|url=http://192.168.1.121/math2/second-derivatives/|title=Second Derivatives|website=Math24|access-date=2020-09-16|url-status=dead}}</ref>. То есть:

: <math>f'' = \left(f'\right)'</math>.

При использовании [[Нотация Лейбница|нотации Лейбница]], [[Частная производная|частная]] вторая производная зависимой переменной <math>y</math> по независимой переменной <math>x</math> записывается как:

: <math>\frac{d^2y}{dx^2}.</math>

Данное обозначение получено из следующей формулы:

: <math>\frac{d^2y}{dx^2} \,=\, \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right).</math>

== Вторая производная степенной функции ==
Взяв два раза производную, получается формула второй производной:

: <math>\frac{d^2}{dx^2}\left[x^n\right] = \frac{d}{dx}\frac{d}{dx}\left[x^n\right] = \frac{d}{dx}\left[nx^{n-1}\right] = n\frac{d}{dx}\left[x^{n-1}\right] = n(n - 1)x^{n-2}.</math>

== Пример ==
Дана функция

: <math>f(x) = x^3,</math>

производная от <math>f</math> — функция

: <math>f^{\prime}(x) = 3x^2.</math>

Вторая производная от <math>f</math> является производной от <math>f^{\prime}</math>, а именно

: <math>f^{\prime\prime}(x) =
\left(f'\left(x\right)\right)'
= 6x.</math>

== Вторая производная на графике ==
[[Файл:Animated_illustration_of_inflection_point.gif|мини|500x500пкс| График <math>f(x) = \sin(2x)</math> в промежутке от <math>-\pi/4</math> до <math>5\pi/4</math>. Касательная синяя там, где кривая выпукла вниз, зеленая там, где кривая выпукла вверх, и красная в точках перегиба (0, <math>\pi</math> /2 и <math>\pi</math>).]]

=== Выпуклость ===
Вторая производная функции <math>f</math> может использоваться для определения '''выпуклости/вогнутости''' графика <math>f</math><ref name=":1" />. Функция, вторая производная которой положительна, будет [[Выпуклая функция|выпуклой вниз]] (также называется вогнутой вверх), что означает, что [[Касательная прямая|касательная]] будет лежать ниже графика функции. Точно так же функция, у которой вторая производная отрицательна, будет [[Вогнутая функция|выпукла вверх]] (также называется просто вогнутой вниз), а её касательные линии будут лежать над графиком функции.

=== Точки перегиба ===
{{Основная статья|Точка перегиба}}
Если вторая производная функции меняет знак, то график функции меняется с выпуклого вверх на выпуклый вниз или наоборот. Точка, в которой график уже не выпуклый вверх, но еще не выпуклый вниз, называется '''точкой перегиба'''. Если вторая производная непрерывна, она принимает нулевое значение в любой точке перегиба, однако стоит учитывать, что не каждая точка, в которой вторая производная равна нулю, обязательно является точкой перегиба.

=== Исследование стационарных точек ===
Связь второй производной и графика можно использовать для проверки того, является ли [[Точка экстремума|стационарная точка]] функции (то есть точка, где <math>f'(x)=0</math>) [[Экстремум|локальным максимумом]] или [[Экстремум|локальным минимумом]]. Более подробно:

* Если <math>f^{\prime\prime}(x) < 0</math>, тогда <math>f</math> имеет локальный максимум в точке <math>x</math>.
* Если <math>f^{\prime\prime}(x) > 0</math>, тогда <math>f</math> имеет локальный минимум в точке <math>x</math>.
* Если <math>f^{\prime\prime}(x) = 0</math>, проверка второй производной ничего не говорит о том, является ли точка <math>x</math> стационарной точкой.

Причину, по которой вторая производная дает такие результаты, можно понять с помощью аналогии с реальным миром. Рассмотрим транспортное средство, которое вначале движется вперед с большой скоростью, но с отрицательным [[ускорение]]м. Ясно, что положение автомобиля в точке, где скорость достигает нуля, будет наибольшим расстоянием от начального положения — следующим шагом скорость станет отрицательной, и автомобиль начнет ехать в противоположную сторону. То же самое верно и для минимума, когда транспортное средство сначала имеет отрицательную скорость, но положительное ускорение.

== Предел ==
Можно записать вторую производную при помощи всего одного [[Предел функции|предела]]:

: <math>f''(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - 2f(x) + f(x-h)}{h^2}.</math>

Данный предел можно называть второй симметричной производной<ref name="Zygmund2002">{{Cite book|author=A. Zygmund|title=Trigonometric Series|year=2002|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-89053-3|pages=22–23}}</ref><ref>{{Cite book|author=Thomson|year=1994|title=Symmetric Properties of Real Functions|url=https://archive.org/details/symmetricpropert0000thom|publisher=Marcel Dekker|isbn=0-8247-9230-0}}</ref>. Стоит обратить внимание, что вторая симметричная производная может существовать, даже если (обычная) вторая производная не существует.

Правую часть выражения можно записать в виде разностного отношения разностных отношений:

: <math>\frac{f(x+h) - 2f(x) + f(x-h)}{h^2} = \frac{\frac{f(x+h) - f(x)}{h} - \frac{f(x) - f(x-h)}{h}}{h}.</math>

Этот предел можно рассматривать как непрерывную версию {{iw|Вторая конечная разность|второй конечной разности|en|Second difference}} для [[Последовательность|последовательностей]].

Однако существование указанного выше предела не означает, что функция <math>f</math> имеет вторую производную. Приведенный выше предел просто дает возможность вычислить вторую производную, но не дает представления о ее существовании. Контрпримером является [[Sgn|функция <math>\sgn(x)</math>]], которая определяется как:

: '''<math>\sgn(x) = \begin{cases}
-1, \ \ x < 0 \\
0, \ \ \ \ \ x = 0 \\
1, \ \ \ \ \ x > 0 \end{cases}</math>'''

Функция [[Sgn|<math>\sgn(x)</math>]] разрывна в нуле, поэтому вторая производная для <math>x=0</math> не существует. Но вышеуказанный предел существует для <math>x=0</math>:

: <math>\begin{align}
\lim_{h \to 0} \frac{\sgn(0+h) - 2\sgn(0) + \sgn(0-h)}{h^2} &= \lim_{h \to 0} \frac{\sgn(h) - 2\cdot 0 + \sgn(-h)}{h^2} \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{\sgn(h) + (-\sgn(h))}{h^2} = \lim_{h \to 0} \frac{0}{h^2} = 0.
\end{align}</math>

== Квадратичная аппроксимация ==
Так же, как первая производная связана с линейной аппроксимацией, вторая производная связана с квадратичной аппроксимацией для функции <math>f</math>. Эта квадратичная функция, первые и вторые производные которой такие же, как у <math>f</math> в данной точке. Формула квадратичного приближения функции <math>f</math> вокруг точки <math>x = a</math> имеет вид

: <math>f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) + \tfrac12 f''(a)(x-a)^2.</math>

Эта квадратичная аппроксимация представляет собой [[ряд Тейлора]] второго порядка для функции с центром в точке {{Math|''x''&nbsp;{{=}}&nbsp;''a''}}.

== Собственные значения и собственные векторы второй производной ==
Для многих [[Краевая задача|краевых задач]] можно получить явные формулы для собственных значений и собственных векторов оператора второй производной. Например, если предположить, что <math>x \in [0,L]</math> и заданы однородные [[граничные условия Дирихле]] (то есть <math> v(0)=v(L)=0</math>), то [[Собственный вектор|собственные значения]] <math> \lambda_j = -\tfrac{j^2 \pi^2}{L^2}</math> и соответствующие [[Собственный вектор|собственные векторы]] (также называемые собственными функциями) равны <math> v_j(x) = \sqrt{\tfrac{2}{L}} \sin\left(\tfrac{j \pi x}{L}\right) </math>. Здесь <math> v''_j(x) = \lambda_j v_j(x), \, j=1,\ldots,\infty.</math>

Для других известных случаев см. {{iw|Собственные значения и собственные векторы второй производной|собственные значения и собственные векторы второй производной|en|Eigenvalues and eigenvectors of the second derivative}}.

== Обобщение на более высокие измерения ==

=== Гессиан ===
{{Основная статья|Матрица Гессе}}
Вторая производная обобщается на более высокие измерения с помощью понятия вторых [[Частная производная|частных производных]]. Для функции <math>f: \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R</math> есть три частные производные второго порядка:

: <math>\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \; \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}, \text{ и }\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}</math>,

и смешанные частные производные:

: <math>\frac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial y}, \; \frac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial z}, \text{ и }\frac{\partial^2 f}{\partial y \, \partial z}.</math>

Если все эти производные непрерывны, то можно составить из них симметричную матрицу, известную как матрица '''Гессе'''. Собственные [[Собственный вектор|значения]] этой матрицы можно использовать для реализации многомерного аналога проверки второй производной.{{Основная статья|Оператор Лапласа}}
Другим распространенным обобщением второй производной является '''лапласиан'''. Это дифференциальный оператор <math>\nabla^2</math> (или же <math>\Delta</math>), определяется как:

: <math>\nabla^2 f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}.</math>

Лапласиан функции равен [[Дивергенция|дивергенции]] [[градиент]]а и [[След матрицы|следу]] матрицы Гессе.

== См. также ==
* [[Конечные разности|Конечная разность]], используемая для аппроксимации второй производной
* {{iw|Проверка на точку перегиба|Проверка на точку перегиба|en|Second partial derivative test}}
* [[Равенство смешанных производных]]

== Примечания ==
{{Примечания}}

== Литература ==

=== Печатные ресурсы ===
* {{Citation|last1=Anton|first1=Howard|last2=Bivens|first2=Irl|last3=Davis|first3=Stephen|date=2005-02-02|title=Calculus: Early Transcendentals Single and Multivariable|place=New York|publisher=Wiley|edition=8th|isbn=978-0-471-47244-5}}
* {{Citation|last1=Apostol|first1=Tom M.|date=June 1967|title=Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra|publisher=Wiley|edition=2nd|isbn=978-0-471-00005-1|url=https://archive.org/details/calculus01apos}}
* {{Citation|last1=Apostol|first1=Tom M.|date=June 1969|title=Calculus, Vol. 2: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications|publisher=Wiley|edition=2nd|isbn=978-0-471-00007-5|url=https://archive.org/details/calculus01apos}}
* {{Citation|last1=Eves|first1=Howard|date=1990-01-02|title=An Introduction to the History of Mathematics|edition=6th|publisher=Brooks Cole|isbn=978-0-03-029558-4}}
* {{Citation|last1=Larson|first1=Ron|last2=Hostetler|first2=Robert P.|last3=Edwards|first3=Bruce H.|date=2006-02-28|title=Calculus: Early Transcendental Functions|edition=4th|publisher=Houghton Mifflin Company|isbn=978-0-618-60624-5}}
* {{Citation|last1=Spivak|first1=Michael|date=September 1994|title=Calculus|publisher=Publish or Perish|edition=3rd|isbn=978-0-914098-89-8}}
* {{Citation|last1=Stewart|first1=James|date=2002-12-24|title=Calculus|publisher=Brooks Cole|edition=5th|isbn=978-0-534-39339-7|url=https://archive.org/details/calculus0000stew}}
* {{Citation|last1=Thompson|first1=Silvanus P.|date=1998-09-08|title={{iw|Calculus Made Easy}}|edition=Revised, Updated, Expanded|place=New York|publisher=St. Martin's Press|isbn=978-0-312-18548-0}}

=== Книги, доступные в интернете ===
* {{Citation|last=Crowell|first=Benjamin|title=Calculus|year=2003|url=http://www.lightandmatter.com/calc/}}
* {{Citation|last=Garrett|first=Paul|year=2004|title=Notes on First-Year Calculus|url=http://www.math.umn.edu/~garrett/calculus/}}
* {{Citation|last=Hussain|first=Faraz|year=2006|title=Understanding Calculus|url=http://www.understandingcalculus.com/}}
* {{Citation|last=Keisler|first=H. Jerome|year=2000|title=Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals|url=http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html}}
* {{Citation|last=Mauch|first=Sean|year=2004|title=Unabridged Version of Sean's Applied Math Book|url=http://www.its.caltech.edu/~sean/book/unabridged.html|url-status=dead}}
* {{Citation|last=Sloughter|first=Dan|year=2000|title=Difference Equations to Differential Equations|url=http://synechism.org/drupal/de2de/}}
* {{Citation|last=Strang|first=Gilbert|year=1991|title=Calculus|url=http://ocw.mit.edu/ans7870/resources/Strang/strangtext.htm}}
* {{Citation|last=Stroyan|first=Keith D.|year=1997|title=A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus|url=http://www.math.uiowa.edu/~stroyan/InfsmlCalculus/InfsmlCalc.htm|url-status=dead}}
* {{Citation|last=Wikibooks|title=Calculus|url=http://en.wikibooks.org/wiki/Calculus}}

== Ссылки ==
* [http://mathformeremortals.wordpress.com/2013/01/12/a-numerical-second-derivative-from-three-points/ Дискретная вторая производная от неравномерно расположенных точек]

{{Дифференциальное исчисление}}

[[Категория:Функции]]
[[Категория:Дифференциальное исчисление]]
[[Категория:Математический анализ]]