Просмотр кода страницы Гиперсфера

[[Файл:Hypersphere coord.PNG|right|thumb|[[Стереографическая проекция]] трёх координатных направлений [[3-сфера|3-сферы]] на трёхмерное пространство:
'''[[Параллель|{{oncolor||red|параллелей}}]]''', '''[[Меридиан|{{oncolor||blue|меридианов}}]]''' и '''{{oncolor||green|гипермеридианов}}'''.<br>
В исходном пространстве эти линии являются окружностями и образуют прямоугольную сетку на [[3-сфера|3-сфере]]. Стереографическая проекция — [[конформное отображение]], поэтому их образы также являются окружностями или прямыми и ортогональны друг другу.]]
[[Файл:Hypersphere.png|thumb|Проекция трёхмерной проекции аппроксимации гиперсферы четырёхмерного пространства]]
'''Гиперсфе́ра''' (от {{lang-grc|ὑπερ-}} «[[гипер|сверх-]]» + {{lang-grc2|σφαῖρα}} «шар») — [[гиперповерхность]] в <math>n</math>-[[Размерность пространства|мерном]] [[Евклидово пространство|евклидовом пространстве]], образованная точками, равноудалёнными от заданной точки, называемой ''центром'' [[Сфера|сферы]].
* при <math>n = 1</math> гиперсфера вырождается в две точки, равноудалённые от ''центра'';
* при <math>n = 2</math> она представляет собой [[окружность]];
* при <math>n = 3</math> гиперсфера является [[Сфера (поверхность)|сферой]].
* при <math>n = 4</math> гиперсфера является [[3-сфера|3-сферой]].
* при <math>n = 5</math> гиперсфера является [[4-сфера|4-сферой]].
…
* при <math>n = 8</math> гиперсфера является [[7-сфера|7-сферой]]. 7-сфера примечательна тем, что эта размерность первая, в которой существуют [[экзотическая сфера|экзотические сферы]], то есть многообразия, гомеоморфные стандартной 7-сфере, но не диффеоморфные<ref>{{Cite web |url=https://oeis.org/A001676 |title=A001676 - OEIS |access-date=2022-12-01 |archive-date=2022-12-01 |archive-url=https://web.archive.org/web/20221201172601/https://oeis.org/A001676 |deadlink=no }}</ref>.
Расстояние от центра гиперсферы до её поверхности называется ''радиусом гиперсферы''.
Гиперсфера является <math>(n-1)</math>-мерным [[Многообразие|подмногообразием]] в <math>n</math>-[[Размерность пространства|мерном]] [[Евклидово пространство|пространстве]], все [[Нормаль|нормали]] к которому пересекаются в её центре.

== Уравнения ==
Гиперсфера радиуса <math>R</math> с центром в точке <math>a = \left\{a_1, a_2, \dots a_n\right\}</math> задаётся как [[геометрическое место точек]], удовлетворяющих условию:
: <math>(x_1 - a_1)^2 + (x_2 - a_2)^2 + \cdots + (x_n - a_n)^2 = R^2</math>

== Гиперсферические координаты ==
Как известно, полярные координаты описываются следующим образом:
: <math>x = \rho \cdot \cos \alpha</math>
: <math>y = \rho \cdot \sin \alpha</math>

а сферические координаты так:
: <math>x = \rho \cdot \cos \alpha \cdot \cos \beta</math>
: <math>y = \rho \cdot \sin \alpha \cdot \cos \beta</math>
: <math>z = \rho \cdot \sin \beta</math>

n-мерный шар можно параметризовать следующим набором ''гиперсферических координат'':
: <math>x_1 = \rho \cdot \cos \alpha_1 \cdot \cos \alpha_2 \cdot \ldots \cdot \cos \alpha_{n-1}</math>
: <math>x_2 = \rho \cdot \sin \alpha_1 \cdot \cos \alpha_2 \cdot \ldots \cdot \cos \alpha_{n-1}</math>
: <math>x_3 = \rho \cdot \sin \alpha_2 \cdot \cos \alpha_3 \cdot \ldots \cdot \cos \alpha_{n-1}</math>
: <math>\ldots</math>
: <math>x_n = \rho \cdot \sin \alpha_{n-1}</math>
где <math>\alpha_2,\alpha_3,\ldots,\alpha_{n-1}\in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]</math> и <math>\alpha_{1}\in[0,2\pi)</math>.

[[Якобиан]] этого преобразования равен
: <math>J = \rho^{n-1} \cos\,\alpha_2 \cdot \cos^2\,\alpha_3 \cdot \ldots \cdot \cos^{n-2}\,\alpha_{n-1}</math>

В другом варианте,
: <math>x_1 = \rho \cdot \sin \alpha_1 \cdot \sin \alpha_2 \cdot \ldots \cdot \sin \alpha_{n-1}</math>
: <math>x_2 = \rho \cdot \cos \alpha_1 \cdot \sin \alpha_2 \cdot \ldots \cdot \sin \alpha_{n-1}</math>
: <math>x_3 = \rho \cdot \cos \alpha_2 \cdot \sin \alpha_3 \cdot \ldots \cdot \sin \alpha_{n-1}</math>
: <math>\ldots</math>
: <math>x_n = \rho \cdot \cos \alpha_{n-1}</math>
где <math>\alpha_2,\alpha_3,\ldots,\alpha_{n-1}\in[0,\pi]</math> и <math>\alpha_{1}\in[0,2\pi)</math>.

Якобиан в такой форме равен
: <math>J = \rho^{n-1} \sin\,\alpha_2 \cdot \sin^2\,\alpha_3 \cdot \ldots \cdot \sin^{n-2}\,\alpha_{n-1}</math>

== Площадь и объём ==
[[Файл:Sphere area in n dimensions.svg|thumb|right|350px|[[Площадь поверхности]] гиперсферы в пространстве размерности x единичного радиуса в зависимости от x.]]
[[Файл:Ball volume in n dimensions.svg|thumb|right|350px|Объём гипершара размерности x единичного радиуса в зависимости от x.]]
В <math>n</math>-[[Размерность пространства|мерном]] [[Евклидово пространство|евклидовом пространстве]] для гиперсферы размерности <math>n</math> её площадь поверхности <math>S_n</math> и объём <math>V_n</math>, ограниченный ею ([[Объем n-мерного шара|объём n-мерного шара]]), можно рассчитать по формулам<ref>Виноградов И. М. Математическая энциклопедия. — {{М}}: Наука, 1977, — т. 5, с. 287, статья «Сфера» — формула объёма n-мерной сферы</ref><ref>Л. А. Максимов, А. В. Михеенков, И. Я. Полищук. Лекции по статистической физике. Долгопрудный, 2011. — с. 35, вывод формулы объёма n-мерной сферы через [[Гауссов интеграл|интеграл Эйлера-Пуассона-Гаусса]]</ref>:
: <math> S_n = n C_n R^{n-1} </math>
: <math> V_n = C_n R^n </math>

где
: <math>C_n = \frac{ \pi^{n/2} }{\displaystyle \Gamma\left({n\over 2}+1\right)}</math>

а <math>\Gamma(x)</math> — [[гамма-функция]]. Этому выражению можно придать другой вид:
: <math>C_{2k} = \frac{\pi^k}{k!}</math>
: <math>C_{2k+1} = \frac{2^{k+1}\pi^k}{(2k+1)!!}</math>

Здесь <math>n!!</math> — [[двойной факториал]].

Так как
: <math>V_n / S_{n-1} = R / n</math>
: <math>S_{n+1}/V_n = 2\pi R</math>

то объёмы шаров удовлетворяют рекуррентному соотношению
: <math>V_n = \frac{2\pi R^2}{n} V_{n-2}</math>

а площади их поверхностей соотносятся как
: <math>S_n = \frac{2\pi R^2}{n-1} S_{n-2}</math>

Следующая таблица показывает, что единичные сфера и шар принимают экстремальный объём для <math> S_{6} </math> и <math> V_{5} </math>, соответственно.

<center>
{| class="wikitable" style="text-align:center;"
|+ Площади и объёмы гиперсфер и гипершаров при единичном радиусе
!width="10%"| Размерность
!width="11%"| 1 (длина)
!width="11%"| 2 (площадь)
!width="11%"| 3 (объём)
!width="11%"| 4
!width="11%"| 5
!width="11%"| 6
!width="11%"| 7
!width="11%"| 8
|-
! Единичная
сфера (<math>S_{n}</math>)
| <math> 2 \pi </math> || <math> 4 \pi </math> || <math> 2 \pi^2 </math> || <math> \frac{8}{3} \pi^2 </math> || <math> \pi^3 </math> || <math> \frac{16}{15} \pi^3 </math> || <math> \frac{1}{3} \pi^4 </math> || <math> \frac{32}{105} \pi^4 </math>
|-
! Десятичная
запись
| 6.2832 || 12.5664 || 19.7392 || 26.3189 || 31.0063 || 33.0734 || 32.4697 || 29.6866
|-
! Единичный
шар (<math>V_{n}</math>)
| <math> 2 </math> || <math> \pi </math> || <math> \frac{4}{3} \pi </math> || <math> \frac{1}{2} \pi^2 </math> || <math> \frac{8}{15} \pi^2 </math> || <math> \frac{1}{6} \pi^3 </math> || <math> \frac{16}{105} \pi^3 </math> || <math> \frac{1}{24} \pi^4 </math>
|-
! Десятичная
запись
|2.0000 || 3.1416 || 4.1888 || 4.9348 || 5.2638 || 5.1677 || 4.7248 || 4.0587
|}
</center>
В строке «размерность» таблицы содержится размерность поверхности геометрической фигуры, а не размерность пространства, в котором она находится. Для <math> n </math>-мерного шара размерность его «объёма» также равна <math> n </math>, а размерность его «площади» — <math> n-1 </math>.

Отношение объёма <math> n </math>-мерного шара <math> V_n = C_n R^n </math> к объёму описанного вокруг него <math> n </math>-куба <math> 2^n R^n </math> быстро уменьшается с ростом <math> n </math>, быстрее, чем <math> 2^{-n} </math>.

== Топология гиперсферы ==
В этом разделе под сферой <math>S_n</math> будем понимать n-мерную гиперсферу, под шаром <math>B_n</math> — n-мерный [[Шар (метрическая геометрия)|гипершар]], то есть <math>S_n \hookrightarrow \R^{n+1}</math>, <math>B_n \hookrightarrow \R^n</math>.

* Сфера <math>S_n</math> [[Гомеоморфизм|гомеоморфна]] [[Фактормножество|факторизации]] шара <math>B_{n}</math> по его [[Граница (топология)|границе]].
* Шар <math>B_n</math> гомеоморфен факторизации <math>B_n \simeq (S_{n-1} \times [0,1]) / (S_{n-1} \times \{1\})</math>.
* Сфера является [[Клеточное пространство|клеточным пространством]]. Простейшее клеточное разбиение состоит из двух клеток, гомеоморфных <math>B_0 = \mathrm{pt}</math> и <math>B_n</math>. Оно получается напрямую из построения сферы как факторпространства замкнутого шара. Клеточное разбиение также можно построить по индукции, разбивая <math>S_n</math> вдоль экватора на две n-мерные клетки, гомеоморфные <math>B_n</math>, и сферу <math>S_{n-1}</math>, являющуюся их общей границей.

== Примечания ==
{{примечания}}

== См. также ==
* [[Сфера Милнора]]
* [[Дикая сфера]]
* [[Расслоение Хопфа]]

== Ссылки ==
* [http://www.damateur.narod.ru/pages/4_Models4D/5_ApproximationGiperSphere.htm Гиперсфера (проект d’Amateur). Программы моделирования аппроксимации четырёхмерной гиперсферы и меридианов] {{Wayback|url=http://www.damateur.narod.ru/pages/4_Models4D/5_ApproximationGiperSphere.htm |date=20080119213238 }}
* [http://www.superliminal.com/cube/cube.htm Тренажёр для развития воображения гиперсферы: кубик Рубика в 4 и более измерениях] {{Wayback|url=http://www.superliminal.com/cube/cube.htm |date=20180125050304 }}

{{Размерность}}
{{Топология|state=collapsed}}

[[Категория:Многообразия]]
[[Категория:Евклидова геометрия]]
[[Категория:Многомерная евклидова геометрия]]