Гипотеза Артина

В теории чисел гипотеза Артина — это гипотеза о существовании и количественной оценке простых чисел, по модулю которых заданное целое число является первообразным корнем. Гипотеза была высказана Эмилем Артином Хельмуту Хассе 27 сентября 1927 года, согласно дневнику последнего.

Формулировка

Шаблон:Рамка Для любого целого числа a, не являющегося точным квадратом и отличного от −1, существует бесконечно много простых чисел, по модулю которых a является первообразным корнем. Более того, для количества $N_a(x)$ таких простых чисел, не превышающих x, справедлива асимптотика

$N_a(x)\sim A(a)\frac{x}{\ln x}$ при $x\to \mathrm{\infty },$

где $A(a)$ — константа, зависящая только от a. Шаблон:Конец рамки

В настоящий момент неизвестно даже, верна ли гипотеза для конкретного числа a = 2.

Пример

Число 2 является первообразным корнем, в частности, по модулю 3 и по модулю 5, но не по модулю 7. Последовательность простых чисел, по модулю которых 2 является первообразным корнем, начинается так:

3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 83, 101, … (Шаблон:OEIS)

На данный момент остаётся открытым вопрос о бесконечности этой последовательности. Гипотеза Артина предполагает утвердительный ответ на этот вопрос.

См. также

• Малая теорема Ферма
• Открытые проблемы в теории чисел
• Открытые математические проблемы

Ссылки

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга