Просмотр кода страницы Гипотеза Артина

В [[Теория чисел|теории чисел]] '''гипотеза Артина''' — это [[гипотеза]] о существовании и количественной оценке [[простое число|простых чисел]], по модулю которых заданное [[целое число]] является [[Первообразный корень (теория чисел)|первообразным корнем]]. Гипотеза была высказана [[Артин, Эмиль|Эмилем Артином]] [[Хассе, Хельмут|Хельмуту Хассе]] 27 сентября 1927 года, согласно дневнику последнего.

== Формулировка ==

{{рамка}}
Для любого целого числа ''a'', не являющегося [[точный квадрат|точным квадратом]] и отличного от −1, существует бесконечно много [[простое число|простых чисел]], по модулю которых ''a'' является [[Первообразный корень (теория чисел)|первообразным корнем]]. Более того, для количества <math>N_a(x)</math> таких простых чисел, не превышающих ''x'', справедлива [[асимптотика]]
: <math>N_a(x) \sim A(a) \frac{x}{\ln x}</math> при <math>x \to \infty,</math>
где <math>A(a)</math> — константа, зависящая только от ''a''.
{{конец рамки}}

В настоящий момент неизвестно даже, верна ли гипотеза для конкретного числа ''a'' = 2.

== Пример ==

Число 2 является первообразным корнем, в частности, по модулю 3 и по модулю 5, но не по модулю 7. Последовательность простых чисел, по модулю которых 2 является первообразным корнем, начинается так:
: 3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 83, 101, … ({{OEIS|A001122}})
На данный момент остаётся открытым вопрос о бесконечности этой последовательности. Гипотеза Артина предполагает утвердительный ответ на этот вопрос.

== См. также ==

* [[Малая теорема Ферма]]
* [[Открытые проблемы в теории чисел]]
* [[Открытые математические проблемы]]

== Ссылки ==
* {{статья |автор=Сендеров В., Спивак А. |заглавие=Малая теорема Ферма |издание=[[Квант (журнал)|Квант]] |номер=4 |год=2000 |страницы=15—18 |ссылка=http://kvant.mccme.ru/pdf/2000/04/kv0400ferm.pdf}}
* {{статья |заглавие=Artin's conjecture for primitive roots |издание=Mathematical Intelligencer |том=10 |страницы=59—67 |doi=10.1007/BF03023749 |ссылка=http://www.mast.queensu.ca/~murty/mi.dvi |язык=und |автор=M. Ram Murty |год=1988}}
* {{книга|автор=К. Хооли|заглавие=Применение методов решета в теории чисел|издательство=Наука|год=1987}}

{{Math-stub}}

{{Гипотезы о простых числах}}
[[Категория:Теория чисел]]
[[Категория:Гипотезы о простых числах|Артина]]
[[Категория:Аналитическая теория чисел]]