Равенство смешанных производных

Смешанные частные производные одной и той же функции, отличающиеся лишь порядком (очерёдностью) дифференцирования, равны между собой при условии их непрерывности. Такое свойство называется равенством смешанных производных.

Само утверждение о равенстве смешанных производных в различных источниках упоминается как теорема Шварца, теорема Клеро или теорема Янга.

Теорема

Определение смешанной производной

Пусть дана достаточно гладкая (скалярная) функция $f$ многих переменных:

$(1)f=f(x_1,x_2,\dots x_n)$

Мы можем взять частную производную этой функции по одному из аргументов $x_i$, считая остальные аргументы постоянными параметрами. В результате мы получим новую функцию:

$(2)\varphi (x_i)=\frac{\partial f}{\partial x_i}{|}_{x_1,\dots x_{i-1},x_{i+1},\dots x_n=const}$

Эта новая функция тоже зависит от остальных аргументов как от параметров. То есть численное значение $\varphi$ в общем случае зависит от тех же переменных $x_1,x_2,\dots x_n$, что и оригинальная функция $f$:

$(3)\varphi =\varphi (x_1,x_2,\dots x_n)$

Если функция $\varphi$ окажется достаточно гладкой, то мы можем и её продифференцировать, взяв частную производную по тому же самому или по другому аргументу $x_j$:

$(4)\frac{\partial \varphi }{\partial x_j}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_j\partial x_i}$

Если $j\ne i$, то выражение в правой части равенства (4) называется смешанной производной.

Основа теоремы

Для гладкой функции многих переменных значение смешанной производной не зависит от порядка дифференцирования:

$(5)\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_i\partial x_j}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_j\partial x_i}$

Теорема является базовой в теории функций многих переменных и широко применяется в математической физике, теории дифференциальных уравнений в частных производных, дифференциальной геометрии.

Необходимая степень гладкости

Уточнять необходимую степень гладкости следует поэтапно.

• 1. Справедливость для аналитической функции (теорема).
• 2. Справедливость для более широкого класса функций, имеющих в окрестности точки только такие непрерывные производные:

$(6)\frac{\partial f}{\partial x_i},\frac{\partial f}{\partial x_j},\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_i\partial x_j},\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_j\partial x_i}$

• 3. Поскольку для фиксированных индексов $i,j$ все производные из перечня (6) берутся при условии, что любой третий аргумент $x_k$ является константой, то функция $f$ (а также все производные (6)) может быть разрывной в отношении третьих аргументов. Например, составим функцию из двух слагаемых:

$f(x_1,x_2,\dots x_n)=\mathrm{\Phi }(x_i,x_j)+Z(\dots x_{i-1},x_{i+1},\dots x_{j-1},x_{j+1},\dots )$

где первое слагаемое является гладкой функцией двух аргументов, а второе слагаемое разрывной во всех точках.

Дальнейшее уточнение гладкости функции нужно делать в ходе доказательства теоремы, оно будет сформулировано в самом конце.

Доказательство теоремы

Как указано выше, для доказательства теоремы можно не рассматривать зависимость функции от третьих аргументов. Поэтому для простоты записи изменим обозначения $x_i,x_j$ на $x,y$, то есть будем рассматривать такую функцию двух переменных:

$(7)f=f(x,y)$

Также для упрощения формул будем обозначать частные производные индексами внизу функции:

$(8)f_x(x,y)=\frac{\partial f(x,y)}{\partial x},f_y(x,y)=\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}$

$(8a)f_{xy}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y},f_{yx}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}$

Пусть в точке $(x,y)$ существует смешанная производная:

$(9)f_{xy}(x,y)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{f_y(x+\mathrm{\Delta }x,y)-f_y(x,y)}{\mathrm{\Delta }x}$

Предположим, что смешанная производная $f_{xy}$ существует в точке $(x,y)$, а также существует первая производная $f_y(x,y)$ вдоль (горизонтальной) прямой $y=const$.

Далее, разность производных равна производной от разности, поэтому превращаем формулу (9) в:

$(10)f_{xy}(x,y)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{1}{\mathrm{\Delta }x}\frac{\partial }{\partial y}[f(x+\mathrm{\Delta }x,y)-f(x,y)]$

Это преобразование никаких дополнительных условий не накладывает, поскольку разность дифференцируемых функций всегда является функцией дифференцируемой.

Далее, разность в квадратных скобках формулы (10) можно записать в виде определённого интеграла от производной:

$(11)f_{xy}(x,y)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{1}{\mathrm{\Delta }x}\frac{\partial }{\partial y}\underset{x}{\overset{x+\mathrm{\Delta }x}{\int }}{f}_x(\xi ,y)d\xi$

Нужно, чтобы существовала частная производная $f_x$ вдоль прямой $y=const$.

Теперь частную производную по игрек в формуле (11) запишем согласно определению производной как предела:

$(12)f_{xy}(x,y)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{1}{\mathrm{\Delta }x}\underset{\mathrm{\Delta }y\to 0}{\lim }\frac{1}{\mathrm{\Delta }y}(\underset{x}{\overset{x+\mathrm{\Delta }x}{\int }}{f}_x(\xi ,y+\mathrm{\Delta }y)d\xi -\underset{x}{\overset{x+\mathrm{\Delta }x}{\int }}{f}_x(\xi ,y)d\xi )$

Как видно, надо, чтобы частная производная $f_x$ существовала не только на прямой $y=const$, но в некоторой двухмерной окрестности точки $(x,y)$.

Далее, разность интегралов равна интегралу от разности, причём под знак интеграла можно внести постоянный множитель $\frac{1}{\mathrm{\Delta }y}$:

$(13)f_{xy}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{1}{\mathrm{\Delta }x}\underset{\mathrm{\Delta }y\to 0}{\lim }\underset{x}{\overset{x+\mathrm{\Delta }x}{\int }}\frac{f_x(\xi ,y+\mathrm{\Delta }y)-f_x(\xi ,y)}{\mathrm{\Delta }y}d\xi$

Это преобразование также не накладывает дополнительных условий, поскольку разность интегрируемых функций является функцией интегрируемой.

По теореме Лагранжа, подынтегральное выражение в формуле (13) равно производной в средней точке:

$(14)\frac{f_x(\xi ,y+\mathrm{\Delta }y)-f_x(\xi ,y)}{\mathrm{\Delta }y}=f_{yx}(\xi ,\eta )$

Средняя точка является функцией:

$(14a)\eta =\eta (\xi ,\mathrm{\Delta }y)$,

значения которой лежат в интервале (если, например, $\mathrm{\Delta }y>0$)

$(14b)\eta \in [y,y+\mathrm{\Delta }y]$

Для справедливости (14) нужно существование смешанной производной $f_{yx}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}$ в некоторой двухмерной окрестности точки $(x,y)$.

Для окончания доказательства надо принять, что смешанная производная непрерывна в точке $(x,y)$ как функция двух переменных. Значение этой производной в близкой точке $(\xi ,\eta )$ равно с точностью до бесконечно малого слагаемого значению производной в точке $(x,y)$:

$(15)f_{yx}(\xi ,\eta )=f_{yx}(x,y)+o(\xi -x,\eta -y)$

Смешанная производная $f_{yx}$ существует в двухмерной окрестности точки $(x,y)$ и непрерывна в этой точке как функция двух переменных.

Подставим (14) и (15) в (13):

$(16)f_{xy}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{1}{\mathrm{\Delta }x}\underset{\mathrm{\Delta }y\to 0}{\lim }\underset{x}{\overset{x+\mathrm{\Delta }x}{\int }}(f_{yx}(x,y)+o(\xi -x,\eta -y))d\xi$

Заметим, что формула (16) эквивалентна формуле (13) (хотя и в других обозначениях), а потому интеграл и обе границы существуют. Поскольку подынтегральная функция в (16) интегрируема, а первое слагаемое $f_{yx}(x,y)$ является константой по переменной интегрирования $\xi$, то второе слагаемое тоже оказывается интегрируемым, и мы можем разбить интеграл на сумму двух интегралов, первый из которых легко берётся как интеграл от константы:

$(17)\underset{x}{\overset{x+\mathrm{\Delta }x}{\int }}(f_{yx}(x,y)+o(\xi -x,\eta -y))d\xi =\underset{x}{\overset{x+\mathrm{\Delta }x}{\int }}{f}_{yx}(x,y)d\xi +\underset{x}{\overset{x+\mathrm{\Delta }x}{\int }}o(\xi -x,\eta -y)d\xi =$

$=f_{yx}\mathrm{\Delta }x+\underset{x}{\overset{x+\mathrm{\Delta }x}{\int }}o(\xi -x,\eta -y)d\xi$

После подстановки (17) в (16) мы можем вынести постоянное слагаемое сначала за пределы первой границы, а затем за пределы другой границы:

$(18)f_{xy}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{1}{\mathrm{\Delta }x}(f_{yx}(x,y)\mathrm{\Delta }x+\underset{\mathrm{\Delta }y\to 0}{\lim }\underset{x}{\overset{x+\mathrm{\Delta }x}{\int }}o(\xi -x,\eta (\xi ,\mathrm{\Delta }y)-y)d\xi )=$

$=f_{yx}(x,y)+\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{1}{\mathrm{\Delta }x}\underset{\mathrm{\Delta }y\to 0}{\lim }\underset{x}{\overset{x+\mathrm{\Delta }x}{\int }}o(\xi -x,\eta (\xi ,\mathrm{\Delta }y)-y)d\xi$

Покажем, что второе слагаемое в последнем выражении формулы (18) равно нулю. Возьмём произвольное положительное число $ϵ$. Непрерывность смешанной производной $f_{yx}$ в точке $(x,y)$ означает, что существует такое положительное число $\delta$, что для каждой точки $(\xi ,\eta )$ внутри квадрата $|\xi -x|<\delta ,|\eta -y|<\delta$ справедливо неравенство:

$(19)|o(\xi -x,\eta -y)|=|f_{yx}(\xi ,\eta )-f_{yx}(x,y)|<ϵ$

Если мы возьмём положительные числа $\mathrm{\Delta }x<\delta ,\mathrm{\Delta }y<\delta$, то интеграл в последнем слагаемом формулы (18) оценивается сверху:

$(20)\underset{x}{\overset{x+\mathrm{\Delta }x}{\int }}o(\xi -x,\eta (\xi ,\mathrm{\Delta }y)-y)d\xi <\underset{x}{\overset{x+\mathrm{\Delta }x}{\int }}ϵd\xi =ϵ\mathrm{\Delta }x$

Обозначим это слагаемое $L$

$(21)L=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{1}{\mathrm{\Delta }x}\underset{\mathrm{\Delta }y\to 0}{\lim }\underset{x}{\overset{x+\mathrm{\Delta }x}{\int }}o(\xi -x,\eta (\xi ,\mathrm{\Delta }y)-y)d\xi \le \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{1}{\mathrm{\Delta }x}\underset{\mathrm{\Delta }y\to 0}{\lim }ϵ\mathrm{\Delta }x=ϵ$

Аналогично (если взять $-ϵ<\mathrm{\Delta }x<0$), имеем оценку снизу:

$(22)L\ge -ϵ$

Поскольку положительное число $ϵ$ может быть сколь угодно малым, то с необходимостью следует $L=0$. Теорема доказана.

Уточнение гладкости функции

Как видно в ходе доказательства, от функции требуется существование одной смешанной производной (например, $f_{xy}$) в точке, а также существование второй смешанной производной $f_{yx}$ в двумерной окрестности точки и её непрерывность в этой точке. Из этого условия также следует существование производной $f_y$ вдоль отрезка прямой $y=const$ и существование производной $f_x$ в двумерной окрестности точки.

Кроме того, существование $f_{xy}$ в точке $(x,y)$ следует из двух фактов: (а) существует производная $f_y$ вдоль отрезка прямой $y=const$, проходящей через точку $(x,y)$, (б) смешанная производная $f_{yx}$ существует и непрерывна в этой точке.

Пример

Рассмотрим функцию

$(23)f(x,y)=xy+y^2\chi (y)$

где функция Дирихле $\chi (y)$ равна нулю в рациональных точках $y=\frac{m}{n}$ и единице в иррациональных. Функция (23) определена на всей плоскости; непрерывна (как функция двух переменных) вдоль прямой $y=0$ и разрывна во всех других точках плоскости.

Везде существует непрерывная частная производная:

$(24)f_x(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}=y$

а также одна из смешанных производных:

$(25)f_{yx}(x,y)=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}=1$

Частная производная по игрек существует лишь в точках прямой $y=0$:

$(26)f_y(x,0)=x$

Также в этих же точках прямой существует вторая смешанная производная:

$(27)f_{xy}(x,0)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\lim }\frac{f_y(x+\mathrm{\Delta }x,0)-f_y(x,0)}{\mathrm{\Delta }x}=1$

Как видим, для точек прямой $y=0$ условия теоремы выполняются, и обе смешанные производные равны.

Контрпример

Рассмотрим функцию двух переменных $x,y$

$(28)f(x,y)=\frac{|ax+by{|}^3}{\sqrt{x^2+y^2}}$

где буквами $a,b$ обозначены некоторые ненулевые параметры. Формула (28) задаёт непрерывную функцию всюду на плоскости за исключением начала координат $x=0,y=0$. Мы можем доопределить функцию $f(x,y)$ в начале координат

$(29)f(0,0)=0$

Согласно этим определениям функция будет непрерывной также и в начале координат, что можно видеть, представив формулу (28) в полярной системе координат (и направляя $r\to 0$):

$(30)f(r,\varphi )=(a^2+b^2{)}^{\frac{3}{2}}{r}^2|\sin (\varphi +{\varphi }_0){|}^3$

Покажем, что для этой доопределённой функции $f(x,y)$ смешанные производные в начале координат существуют, но не равны между собой.

Сначала вычислим первые производные $f_x,f_y$. Как промежуточный результат, заметим, что функция «куб модуля» дважды дифференцируема, и её первая и вторая производные вычисляются по формулам:

$(31)\frac{d}{dx}|x{|}^3=3x|x|$

$(31a)\frac{d^2}{d{x}^2}|x{|}^3=\frac{d}{dx}(3x|x|)=6|x|$

Теперь, учитывая (28) и (31), запишем первые производные функции $f(x,y)$ в точке плоскости, отличной от начала координат ($r=\sqrt{x^2+y^2}$):

$(32)f_x=3a\frac{(ax+by)|ax+by|}{r}-\frac{x}{r^3}|ax+by{|}^3$

$(33)f_y=3b\frac{(ax+by)|ax+by|}{r}-\frac{y}{r^3}|ax+by{|}^3$

Можно также вычислить первые производные в начале координат, исходя из определения производной:

$(32a)f_x(0,0)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{|ax{|}^3}{x|x|}=0$

Аналогично

$(33a)f_y(0,0)=0$

Перейдём теперь к вычислению смешанных производных в начале координат:

$(34)f_{xy}(0,0)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f_y(x,0)-f_y(0,0)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x}\left(\frac{3bax|ax|}{|x|}\right)=3ab|a|$

Аналогичное вычисление даёт:

$(35)f_{yx}(0,0)=3ab|b|$

Легко видеть, что формулы (34) и (35) дают разные результаты, если:

$(36)|a|>0,|b|>0,|a|\ne |b|$

Причина этого неравенства в том, что не выполняется условие теоремы — обе смешанные производные (хотя существуют везде) являются разрывными в начале координат.

Можно также рассмотреть функцию

$f(x,y)=\frac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2}$

Упрощенное доказательство для аналитических функций

Аналитическая функция двух переменных (по крайней мере локально) разлагается в сходящийся степенной ряд:

$(37)f(x,y)=\sum _{n,m=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_{nm}(x-x_0{)}^n(y-y_0{)}^m$

Как известно, степенной ряд можно дифференцировать почленно в пределах его радиуса сходимости. Таким образом, найдём первые производные:

$(38)f_x=\sum _{n,m=0}^{\mathrm{\infty }}n{a}_{nm}(x-x_0{)}^{n-1}(y-y_0{)}^m$

$(39)f_y=\sum _{n,m=0}^{\mathrm{\infty }}m{a}_{nm}(x-x_0{)}^n(y-y_0{)}^{m-1}$

Повторное дифференцирование (38) и (39) даёт одну и ту же формулу для обеих смешанных производных:

$(40)f_{xy}=f_{yx}=\sum _{n,m=0}^{\mathrm{\infty }}nm{a}_{nm}(x-x_0{)}^{n-1}(y-y_0{)}^{m-1}$

См. также

• Смешанная частная производная

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга