Просмотр кода страницы Вычисление координат пересечений кругов равных высот светил

[[Файл:Gauss PZX1-PZX2 v4 cr.png|thumb|340px|P — [[полюс мира]], Z — [[зенит]] наблюдателя, Horizon — [[Горизонтальная система координат#Линии и плоскости|горизонт]] наблюдателя. σ<sub>1</sub> и σ<sub>2</sub> — светила, h<sub>1</sub>, h<sub>2</sub> — их наблюдённые высоты, t<sub>m1</sub> и t<sub>m2</sub> — их местные часовые углы. Greenwich — [[Меридиан|гринвичский меридиан]], t<sub>G1</sub> — гринвичский часовой угол первого светила. LoP<sub>1</sub> и LoP<sub>2</sub> — [[Круг равных высот|круги равных высот]] светил (или ''высотные линии положения'', ВЛП). Точки Fix<sub>1</sub> и Fix<sub>2</sub> пересечений ВЛП — возможные местоположения наблюдателя согласно [[Обсервация (навигация)|обсервации]]. Точка (φ<sub>c</sub>;λ<sub>c</sub>) — место согласно [[Счисление координат|счислению]].]]
'''Вычисление координат точек пересечения [[Круг равных высот|кругов равных высот]] светил''' — предложенный [[Гаусс, Карл Фридрих|Гауссом]] аналитический метод определения [[Географические координаты|географических координат]] местоположения наблюдателя по измеренным [[Высота (астрономия)#Горизонтальная топоцентрическая система координат|высотам]] двух [[Небесное светило|светил]] и их [[Склонение (астрономия)|склонениям]] и [[Экваториальная система координат#Первая экваториальная система координат|часовым углам]], без графических построений на карте. Используется в [[Астрономическая навигация|астрономической навигации]] наряду с [[Метод Сомнера|методом Сомнера]] и [[Метод переносов|методом переносов (метод Сент-Илера)]]. В случае невозможности определить время наблюдения метод позволяет, тем не менее, вычислить географическую [[Географические координаты|широту]] местоположения наблюдателя.

В общем случае данный метод не требует знания [[Счисление координат|счислимого места]], <math>(\varphi_c;\lambda_{c})</math>, так как [[Обсервация (навигация)|обсервация]] третьего светила позволяет устранить неоднозначность определения места по первым двум. Если пронаблюдать третье светило невозможно, для решения неоднозначности рекомендуется измерить [[Азимут (геодезия)|азимуты]] наблюдаемых светил, чтобы сравнить их с вычисленными для обеих точек пересечения. Приемлема точность взятия азимутов ±10°.

== Исходные данные ==
Для некоторого момента времени <math>UT_o</math> [[Обсервация (навигация)|наблюдением]] получены высоты двух светил над [[горизонт]]ом, <math>h_{o1}</math> и <math>h_{o2}</math> соответственно<ref>Если высоты светил измерены не одновременно, необходимо исправить высоту одного из них [[Приведение высот к одному моменту|приведением к одному моменту]], если наблюдатель находился в движении, дополнительно требуется [[Приведение высот к одному зениту|приведение высоты к одному зениту]].</ref>. Также, из [[Морской альманах|альманаха]], выяснены относящиеся к этому моменту их склонения, <math>\delta_1</math> и <math>\delta_2</math>; и гринвичские часовые углы, <math>t_{G1}</math> и <math>t_{G2}</math>. Северное склонение и восточная [[Географические координаты|долгота]] считаются [[Знак (математика)#Положительные и отрицательные числа|положительными]] величинами, южное склонение и западная долгота — отрицательными, в вычислениях соблюдать соглашение о знаках величин '''обязательно'''.

Если выбранными светилами являются звёзды, у которых величины склонений и [[Прямое восхождение|прямых восхождений]] можно принять неизменными в течение суток, вместо гринвичских часовых углов допустимо использовать выраженные в угловой мере значения их прямых восхождений, <math>\alpha</math>, или [[Экваториальная система координат#Вторая экваториальная система координат|звёздные дополнения]], <math>\tau^\star</math>. В этом случае географическая широта местоположения наблюдателя вычисляется без знания точного момента времени наблюдения светил.

== Ход вычислений ==
Рассмотрим [[Параллактический треугольник|параллактические треугольники]] <math>PZ\sigma_1</math> и <math>PZ\sigma_2</math>, где <math>P_N</math> — северный [[полюс мира]], <math>\sigma_1</math> и <math>\sigma_2</math> — наблюдаемые светила, <math>Z</math> — [[зенит]] наблюдателя. <math>z_1 = 90^\circ - h_{o1}</math> и <math>z_2 = 90^\circ - h_{o2}</math> — [[Горизонтальная система координат#Координаты|зенитные расстояния]] светил.

На первом этапе вычислений (определение широты) требуется величина часового угла между светилами, <math>\Delta t</math>, которая в случае наблюдения планет, Солнца или Луны должна быть получена из их гринвичских часовых углов:

: <math>\Delta t = t_{G2} - t_{G1}</math>

При наблюдении звёзд эта величина может быть получена из значений их прямых восхождений:

: <math>\Delta t = 15^{\left[\frac{\circ}{h}\right]} \cdot (\alpha_{2}^{[h]} - \alpha_{1}^{[h]})</math>

Из звёздных дополнений:

: <math>\Delta t = \underbrace{(t_{G}^\curlyvee + \tau_{2}^\star)}_{t_{G2}} - \underbrace{(t_{G}^\curlyvee + \tau_{1}^\star)}_{t_{G1}} = \tau_{2}^\star - \tau_{1}^\star</math>

Действительные величины гринвичских часовых углов понадобятся на шаге вычисления долготы.

=== По [[Сферические теоремы косинусов|теореме косинусов]] ===
* Угловое расстояние между светилами, <math>D_{12}</math>:

: <math>\cos(D_{12}) = \sin(\delta_1) \cdot \sin(\delta_2) + \cos(\delta_1) \cdot \cos(\delta_2) \cdot \cos(\Delta t)</math>

* Постоянная часть [[Параллактический_угол|параллактического угла]], <math>q_1</math>, при первом светиле:

: <math>\cos(q_1) = \frac{\sin(\delta_2) - \sin(\delta_1) \cdot \cos(D_{12})}{\cos(\delta_1) \cdot \sin(D_{12})}  = \frac{\sin(\delta_2)}{\cos(\delta_1) \cdot \sin(D_{12})} - \frac{\tan(\delta_1)}{\tan(D_{12})}</math>

* Переменная часть параллактического угла, <math>\Delta q_1</math>, от первого светила к наблюдателю:

: <math>\cos(\Delta q_1) = \frac{\sin(h_{o2}) - \sin(h_{o1}) \cdot \cos(D_{12})}{\cos(h_{o1}) \cdot \sin(D_{12})} = \frac{\sin(h_{o2})}{\cos(h_{o1}) \cdot \sin(D_{12})} - \frac{\tan(h_{o1})}{\tan(D_{12})}</math>

Наблюдатель может находиться в одной из двух точек, <math>Fix_1</math> или <math>Fix_2</math>, расположенных симметрично относительно дуги <math>D_{12}</math>, действительное значение паралактического угла может быть суммой или разностью углов <math>q_1</math> и <math>\Delta q_1</math>.

* Широта первого пересечения, <math>\varphi_{(q_1 + \Delta q_1)}</math>:

: <math>\sin(\varphi_{(q_1 + \Delta q_1)}) = \sin(\delta_1) \cdot \sin(h_{o1}) + \cos(\delta_1) \cdot \cos(h_{o1}) \cdot \cos(q_1 + \Delta q_1)</math>

* Широта второго пересечения, <math>\varphi_{(q_1 - \Delta q_1)}</math>:

: <math>\sin(\varphi_{(q_1 - \Delta q_1)}) = \sin(\delta_1) \cdot \sin(h_{o1}) + \cos(\delta_1) \cdot \cos(h_{o1}) \cdot \cos(q_1 - \Delta q_1)</math>

На основании приблизительной оценки текущего местоположения наблюдателя производится выбор значения широты, <math>\varphi_o</math>, ближайшего к ожидаемому. Дальнейшие вычисления производятся с ним.

Знак угла <math>\Delta q_1</math> можно определить и без попытки вычисления обоих значений широты. Достаточно свериться с видом треугольника <math>P\sigma_{1}\sigma_{2}</math>: если счислимое место и повышенный полюс мира находятся по одну сторону дуги <math>D_{12}</math>, величину <math>\Delta q_1</math> следует брать со знаком минус, если счислимое место и полюс мира находятся по разные стороны, — величину <math>\Delta q_1</math> следует брать со знаком плюс.

* Основное значение [[Экваториальная система координат#Первая экваториальная система координат|местного часового угла]], <math>t_1</math>, первого светила для широты <math>\varphi_o</math>:

: <math>\cos(t_1) = \frac{\sin(h_{o1}) - \sin(\delta_1) \cdot \sin(\varphi_o)}{\cos(\delta_1) \cdot \cos(\varphi_o)} = \frac{\sin(h_{o1})}{\cos(\delta_1) \cdot \cos(\varphi_o)} - \tan(\delta_1) \cdot \tan(\varphi_o)</math>

Так как [[Арккосинус#Функция arccos|функция <math>\arccos(x)</math>]] всегда возвращает значения углов в диапазоне <math>0^\circ ... 180^\circ</math>, действительная величина местного часового угла, <math>t_{m1_{i}}</math>, определяется положением светила относительно меридиана наблюдателя: если оно западнее, то <math>t_{m1_{I}} = t_{1}</math>, если восточнее, то <math>t_{m1_{II}} = 360^\circ - t_{1}</math>.

В случае близости светила к меридиану наблюдателя — уверенно определить восточный у него азимут или западный бывает сложно, особенно для светил, расположенных около зенита. Для выбора действительного значения часового угла следует вычислить высоту ''второго'' светила, ожидаемую при обоих возможных значениях <math>t_{m1_{i}}</math>, и сравнить с наблюдённой величиной <math>h_{o2}</math>.

: <math>t_{m2_{I}} = \underbrace{(t_{m1_{I}} - t_{G1})}_{\lambda_{o_{I}}} + t_{G2}</math> — местный часовой угол ''второго'' светила при основном значении функции <math>\arccos(\cos(t_1))</math>

: <math>t_{m2_{II}} = \underbrace{(t_{m1_{II}} - t_{G1})}_{\lambda_{o_{II}}} + t_{G2}</math> — местный часовой угол ''второго'' светила при втором возможном значении входной величины

: <math>\sin(h_{c2_{I}}) = \sin(\varphi_o) \cdot \sin(\delta_2) + \cos(\varphi_o) \cdot \cos(\delta_2) \cdot \cos(t_{m2_{I}})</math> — вычисленная высота ''второго'' светила для места <math>(\varphi_o;\lambda_{o_{I}})</math>

: <math>\sin(h_{c2_{II}}) = \sin(\varphi_o) \cdot \sin(\delta_2) + \cos(\varphi_o) \cdot \cos(\delta_2) \cdot \cos(t_{m2_{II}})</math> — вычисленная высота ''второго'' светила для места <math>(\varphi_o;\lambda_{o_{II}})</math>

Вычисление долготы производится с тем значением часового угла, <math>t_{m1_{i}}</math>, ''первого'' светила, при котором вычисленная, <math>h_{c2_{i}}</math>, и наблюдённая, <math>h_{o2}</math>, высота ''второго'' светила согласуются.

* Долгота выбранного пересечения кругов равных высот, <math>\lambda_o</math>:

: <math>\lambda_o = t_{m1_{i}} - t_{G1}</math>

Географические координаты <math>\varphi_o</math> и <math>\lambda_o</math> местоположения наблюдателя на момент времени <math>UT_o</math> определены.

==== Решение неоднозначности ====
Если для обсервации были доступны только два светила, например, Солнце и Луна, и устранить неоднозначность выбора координат обсервацией третьего светила невозможно, а счислимое место неизвестно даже приблизительно, надлежит вычислить азимуты одного из светил для обоих пересечений и сравнить их с наблюдёнными значениями.

* Азимут светила, <math>A</math>:

: <math>\cos(A) = \frac{\sin(\delta) - \sin(h) \cdot \sin(\varphi_{i})}{\cos(h) \cdot \cos(\varphi_{i})} = \frac{\sin(\delta)}{\cos(h) \cdot \cos(\varphi_{i})} - \tan(h) \cdot \tan(\varphi_{i})</math>

Для выбора правильного значения широты (и, в дальнейшем, — долготы), достаточно иметь оценку азимута наблюдённого светила с допуском ±10°.

=== С помощью [[Редко используемые тригонометрические функции|гаверсинусов]] ===
Координаты точек пересечений, по тем же исходным данным, можно вычислить<ref>{{Cite web |url=http://fer3.com/arc/m2.aspx/All-Haversine-Fix-Bergman-sep-2018-g42693 |title=Lars Bergman, All-Haversine fix |access-date=2019-09-23 |archive-date=2019-09-23 |archive-url=https://web.archive.org/web/20190923145359/http://fer3.com/arc/m2.aspx/All-Haversine-Fix-Bergman-sep-2018-g42693 |deadlink=no }}</ref> с помощью единственной тригонометрической функции — [[Редко используемые тригонометрические функции|гаверсинус]] угла, <math>\operatorname{hav}(\theta)</math>. Для получения точности координат в одну [[Минута дуги#Картография|угловую минуту]] пригодна 4-значная таблица натуральных значений гаверсинусов<ref>[[Медиа:Natural-Haversine 4-place Table.pdf|4-значная таблица натуральных значений гаверсинусов, PDF, 51кБ]]</ref>, что позволяет произвести расчёты без применения [[Калькулятор|электронных калькуляторов]] или таблиц [[логарифм]]ов значений нескольких тригонометрических функций.

* Вспомогательные величины <math>F</math> и <math>G</math>:

: <math>F = \operatorname{hav}(\delta_2 - \delta_1)</math>

: <math>G = \operatorname{hav}(\delta_2 + \delta_1)</math>

* Угловое расстояние между светилами, <math>D_{12}</math>:

: <math>\operatorname{hav}(D_{12}) = F + ( 1 - F - G ) \cdot \operatorname{hav}(\Delta t)</math>

* Угол, [[Дополнительные углы|дополнительный]] к <math>D_{12}</math>:

: <math>D^* = 90^\circ - D_{12}</math>

* [[Горизонтальная система координат#Координаты|Зенитное расстояние]], <math>z_1</math>, первого светила; зенитное расстояние, <math>z_2</math>, и [[Экваториальная система координат#Первая экваториальная система координат|полярное расстояние]], <math>p_2</math>, второго светила:

: <math>z_1 = 90^\circ - h_{o1}</math>

: <math>z_2 = 90^\circ - h_{o2}</math>

: <math>p_2 = 90^\circ - \delta_2</math>

Полярное расстояние всегда отсчитывается от северного полюса мира.

* Вспомогательные величины <math>J</math>, <math>K</math>, <math>L</math>, <math>P</math>, <math>R</math> и <math>S</math>:

: <math>J = \operatorname{hav}(h_{o1} - D^*)</math>

: <math>K = \operatorname{hav}(h_{o1} + D^*)</math>

: <math>L = \operatorname{hav}(\delta_1 - D^*)</math>

: <math>P = \operatorname{hav}(\delta_1 + D^*)</math>

: <math>R = \operatorname{hav}(\delta_1 - h_{o1})</math>

: <math>S = \operatorname{hav}(\delta_1 + h_{o1})</math>

* Вспомогательный угол <math>\alpha</math>:

: <math>\operatorname{hav}(\alpha) = \frac{\operatorname{hav}(z_2) - J}{1 - K - J}</math>

* Вспомогательный угол <math>(\alpha + \beta)</math>:

: <math>\operatorname{hav}(\alpha + \beta) = \frac{\operatorname{hav}(p_2) - L}{1 - P - L}</math>

* Вспомогательный угол <math>\beta_I</math>, относящийся к первой точке пересечения кругов равной высоты:

: <math>\beta_I = (\alpha + \beta) - \alpha</math>

* Угол, дополнительный к широте, <math>\phi^{*}_{I}</math>, и широта первой точки пересечения, <math>\varphi_I</math>:

: <math>\operatorname{hav}(\phi^{*}_{I}) = R + ( 1 - R - S ) \cdot \operatorname{hav}(\beta_I)</math>

: <math>\varphi_I = 90^\circ - \phi^{*}_{I}</math>

Если полученное значение широты не согласуется с приближённой оценкой текущего местоположения наблюдателя, вычисляется широта второй точки пересечения кругов равной высоты:

: <math>\beta_{II} = (360^\circ - (\alpha + \beta)) - \alpha</math>

: <math>\operatorname{hav}(\phi^{*}_{II}) = R + ( 1 - R - S ) \cdot \operatorname{hav}(\beta_{II})</math>

: <math>\varphi_{II} = 90^\circ - \phi^{*}_{II}</math>

Дальнейшие вычисления производятся с выбранным значением <math>\varphi_o</math>.

* Вспомогательные величины <math>U</math> и <math>V</math>:

: <math>U = \operatorname{hav}(\delta_1 - \varphi_o)</math>

: <math>V = \operatorname{hav}(\delta_1 + \varphi_o)</math>

* Основное значение [[Экваториальная система координат#Первая экваториальная система координат|местного часового угла]], <math>t_1</math>, первого светила, для широты <math>\varphi_o</math>:

: <math>\operatorname{hav}(t_1) = \frac{\operatorname{hav}(z_1) - U}{1 - V - U}</math>

Так как функция <math>\operatorname{archav}(x)</math> всегда возвращает значения углов в диапазоне <math>0^\circ ... 180^\circ</math>, действительная величина местного часового угла, <math>t_{m1_{i}}</math>, определяется положением светила относительно меридиана наблюдателя: если оно западнее, то <math>t_{m1_{I}} = t_{1}</math>, если восточнее, то <math>t_{m1_{II}} = 360^\circ - t_{1}</math>.

В случае близости светила к меридиану наблюдателя — уверенно определить восточный у него азимут или западный бывает сложно, особенно для светил, расположенных около зенита. Для выбора значения часового угла следует вычислить высоту ''второго'' светила, ожидаемую при обоих возможных значениях, и сравнить с наблюдённой величиной <math>h_{o2}</math>.

: <math>t_{m2_{I}} = \underbrace{(t_{m1_{I}} - t_{G1})}_{\lambda_{o_{I}}} + t_{G2}</math> — местный часовой угол ''второго'' светила при основном значении функции <math>\operatorname{archav}(\operatorname{hav}(t_1))</math>

: <math>t_{m2_{II}} = \underbrace{(t_{m1_{II}} - t_{G1})}_{\lambda_{o_{II}}} + t_{G2}</math> — местный часовой угол ''второго'' светила при втором возможном значении входной величины

: <math>M = \operatorname{hav}(\delta_2 - \varphi_o)</math>

: <math>N = \operatorname{hav}(\delta_2 + \varphi_o)</math>

: <math>\operatorname{hav}(z_{c2_{I}}) = M + ( 1 - M - N) \cdot \operatorname{hav}(t_{m2_{I}})</math>

: <math>\operatorname{hav}(z_{c2_{II}}) = M + ( 1 - M - N) \cdot \operatorname{hav}(t_{m2_{II}})</math>

Дуга <math>z_{c2_{i}}</math> — зенитное расстояние ''второго'' светила, вычисленное для места <math>(\varphi_o;\lambda_{o_{i}})</math>.

: <math>h_{c2_{i}} = 90^\circ - z_{c2_{i}}</math> — вычисленная высота ''второго'' светила.

Вычисление долготы производится с тем значением часового угла, <math>t_{m1_{i}}</math>, ''первого'' светила, при котором вычисленная, <math>h_{c2_{i}}</math>, и наблюдённая, <math>h_{o2}</math>, высота ''второго'' светила согласуются.

* Долгота точки пересечения, <math>\lambda_o</math>:

: <math>\lambda_o = t_{m1_{i}} - t_{G1}</math>

Географические координаты <math>\varphi_o</math> и <math>\lambda_o</math> местоположения наблюдателя на момент времени <math>UT_o</math> определены.

==== Решение неоднозначности ====
Если для обсервации были доступны только два светила, например, Солнце и Луна, и устранить неоднозначность выбора координат обсервацией третьего светила невозможно, а счислимое место неизвестно даже приблизительно, надлежит вычислить азимуты одного из светил для обоих пересечений и сравнить их с наблюдёнными значениями.

* Угловое расстояние светила от повышенного полюса, <math>ePD</math>:

: <math>ePD=\begin{cases}
90^\circ - \vert \delta \vert & \quad \delta \text{ и } \varphi_{i} \text{ одноимённые (оба северного или оба южного полушария)}\\
90^\circ + \vert \delta \vert & \quad \delta \text{ и } \varphi_{i} \text{ разноимённые}
\end{cases}</math>

* Азимут светила, <math>A</math>:

: <math>\operatorname{hav}(A) = \frac{\operatorname{hav}(ePD) - \operatorname{hav}(\vert \varphi_{i} \vert - h)}{1 - \operatorname{hav}(\vert \varphi_{i} \vert - h) - \operatorname{hav}(\vert \varphi_{i} \vert + h)}</math>

Для выбора правильного значения широты (и, в дальнейшем, — долготы), достаточно иметь оценку азимута наблюдённого светила с допуском ±10°.

== Примечания ==
{{примечания}}

== Ссылки ==
* [https://www.celnav.de/astro.zip Henning Umland, A Short Guide to Celestial Navigation]
* [https://www.amazon.com/Celestial-Navigation-GPS-John-Karl-ebook/dp/B008PIHY5I John Karl, Celestial Navigation in the GPS Age]

== Литература ==
* Капитан 3 ранга А. Лусис, ''Определение места по звёздам усовершенствованным методом высотных изолиний'', «Морской сборник» 1988 № 12, стр.65

[[Категория:Навигация]]