Вторая производная

Вторая производная квадратичной функции постоянна.

Вторая производная или производная второго порядка функции $f$ является производной от производной от $f$. Грубо говоря, вторая производная измеряет, как изменяется скорость изменения самой величины; например, вторая производная положения объекта по времени — это мгновенное ускорение объекта или скорость изменения скорости объекта по времени. В нотации Лейбница:

$𝐚=\frac{d𝐯}{dt}=\frac{d^2𝒙}{d{t}^2},$

где $a$ — ускорение, $v$ — скорость, $t$ — время, $x$ — положение объекта, d — мгновенная «дельта» или изменение. Последнее выражение $\frac{d^2𝒙}{d{t}^2}$ является второй производной положения $(x)$ по времени.

На графике функции вторая производная соответствует кривизне или выпуклости графика. График функции с положительной второй производной на некотором участке является выпуклым вниз на этом участке, в то время как график функции с отрицательной второй производной на некотором участке изгибается в противоположную сторону на этом участке.

Обозначение

Вторая производная функции $f(x)$ обычно обозначается $f^{″}(x)$. То есть:

$f^{″}=\left(f^{\prime }\right)$.

При использовании нотации Лейбница, частная вторая производная зависимой переменной $y$ по независимой переменной $x$ записывается как:

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}.$

Данное обозначение получено из следующей формулы:

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right).$

Вторая производная степенной функции

Взяв два раза производную, получается формула второй производной:

$\frac{d^2}{d{x}^2}\left[x^n\right]=\frac{d}{dx}\frac{d}{dx}\left[x^n\right]=\frac{d}{dx}\left[n{x}^{n-1}\right]=n\frac{d}{dx}\left[x^{n-1}\right]=n(n-1)x^{n-2}.$

Пример

Дана функция

$f(x)=x^3,$

производная от $f$ — функция

$f^{\prime }(x)=3x^2.$

Вторая производная от $f$ является производной от $f^{\prime }$, а именно

$f^{\prime \prime }(x)=\left(f^{\prime }\left(x\right)\right)=6x.$

Вторая производная на графике

График $f(x)=\sin (2x)$ в промежутке от $-\pi /4$ до $5\pi /4$. Касательная синяя там, где кривая выпукла вниз, зеленая там, где кривая выпукла вверх, и красная в точках перегиба (0, $\pi$ /2 и $\pi$).

Выпуклость

Вторая производная функции $f$ может использоваться для определения выпуклости/вогнутости графика $f$. Функция, вторая производная которой положительна, будет выпуклой вниз (также называется вогнутой вверх), что означает, что касательная будет лежать ниже графика функции. Точно так же функция, у которой вторая производная отрицательна, будет выпукла вверх (также называется просто вогнутой вниз), а её касательные линии будут лежать над графиком функции.

Точки перегиба

Шаблон:Основная статья Если вторая производная функции меняет знак, то график функции меняется с выпуклого вверх на выпуклый вниз или наоборот. Точка, в которой график уже не выпуклый вверх, но еще не выпуклый вниз, называется точкой перегиба. Если вторая производная непрерывна, она принимает нулевое значение в любой точке перегиба, однако стоит учитывать, что не каждая точка, в которой вторая производная равна нулю, обязательно является точкой перегиба.

Исследование стационарных точек

Связь второй производной и графика можно использовать для проверки того, является ли стационарная точка функции (то есть точка, где $f^{\prime }(x)=0$) локальным максимумом или локальным минимумом. Более подробно:

• Если $f^{\prime \prime }(x)<0$, тогда $f$ имеет локальный максимум в точке $x$.
• Если $f^{\prime \prime }(x)>0$, тогда $f$ имеет локальный минимум в точке $x$.
• Если $f^{\prime \prime }(x)=0$, проверка второй производной ничего не говорит о том, является ли точка $x$ стационарной точкой.

Причину, по которой вторая производная дает такие результаты, можно понять с помощью аналогии с реальным миром. Рассмотрим транспортное средство, которое вначале движется вперед с большой скоростью, но с отрицательным ускорением. Ясно, что положение автомобиля в точке, где скорость достигает нуля, будет наибольшим расстоянием от начального положения — следующим шагом скорость станет отрицательной, и автомобиль начнет ехать в противоположную сторону. То же самое верно и для минимума, когда транспортное средство сначала имеет отрицательную скорость, но положительное ускорение.

Предел

Можно записать вторую производную при помощи всего одного предела:

$f^{″}(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2}.$

Данный предел можно называть второй симметричной производной. Стоит обратить внимание, что вторая симметричная производная может существовать, даже если (обычная) вторая производная не существует.

Правую часть выражения можно записать в виде разностного отношения разностных отношений:

$\frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2}=\frac{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}-\frac{f(x)-f(x-h)}{h}}{h}.$

Этот предел можно рассматривать как непрерывную версию Шаблон:Iw для последовательностей.

Однако существование указанного выше предела не означает, что функция $f$ имеет вторую производную. Приведенный выше предел просто дает возможность вычислить вторую производную, но не дает представления о ее существовании. Контрпримером является функция $\mathrm{sgn}(x)$, которая определяется как:

$\mathrm{sgn}(x)=\{\begin{array}{c}-1,x<0\\ 0,x=0\\ 1,x>0\end{array}$

Функция $\mathrm{sgn}(x)$ разрывна в нуле, поэтому вторая производная для $x=0$ не существует. Но вышеуказанный предел существует для $x=0$:

$\begin{array}{cc}\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{sgn}(0+h)-2\mathrm{sgn}(0)+\mathrm{sgn}(0-h)}{h^2}& =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{sgn}(h)-2\cdot 0+\mathrm{sgn}(-h)}{h^2}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{sgn}(h)+(-\mathrm{sgn}(h))}{h^2}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{0}{h^2}=0.\end{array}$

Квадратичная аппроксимация

Так же, как первая производная связана с линейной аппроксимацией, вторая производная связана с квадратичной аппроксимацией для функции $f$. Эта квадратичная функция, первые и вторые производные которой такие же, как у $f$ в данной точке. Формула квадратичного приближения функции $f$ вокруг точки $x=a$ имеет вид

$f(x)\approx f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+\frac{1}{2}{f}^{″}(a)(x-a{)}^2.$

Эта квадратичная аппроксимация представляет собой ряд Тейлора второго порядка для функции с центром в точке Шаблон:Math.

Собственные значения и собственные векторы второй производной

Для многих краевых задач можно получить явные формулы для собственных значений и собственных векторов оператора второй производной. Например, если предположить, что $x\in [0,L]$ и заданы однородные граничные условия Дирихле (то есть $v(0)=v(L)=0$), то собственные значения ${\lambda }_j=-\frac{j^2{\pi }^2}{L^2}$ и соответствующие собственные векторы (также называемые собственными функциями) равны $v_j(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left(\frac{j\pi x}{L}\right)$. Здесь $v^{\prime }{\text{'}}_j(x)={\lambda }_j{v}_j(x),j=1,\dots ,\mathrm{\infty }.$

Для других известных случаев см. Шаблон:Iw.

Обобщение на более высокие измерения

Гессиан

Шаблон:Основная статья Вторая производная обобщается на более высокие измерения с помощью понятия вторых частных производных. Для функции $f:{ℝ}^3\to ℝ$ есть три частные производные второго порядка:

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2},\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2},\text{ и }\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2}$,

и смешанные частные производные:

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y},\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial z},\text{ и }\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial z}.$

Если все эти производные непрерывны, то можно составить из них симметричную матрицу, известную как матрица Гессе. Собственные значения этой матрицы можно использовать для реализации многомерного аналога проверки второй производной.Шаблон:Основная статья Другим распространенным обобщением второй производной является лапласиан. Это дифференциальный оператор ${\mathrm{\nabla }}^2$ (или же $\mathrm{\Delta }$), определяется как:

${\mathrm{\nabla }}^{2}f=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial z^2}.$

Лапласиан функции равен дивергенции градиента и следу матрицы Гессе.

См. также

• Конечная разность, используемая для аппроксимации второй производной
• Шаблон:Iw
• Равенство смешанных производных

Литература

Печатные ресурсы

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation

Книги, доступные в интернете

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation

Ссылки

• Дискретная вторая производная от неравномерно расположенных точек