Просмотр кода страницы Гипотеза Фирузбахт

[[Файл:Wikipedia primegaps.png|thumb|294px|Функция промежутков между простыми числами]]
'''Гипо́теза Фиру́збахт'''{{sfn|Ribenboim|2004|с=185}}{{sfn|Rivera|2012}} — недоказанная [[Гипотеза (математика)|математическая гипотеза]] о распределении [[Простое число|простых чисел]]. Гипотеза носит имя иранского математика Фа́риде Фиру́збахт (1962—2019) из университета в Исфахане, которая высказала её в 1982 году.

== Утверждение гипотезы ==
Гипотеза утверждает, что <math>p_n^{1/n}</math> (где <math>p_n</math> — {{math|''n''}}-е простое число) является строго убывающей функцией от {{math|''n''}}, то есть

: <math>\sqrt[n+1]{p_{n+1}} < \sqrt[n]{p_n}</math> для всех <math>n \geqslant 1.</math>

Эквивалентно:

: <math>p_{n+1} < p_n^{1+\frac{1}{n}}</math> для всех <math>n \geqslant 1,</math>

см. последовательности {{OEIS2C|id=A182134}}, {{OEIS2C|id=A246782}}.

== Подтверждение гипотезы ==
Используя таблицу [[Интервалы между простыми числами#Численные результаты|максимальных интервалов]], Фариде Фирузбахт проверила свою гипотезу до 4,444{{e|12}}{{sfn|Rivera|2012}}. С расширенной таблицей максимальных промежутков гипотеза была проверена для всех простых чисел до <math>10^{19}</math><ref>{{Cite web |url=http://www.ieeta.pt/~tos/gaps.html |title=Gaps between consecutive primes |lang=en |access-date=2018-03-25 |archive-date=2012-09-10 |archive-url=https://web.archive.org/web/20120910134123/http://www.ieeta.pt/~tos/gaps.html |deadlink=no }}</ref>{{sfn|Kourbatov|2018}}.

== Связь с другими гипотезами ==
Если гипотеза верна, то функция [[Интервалы между простыми числами|интервалов между простыми числами]] <math>g_n = p_{n+1} - p_n </math> должна удовлетворять неравенству{{sfn|Sinha|2010|с=1–10}}

: <math>g_n < (\log p_n)^2 - \log p_n</math> для всех <math>n > 4.</math>

Более того{{sfn|Kourbatov|2015}},

: <math>g_n < (\log p_n)^2 - \log p_n - 1</math> для всех <math>n > 9,</math>

см. также последовательность {{OEIS2C|id=A111943}}. Гипотеза находится среди наиболее сильных гипотез о верхних границах для интервалов между простыми числами, она даже несколько сильнее ''гипотез'' ''[[Гипотеза Крамера|Крамера]]'' и ''[[Гипотеза Крамера#Гипотеза Крамера — Грэнвилля|Шенкса]]''{{sfn|Kourbatov|2018}}. Из гипотезы вытекает сильная форма [[Гипотеза Крамера|гипотезы Крамера]], а потому она несовместима с эвристикой Гранвилла, Пинтца{{sfn|Granville|1995|с=12–28}}{{sfn|Granville|1995|с=388–399}}{{sfn|Pintz|2007|с=232–471}} и Майера{{sfn|Adleman, McCurley|1994|с=291–322}}{{sfn|Maier|1985|с=221–225}}, в которой предполагается, что

: <math>g_n > \frac{2 - \varepsilon}{e^\gamma}(\log p_n)^2</math>

встречается бесконечно много раз для любого <math>\varepsilon > 0,</math> где <math>\gamma</math> означает [[Постоянная Эйлера — Маскерони|константу Эйлера — Маскерони]].

Две связанные гипотезы (см. комментарии к последовательности {{OEIS2C|id=A182514}})

: <math>\left(\frac{\log p_{n+1}}{\log p_n}\right)^n < e,</math>

которая несколько слабее, и

: <math>\left(\frac{p_{n+1}}{p_n}\right)^n < n \log n</math> для всех <math>n > 5,</math>

которая сильнее.

== См. также ==
* [[Теорема о распределении простых чисел]]

== Ссылки ==
* {{книга
|автор=Riesel H. 
|заглавие=Prime Numbers and Computer Methods for Factorization, Second Edition
|издательство={{Нп3|Birkhäuser|Birkhauser|en|Birkhäuser}}
|год=1985
|isbn=3-7643-3291-3
|язык=en
|ref=Riesel
}}

== Литература ==
{{refbegin|colwidth=30em}}
* {{книга
|автор=Ribenboim P. 
|заглавие=The Little Book of Bigger Primes
|ссылка=https://archive.org/details/littlebookofbigg0000ribe
|язык=en
|publisher=Springer-Verlag
|год=2004
|издание=Second Edition
|isbn=0-387-20169-6
|страницы=185
|ref=Ribenboim
}}
* {{статья
|автор=Rivera C. 
|заглавие=Conjecture 30. The Firoozbakht Conjecture
|язык=en
|ссылка=http://www.primepuzzles.net/conjectures/conj_030.htm
|год=2012
|accessdate=2012-08-22
|ref=Rivera
}}
* {{статья
|автор=Granville A.
|заглавие=Harald Cramér and the distribution of prime numbers
|язык=en
|издание=Scandinavian Actuarial Journal
|том=1
|год=1995
|страницы=12–28
|ссылка=http://www.dartmouth.edu/~chance/chance_news/for_chance_news/Riemann/cramer.pdf
|ref=Granville
}}
* {{статья
|автор=Granville A. 
|заглавие=Unexpected irregularities in the distribution of prime numbers
|язык=en
|издание=Proceedings of the International Congress of Mathematicians
|том=1
|год=1995
|ссылка=http://www.dms.umontreal.ca/~andrew/PDF/icm.pdf
|ref=Granville
}}
* {{статья
|автор=Pintz J. 
|заглавие=Cramér vs. Cramér: On Cramér's probabilistic model for primes
|язык=en
|издание=Funct. Approx. Comment. Math.
|том=37
|выпуск=2
|год=2007
|ссылка=http://projecteuclid.org/euclid.facm/1229619660
|ref=Pintz
}}
* {{книга
|автор=[[Адлеман, Леонард Макс|Leonard Adleman]], Kevin McCurley
|заглавие=Open Problems in Number Theoretic Complexity, II. Algorithmic number theory (Ithaca, NY, 1994)
|язык=en
|серия=Lecture Notes in Comput. Sci.
|год=1994
|том=877
|страницы=291–322
|издательство=Springer
|место=Berlin
|ref=Adleman, McCurley
}}
* {{статья
|автор=Maier H. 
|заглавие=Primes in short intervals
|издание=The Michigan Mathematical Journal
|год=1985
|том=32
|выпуск=2
|страницы=221–225
|язык=en
|ссылка=http://projecteuclid.org/euclid.mmj/1029003189
|doi=10.1307/mmj/1029003189
|mr=783576
|zbl=0569.10023
|issn=0026-2285
|ref=Maier
}}
* {{cite web|author=Kourbatov A.|title=Prime Gaps: Firoozbakht Conjecture|subtitle=|url=http://www.javascripter.net/math/primes/firoozbakhtconjecture.htm|website= JavaScripter.net|date=2018|quote=|ref=Kourbatov|access-date=|lang=en}}
* {{e-print|arxiv| авторы = Nilotpal Kanti Sinha |заглавие = On a new property of primes that leads to a generalization of Cramer's conjecture |идентификатор = 1010.1399 |страницы=1–10 |ref=Sinha}}
* {{статья
|автор=Kourbatov A.
|заглавие=Upper bounds for prime gaps related to Firoozbakht’s conjecture
|язык=en
|издание=Journal of Integer Sequences
|arxiv=1506.03042
|год=2015
|volume=18
|issue=Article 15.11.2
|ссылка=http://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL18/Kourbatov/kourb7.html
|ref=Kourbatov
}}
{{refend}}

== Примечания ==
{{примечания|30em}}

{{Гипотезы о простых числах}}
{{Классы простых чисел}}
[[Категория:Гипотезы о простых числах|Фирузбахт]]
{{rq|checktranslate|style}}