Вычисление координат пересечений кругов равных высот светил

P — полюс мира, Z — зенит наблюдателя, Horizon — горизонт наблюдателя. σ₁ и σ₂ — светила, h₁, h₂ — их наблюдённые высоты, t_m1 и t_m2 — их местные часовые углы. Greenwich — гринвичский меридиан, t_G1 — гринвичский часовой угол первого светила. LoP₁ и LoP₂ — круги равных высот светил (или высотные линии положения, ВЛП). Точки Fix₁ и Fix₂ пересечений ВЛП — возможные местоположения наблюдателя согласно обсервации. Точка (φ_c;λ_c) — место согласно счислению.

Вычисление координат точек пересечения кругов равных высот светил — предложенный Гауссом аналитический метод определения географических координат местоположения наблюдателя по измеренным высотам двух светил и их склонениям и часовым углам, без графических построений на карте. Используется в астрономической навигации наряду с методом Сомнера и методом переносов (метод Сент-Илера). В случае невозможности определить время наблюдения метод позволяет, тем не менее, вычислить географическую широту местоположения наблюдателя.

В общем случае данный метод не требует знания счислимого места, $({\phi }_c;{\lambda }_c)$, так как обсервация третьего светила позволяет устранить неоднозначность определения места по первым двум. Если пронаблюдать третье светило невозможно, для решения неоднозначности рекомендуется измерить азимуты наблюдаемых светил, чтобы сравнить их с вычисленными для обеих точек пересечения. Приемлема точность взятия азимутов ±10°.

Исходные данные

Для некоторого момента времени $U{T}_o$ наблюдением получены высоты двух светил над горизонтом, $h_{o1}$ и $h_{o2}$ соответственно. Также, из альманаха, выяснены относящиеся к этому моменту их склонения, ${\delta }_1$ и ${\delta }_2$; и гринвичские часовые углы, $t_{G1}$ и $t_{G2}$. Северное склонение и восточная долгота считаются положительными величинами, южное склонение и западная долгота — отрицательными, в вычислениях соблюдать соглашение о знаках величин обязательно.

Если выбранными светилами являются звёзды, у которых величины склонений и прямых восхождений можно принять неизменными в течение суток, вместо гринвичских часовых углов допустимо использовать выраженные в угловой мере значения их прямых восхождений, $\alpha$, или звёздные дополнения, ${\tau }^{\star }$. В этом случае географическая широта местоположения наблюдателя вычисляется без знания точного момента времени наблюдения светил.

Ход вычислений

Рассмотрим параллактические треугольники $PZ{\sigma }_1$ и $PZ{\sigma }_2$, где $P_N$ — северный полюс мира, ${\sigma }_1$ и ${\sigma }_2$ — наблюдаемые светила, $Z$ — зенит наблюдателя. $z_1=90^{\circ }-h_{o1}$ и $z_2=90^{\circ }-h_{o2}$ — зенитные расстояния светил.

На первом этапе вычислений (определение широты) требуется величина часового угла между светилами, $\mathrm{\Delta }t$, которая в случае наблюдения планет, Солнца или Луны должна быть получена из их гринвичских часовых углов:

$\mathrm{\Delta }t=t_{G2}-t_{G1}$

При наблюдении звёзд эта величина может быть получена из значений их прямых восхождений:

$\mathrm{\Delta }t=15^{\left[\frac{\circ }{h}\right]}\cdot ({\alpha }_2^{[h]}-{\alpha }_1^{[h]})$

Из звёздных дополнений:

$\mathrm{\Delta }t=\underset{t_{G2}}{\underbrace{(t_G^{⋎}+{\tau }_2^{\star })}}-\underset{t_{G1}}{\underbrace{(t_G^{⋎}+{\tau }_1^{\star })}}={\tau }_2^{\star }-{\tau }_1^{\star }$

Действительные величины гринвичских часовых углов понадобятся на шаге вычисления долготы.

По теореме косинусов

• Угловое расстояние между светилами, $D_{12}$:

$\cos (D_{12})=\sin ({\delta }_1)\cdot \sin ({\delta }_2)+\cos ({\delta }_1)\cdot \cos ({\delta }_2)\cdot \cos (\mathrm{\Delta }t)$

• Постоянная часть параллактического угла, $q_1$, при первом светиле:

$\cos (q_1)=\frac{\sin ({\delta }_2)-\sin ({\delta }_1)\cdot \cos (D_{12})}{\cos ({\delta }_1)\cdot \sin (D_{12})}=\frac{\sin ({\delta }_2)}{\cos ({\delta }_1)\cdot \sin (D_{12})}-\frac{\tan ({\delta }_1)}{\tan (D_{12})}$

• Переменная часть параллактического угла, $\mathrm{\Delta }{q}_1$, от первого светила к наблюдателю:

$\cos (\mathrm{\Delta }{q}_1)=\frac{\sin (h_{o2})-\sin (h_{o1})\cdot \cos (D_{12})}{\cos (h_{o1})\cdot \sin (D_{12})}=\frac{\sin (h_{o2})}{\cos (h_{o1})\cdot \sin (D_{12})}-\frac{\tan (h_{o1})}{\tan (D_{12})}$

Наблюдатель может находиться в одной из двух точек, $Fi{x}_1$ или $Fi{x}_2$, расположенных симметрично относительно дуги $D_{12}$, действительное значение паралактического угла может быть суммой или разностью углов $q_1$ и $\mathrm{\Delta }{q}_1$.

• Широта первого пересечения, ${\phi }_{(q_1+\mathrm{\Delta }{q}_1)}$:

$\sin ({\phi }_{(q_1+\mathrm{\Delta }{q}_1)})=\sin ({\delta }_1)\cdot \sin (h_{o1})+\cos ({\delta }_1)\cdot \cos (h_{o1})\cdot \cos (q_1+\mathrm{\Delta }{q}_1)$

• Широта второго пересечения, ${\phi }_{(q_1-\mathrm{\Delta }{q}_1)}$:

$\sin ({\phi }_{(q_1-\mathrm{\Delta }{q}_1)})=\sin ({\delta }_1)\cdot \sin (h_{o1})+\cos ({\delta }_1)\cdot \cos (h_{o1})\cdot \cos (q_1-\mathrm{\Delta }{q}_1)$

На основании приблизительной оценки текущего местоположения наблюдателя производится выбор значения широты, ${\phi }_o$, ближайшего к ожидаемому. Дальнейшие вычисления производятся с ним.

Знак угла $\mathrm{\Delta }{q}_1$ можно определить и без попытки вычисления обоих значений широты. Достаточно свериться с видом треугольника $P{\sigma }_1{\sigma }_2$: если счислимое место и повышенный полюс мира находятся по одну сторону дуги $D_{12}$, величину $\mathrm{\Delta }{q}_1$ следует брать со знаком минус, если счислимое место и полюс мира находятся по разные стороны, — величину $\mathrm{\Delta }{q}_1$ следует брать со знаком плюс.

• Основное значение местного часового угла, $t_1$, первого светила для широты ${\phi }_o$:

$\cos (t_1)=\frac{\sin (h_{o1})-\sin ({\delta }_1)\cdot \sin ({\phi }_o)}{\cos ({\delta }_1)\cdot \cos ({\phi }_o)}=\frac{\sin (h_{o1})}{\cos ({\delta }_1)\cdot \cos ({\phi }_o)}-\tan ({\delta }_1)\cdot \tan ({\phi }_o)$

Так как функция $\arccos (x)$ всегда возвращает значения углов в диапазоне $0^{\circ }...180^{\circ }$, действительная величина местного часового угла, $t_{m{1}_i}$, определяется положением светила относительно меридиана наблюдателя: если оно западнее, то $t_{m{1}_I}=t_1$, если восточнее, то $t_{m{1}_{II}}=360^{\circ }-t_1$.

В случае близости светила к меридиану наблюдателя — уверенно определить восточный у него азимут или западный бывает сложно, особенно для светил, расположенных около зенита. Для выбора действительного значения часового угла следует вычислить высоту второго светила, ожидаемую при обоих возможных значениях $t_{m{1}_i}$, и сравнить с наблюдённой величиной $h_{o2}$.

$t_{m{2}_I}=\underset{{\lambda }_{o_I}}{\underbrace{(t_{m{1}_I}-t_{G1})}}+t_{G2}$ — местный часовой угол второго светила при основном значении функции $\arccos (\cos (t_1))$

$t_{m{2}_{II}}=\underset{{\lambda }_{o_{II}}}{\underbrace{(t_{m{1}_{II}}-t_{G1})}}+t_{G2}$ — местный часовой угол второго светила при втором возможном значении входной величины

$\sin (h_{c{2}_I})=\sin ({\phi }_o)\cdot \sin ({\delta }_2)+\cos ({\phi }_o)\cdot \cos ({\delta }_2)\cdot \cos (t_{m{2}_I})$ — вычисленная высота второго светила для места $({\phi }_o;{\lambda }_{o_I})$

$\sin (h_{c{2}_{II}})=\sin ({\phi }_o)\cdot \sin ({\delta }_2)+\cos ({\phi }_o)\cdot \cos ({\delta }_2)\cdot \cos (t_{m{2}_{II}})$ — вычисленная высота второго светила для места $({\phi }_o;{\lambda }_{o_{II}})$

Вычисление долготы производится с тем значением часового угла, $t_{m{1}_i}$, первого светила, при котором вычисленная, $h_{c{2}_i}$, и наблюдённая, $h_{o2}$, высота второго светила согласуются.

• Долгота выбранного пересечения кругов равных высот, ${\lambda }_o$:

${\lambda }_o=t_{m{1}_i}-t_{G1}$

Географические координаты ${\phi }_o$ и ${\lambda }_o$ местоположения наблюдателя на момент времени $U{T}_o$ определены.

Решение неоднозначности

Если для обсервации были доступны только два светила, например, Солнце и Луна, и устранить неоднозначность выбора координат обсервацией третьего светила невозможно, а счислимое место неизвестно даже приблизительно, надлежит вычислить азимуты одного из светил для обоих пересечений и сравнить их с наблюдёнными значениями.

• Азимут светила, $A$:

$\cos (A)=\frac{\sin (\delta )-\sin (h)\cdot \sin ({\phi }_i)}{\cos (h)\cdot \cos ({\phi }_i)}=\frac{\sin (\delta )}{\cos (h)\cdot \cos ({\phi }_i)}-\tan (h)\cdot \tan ({\phi }_i)$

Для выбора правильного значения широты (и, в дальнейшем, — долготы), достаточно иметь оценку азимута наблюдённого светила с допуском ±10°.

С помощью гаверсинусов

Координаты точек пересечений, по тем же исходным данным, можно вычислить с помощью единственной тригонометрической функции — гаверсинус угла, $\mathrm{hav}(\theta )$. Для получения точности координат в одну угловую минуту пригодна 4-значная таблица натуральных значений гаверсинусов, что позволяет произвести расчёты без применения электронных калькуляторов или таблиц логарифмов значений нескольких тригонометрических функций.

• Вспомогательные величины $F$ и $G$:

$F=\mathrm{hav}({\delta }_2-{\delta }_1)$

$G=\mathrm{hav}({\delta }_2+{\delta }_1)$

• Угловое расстояние между светилами, $D_{12}$:

$\mathrm{hav}(D_{12})=F+(1-F-G)\cdot \mathrm{hav}(\mathrm{\Delta }t)$

• Угол, дополнительный к $D_{12}$:

$D^{*}=90^{\circ }-D_{12}$

• Зенитное расстояние, $z_1$, первого светила; зенитное расстояние, $z_2$, и полярное расстояние, $p_2$, второго светила:

$z_1=90^{\circ }-h_{o1}$

$z_2=90^{\circ }-h_{o2}$

$p_2=90^{\circ }-{\delta }_2$

Полярное расстояние всегда отсчитывается от северного полюса мира.

• Вспомогательные величины $J$, $K$, $L$, $P$, $R$ и $S$:

$J=\mathrm{hav}(h_{o1}-D^{*})$

$K=\mathrm{hav}(h_{o1}+D^{*})$

$L=\mathrm{hav}({\delta }_1-D^{*})$

$P=\mathrm{hav}({\delta }_1+D^{*})$

$R=\mathrm{hav}({\delta }_1-h_{o1})$

$S=\mathrm{hav}({\delta }_1+h_{o1})$

• Вспомогательный угол $\alpha$:

$\mathrm{hav}(\alpha )=\frac{\mathrm{hav}(z_2)-J}{1-K-J}$

• Вспомогательный угол $(\alpha +\beta )$:

$\mathrm{hav}(\alpha +\beta )=\frac{\mathrm{hav}(p_2)-L}{1-P-L}$

• Вспомогательный угол ${\beta }_I$, относящийся к первой точке пересечения кругов равной высоты:

${\beta }_I=(\alpha +\beta )-\alpha$

• Угол, дополнительный к широте, ${\varphi }_I^{*}$, и широта первой точки пересечения, ${\phi }_I$:

$\mathrm{hav}({\varphi }_I^{*})=R+(1-R-S)\cdot \mathrm{hav}({\beta }_I)$

${\phi }_I=90^{\circ }-{\varphi }_I^{*}$

Если полученное значение широты не согласуется с приближённой оценкой текущего местоположения наблюдателя, вычисляется широта второй точки пересечения кругов равной высоты:

${\beta }_{II}=(360^{\circ }-(\alpha +\beta ))-\alpha$

$\mathrm{hav}({\varphi }_{II}^{*})=R+(1-R-S)\cdot \mathrm{hav}({\beta }_{II})$

${\phi }_{II}=90^{\circ }-{\varphi }_{II}^{*}$

Дальнейшие вычисления производятся с выбранным значением ${\phi }_o$.

• Вспомогательные величины $U$ и $V$:

$U=\mathrm{hav}({\delta }_1-{\phi }_o)$

$V=\mathrm{hav}({\delta }_1+{\phi }_o)$

• Основное значение местного часового угла, $t_1$, первого светила, для широты ${\phi }_o$:

$\mathrm{hav}(t_1)=\frac{\mathrm{hav}(z_1)-U}{1-V-U}$

Так как функция $\mathrm{archav}(x)$ всегда возвращает значения углов в диапазоне $0^{\circ }...180^{\circ }$, действительная величина местного часового угла, $t_{m{1}_i}$, определяется положением светила относительно меридиана наблюдателя: если оно западнее, то $t_{m{1}_I}=t_1$, если восточнее, то $t_{m{1}_{II}}=360^{\circ }-t_1$.

В случае близости светила к меридиану наблюдателя — уверенно определить восточный у него азимут или западный бывает сложно, особенно для светил, расположенных около зенита. Для выбора значения часового угла следует вычислить высоту второго светила, ожидаемую при обоих возможных значениях, и сравнить с наблюдённой величиной $h_{o2}$.

$t_{m{2}_I}=\underset{{\lambda }_{o_I}}{\underbrace{(t_{m{1}_I}-t_{G1})}}+t_{G2}$ — местный часовой угол второго светила при основном значении функции $\mathrm{archav}(\mathrm{hav}(t_1))$

$t_{m{2}_{II}}=\underset{{\lambda }_{o_{II}}}{\underbrace{(t_{m{1}_{II}}-t_{G1})}}+t_{G2}$ — местный часовой угол второго светила при втором возможном значении входной величины

$M=\mathrm{hav}({\delta }_2-{\phi }_o)$

$N=\mathrm{hav}({\delta }_2+{\phi }_o)$

$\mathrm{hav}(z_{c{2}_I})=M+(1-M-N)\cdot \mathrm{hav}(t_{m{2}_I})$

$\mathrm{hav}(z_{c{2}_{II}})=M+(1-M-N)\cdot \mathrm{hav}(t_{m{2}_{II}})$

Дуга $z_{c{2}_i}$ — зенитное расстояние второго светила, вычисленное для места $({\phi }_o;{\lambda }_{o_i})$.

$h_{c{2}_i}=90^{\circ }-z_{c{2}_i}$ — вычисленная высота второго светила.

Вычисление долготы производится с тем значением часового угла, $t_{m{1}_i}$, первого светила, при котором вычисленная, $h_{c{2}_i}$, и наблюдённая, $h_{o2}$, высота второго светила согласуются.

• Долгота точки пересечения, ${\lambda }_o$:

${\lambda }_o=t_{m{1}_i}-t_{G1}$

Географические координаты ${\phi }_o$ и ${\lambda }_o$ местоположения наблюдателя на момент времени $U{T}_o$ определены.

Решение неоднозначности

Если для обсервации были доступны только два светила, например, Солнце и Луна, и устранить неоднозначность выбора координат обсервацией третьего светила невозможно, а счислимое место неизвестно даже приблизительно, надлежит вычислить азимуты одного из светил для обоих пересечений и сравнить их с наблюдёнными значениями.

• Угловое расстояние светила от повышенного полюса, $ePD$:

$ePD=\{\begin{array}{cc}90^{\circ }-|\delta |& \delta \text{ и }{\phi }_i\text{ одноимённые (оба северного или оба южного полушария)}\\ 90^{\circ }+|\delta |& \delta \text{ и }{\phi }_i\text{ разноимённые}\end{array}$

• Азимут светила, $A$:

$\mathrm{hav}(A)=\frac{\mathrm{hav}(ePD)-\mathrm{hav}(|{\phi }_i|-h)}{1-\mathrm{hav}(|{\phi }_i|-h)-\mathrm{hav}(|{\phi }_i|+h)}$

Для выбора правильного значения широты (и, в дальнейшем, — долготы), достаточно иметь оценку азимута наблюдённого светила с допуском ±10°.

Ссылки

• Henning Umland, A Short Guide to Celestial Navigation
• John Karl, Celestial Navigation in the GPS Age

Литература

• Капитан 3 ранга А. Лусис, Определение места по звёздам усовершенствованным методом высотных изолиний, «Морской сборник» 1988 № 12, стр.65