Просмотр кода страницы Гипотеза Мертенса

[[Файл:Congettura Mertens.png|мини|Вычислив значения [[Функция Мертенса|функции Мертенса]] <math>M(n)</math>  (на графике внутри) и квадратные корни <math>\pm \sqrt{n}</math> (на графике снаружи) для <math>n \leqslant 10000</math> Мертенс предположил, что абсолютное значение <math>M(n)</math> всегда ограничено <math>\sqrt{n}</math>]]

'''Гипотеза Ме́ртенса''' — отвергнутая [[Гипотеза (математика)|математическая гипотеза]], согласно которой [[функция Мертенса]] <math>M(n)</math> ограничена <math>\pm\sqrt{n}</math>. Выдвинута [[Стилтьес, Томас Иоаннес|Стилтьесом]] в [[1885 год в науке|1885 году]] в письме [[Эрмит, Шарль|Эрмиту]]{{sfn|Stieltjes|1905}}, независимо предложена {{iw|Мертенс, Франц|Францем Мертенсом|en|Franz Mertens}} в [[1897 год в науке|1897 году]]. Особый интерес к гипотезе был связан с тем, что из её выполнения следует верность [[Гипотеза Римана|гипотезы Римана]]{{Переход|#Связь с гипотезой Римана}}.

Несмотря на большое количество интуитивных подтверждений и вычислительных предпосылок, гипотеза была опровергнута в [[1985 год в науке|1985 году]] {{iw|Одлыжко, Анджей|Анджеем Одлыжко|en|Andrew Odlyzko}} и {{iw|те Риле, Герман|Германом те Риле|en|Herman te Riele}}.

== История ==
Стилтьес утверждал в 1885 году, что доказал более слабое утверждение: <math>m(n) := M(n)/\sqrt{n}</math> [[Ограниченная функция|ограничена]], но не опубликовал доказательство<ref>{{cite book |editor1-last=Borwein |editor1-first=Peter |editor1-link=Peter Borwein |editor2-last=Choi |editor2-first=Stephen |editor3-last=Rooney |editor3-first=Brendan |editor4-last=Weirathmueller |editor4-first=Andrea |title=The Riemann hypothesis. A resource for the aficionado and virtuoso alike |series=CMS Books in Mathematics |location=New York, NY | publisher=[[Springer-Verlag]] |year=2007 |isbn=978-0-387-72125-5 |zbl=1132.11047 |page=69}}</ref>. (В терминах <math>m(n)</math> предположение Мертенса означало, что <math> -1 < m(n) < 1 </math>.)

Одлыжко и те Риле для доказательства ложности гипотезы в 1983 году использовали [[алгоритм Ленстры — Ленстры — Ловаса]]<ref name= disproof>{{Citation | last1=Odlyzko | first1=A. M. | last2=te Riele | first2=H. J. J. | title=Disproof of the Mertens conjecture | url=http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/doc/arch/mertens.disproof.pdf | doi=10.1515/crll.1985.357.138 | mr=783538 | year=1985 | journal=[[Journal für die reine und angewandte Mathematik]] | volume=1985 | issue=357 | pages=138–160 | zbl=0544.10047 | s2cid=13016831 | issn=0075-4102 | access-date=2023-04-02 | archive-date=2015-09-12 | archive-url=https://web.archive.org/web/20150912022420/http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/doc/arch/mertens.disproof.pdf | url-status=live }}</ref><ref name=HBI1889>Sandor et al (2006) pp. 188—189</ref>, получив:
: <math>\liminf m(n) < -1{,}009 </math> и <math> \limsup m(n) > 1{,}06</math>.
Позже было доказано, что первый [[контрпример]] встречается до <math>e^{3{,}21\times10^{64}} \approx 10^{1{,}39\times10^{64}}</math><ref>{{cite journal | last1 = Pintz | first1 = J. | year = 1987 | title = An effective disproof of the Mertens conjecture | url = http://www.numdam.org/article/AST_1987__147-148__325_0.pdf | journal = [[Astérisque]] | volume = 147–148 | pages = 325–333 | zbl = 0623.10031 | access-date = 2023-04-02 | archive-date = 2021-04-15 | archive-url = https://web.archive.org/web/20210415180539/http://www.numdam.org/article/AST_1987__147-148__325_0.pdf | url-status = live }}</ref>, но после 10<sup>16</sup><ref name=H16>{{cite arXiv |last=Hurst |first=Greg |date=2016 |title=Computations of the Mertens function and improved bounds on the Mertens conjecture |eprint=1610.08551 |class=math.NT}}</ref>. С тех пор верхняя граница была понижена до <math>e^{1{,}59\times10^{40}}</math><ref>Kotnik and Te Riele (2006)</ref> или приблизительно <math>10^{6{,}91\times10^{39}}</math>, при этом точный контрпример по состоянию {{на|2023}} неизвестен.

[[Закон повторного логарифма]] утверждает, что если функцию Мёбиуса <math>\mu</math> в определении функции Мертенса заменить случайной последовательностью из +1 и −1, тогда порядок роста частичных сумм первых <math>\mu</math> чисел (с вероятностью 1) составляет около <math>\sqrt{n \log \log n}</math>, из чего можно полагать порядок роста <math>m(n)</math> приблизительно равным <math>\sqrt{\log \log n}</math>. Истинный порядок роста может быть несколько меньше: в начале 1990-х годов предположено<ref name=NGonMertens />, что порядок роста <math>m(n)</math> равен <math>(\log\log\log n)^{5/4}</math>, что нашло в 2004 году также эвристические подтверждения (основанные на выполнении гипотезы Римана и некоторых предположениях об усреднённом поведении нулей <math>\zeta</math>-функции Римана)<ref name=NGonMertens>{{cite web |url=http://www.cs.uleth.ca/~nathanng/RESEARCH/mobius2b.pdf |title=The distribution of the summatory function of the Möbius function |first=Nathan |last=Ng |year=2004 |access-date=2023-04-02 |archive-date=2017-09-21 |archive-url=https://web.archive.org/web/20170921122430/http://www.cs.uleth.ca/~nathanng/RESEARCH/mobius2b.pdf |deadlink=no }}</ref>.

В 1979 году<ref>Cohen, H. and Dress, F. 1979. «Calcul numérique de Mx)» 11-13. [Cohen et Dress 1979], Rapport, de I’ATP A12311 Informatique 1975</ref> найдено наибольшее известное значение <math>m(n) \approx 0{,}570591</math> для <math>M(7766842813) =  50286</math>, а в 2011 году вычислено наибольшее известное отрицательное значение <math>m(n) \approx -0{,}585768</math> для <math>M(11609864264058592345) = -1995900927</math><ref>{{cite arXiv |last=Kuznetsov |first=Eugene |date=2011 |title=Computing the Mertens function on a GPU |eprint=1108.0135 |class=math.NT}}</ref>. В 2016 году вычислены <math>M(n)</math> для каждого <math>n \leqslant 10^{16}</math>, но бо́льшие значения <math>m(n)</math> не найдены<ref name=H16></ref>.

В 2006 году улучшена верхняя граница и показано, что существует бесконечно много значений <math>n</math>, для которых <math>m(n)> 1{,}2184</math>, но без нахождения особых значений для таких <math>n</math><ref>Kotnik & te Riele (2006).</ref>. В 2016 году установлено, что:
: <math>\liminf m(n) < -1{,}837625 </math> и <math> \limsup m(n) > 1{,}826054</math>.

== Связь с гипотезой Римана ==
Связь с гипотезой Римана основана на [[Ряд Дирихле|рядах Дирихле]] для функции, обратной [[Дзета-функция Римана|римановой дзета-функции]]:
: <math>\frac{1}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n^s}</math>
в области <math>\mathcal{Re}(s) > 1</math>. Ряд может быть переписан как [[интеграл Стилтьеса]]:
: <math>\frac{1}{\zeta(s)} = \int_0^\infty x^{-s} dM(x)</math>,
что после интегрирования по частям даёт функцию, обратную дзета-функции — [[преобразование Меллина]]:

: <math>\frac{1}{s \zeta(s)} = \left\{ \mathcal{M} M \right\}(-s)
= \int_0^\infty x^{-s} M(x)\, \frac{dx}{x}</math>.

Используя {{iw|Теорема обратного преобразования Меллина|теорему обратного преобразования Меллина|en|Mellin inversion theorem}}, <math>M</math> выражается через <math>\tfrac{1}{\zeta}</math> как:
: <math>M(x) = \frac{1}{2 \pi i} \int_{\sigma-i\infty}^{\sigma+i\infty} \frac{x^s}{s \zeta(s)}\,ds</math>,

что верно для <math>1 < \sigma < 2</math>, и верно для <math>\tfrac{1}{2} < \sigma < 2</math> согласно гипотезе Римана.
Из этого следует, что интеграл в преобразовании Меллина должен быть сходящимся, и потому функция
<math>M(x)</math> должна иметь порядок роста <math>O(x^e)</math> для каждой степени экспоненты <math>e</math>, большей, чем <math>\tfrac{1}{2}</math>. Таким образом:
: <math>M(x) = O\Big(x^{\tfrac{1}{2} + \epsilon}\Big)</math>

для всех положительных <math>\epsilon</math> эквивалентно гипотезе Римана, что следовало бы из более сильной гипотезы Мертенса, а из гипотезы Стилтьеса следует, что:
: <math>M(x) = O\Big(x^\tfrac{1}{2}\Big)</math>.

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{cite conference |title=The Mertens Conjecture Revisited | first1=Tadej | last1=Kotnik | first2=Herman | last2=te Riele | year= 2006 | series=Lecture Notes in Computer Science | volume=4076 | publisher=[[Springer-Verlag]] | book-title=Algorithmic number theory. 7th international symposium, ANTS-VII, Berlin, Germany, July 23--28, 2006. Proceedings | editor1-last=Hess | editor1-first=Florian | pages=156–167 | location=Berlin | doi=10.1007/11792086_12 | zbl=1143.11345 | isbn=3-540-36075-1 }}
* {{cite journal | last1 = Kotnik | first1 = T. | last2 = van de Lune | first2 = J. | year = 2004 | title = On the order of the Mertens function | url = http://www.expmath.org/expmath/volumes/13/13.4/Kotnik.pdf | journal = Experimental Mathematics | volume = 13 | issue = 4 | pages = 473–481 | doi = 10.1080/10586458.2004.10504556 | s2cid = 2093469 | url-status = dead | archive-url = https://web.archive.org/web/20070403143340/http://expmath.org/expmath/volumes/13/13.4/Kotnik.pdf | archive-date = 2007-04-03 }}
* {{citation | last1 = Mertens | first1 = F. | year = 1897 | title = Über eine zahlentheoretische Funktion | journal = Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, Mathematisch-Naturwissenschaftliche Klasse, Abteilung 2a | volume = 106 | pages = 761–830 }}
* {{Citation | last1=Odlyzko | first1=A. M. | last2=te Riele | first2=H. J. J. | title=Disproof of the Mertens conjecture | url=http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/doc/arch/mertens.disproof.pdf | doi=10.1515/crll.1985.357.138 |mr=783538 | year=1985 | journal=[[Journal für die reine und angewandte Mathematik]] | volume=1985 | issue=357 | pages=138–160 | zbl=0544.10047 | s2cid=13016831 | issn=0075-4102 }}
* {{cite journal | last1 = Pintz | first1 = J. | year = 1987 | title = An effective disproof of the Mertens conjecture | url = http://www.numdam.org/article/AST_1987__147-148__325_0.pdf | journal = [[Astérisque]] | volume = 147–148 | pages = 325–333 | zbl=0623.10031 }}
* {{citation | editor1-last=Sándor | editor1-first=József | editor2-last=Mitrinović | editor2-first=Dragoslav S. | editor3-last=Crstici |editor3-first=Borislav | title=Handbook of number theory I  | location=Dordrecht | publisher=[[Springer-Verlag]] | year=2006 | isbn=1-4020-4215-9 | zbl=1151.11300 | pages=187–189 }}
* {{citation|first= T. J.|last= Stieltjes|chapter= Lettre a Hermite de 11 juillet 1885, Lettre #79|pages= 160–164 |editor-first=B.|editor-last= Baillaud
|editor2-first= H.|editor2-last= Bourget|title=Correspondance d'Hermite et Stieltjes|place= Paris|publisher= Gauthier—Villars|year= 1905}}

* {{mathworld|urlname=MertensConjecture|title=Mertens conjecture}}

== Ссылки ==
* {{cite web |title=A Prime Surprise (Mertens Conjecture) |work=Numberphile |date=2020-01-23  |url=https://www.youtube.com/watch?v=uvMGZb0Suyc  |archive-url=https://ghostarchive.org/varchive/youtube/20211221/uvMGZb0Suyc |archive-date=2021-12-21 |url-status=live}}{{cbignore}}

[[Категория:Аналитическая теория чисел]]
[[Категория:Опровергнутые математические гипотезы]]