Гипотеза Фирузбахт

Функция промежутков между простыми числами

Гипо́теза Фиру́збахтШаблон:SfnШаблон:Sfn — недоказанная математическая гипотеза о распределении простых чисел. Гипотеза носит имя иранского математика Фа́риде Фиру́збахт (1962—2019) из университета в Исфахане, которая высказала её в 1982 году.

Утверждение гипотезы

Гипотеза утверждает, что $p_n^{1/n}$ (где $p_n$ — Шаблон:Math-е простое число) является строго убывающей функцией от Шаблон:Math, то есть

$\sqrt[n+1]{p_{n+1}}<\sqrt[n]{p_n}$ для всех $n⩾1.$

Эквивалентно:

$p_{n+1}<p_n^{1+\frac{1}{n}}$ для всех $n⩾1,$

см. последовательности Шаблон:OEIS2C, Шаблон:OEIS2C.

Подтверждение гипотезы

Используя таблицу максимальных интервалов, Фариде Фирузбахт проверила свою гипотезу до 4,444Шаблон:EШаблон:Sfn. С расширенной таблицей максимальных промежутков гипотеза была проверена для всех простых чисел до $10^{19}$Шаблон:Sfn.

Связь с другими гипотезами

Если гипотеза верна, то функция интервалов между простыми числами $g_n=p_{n+1}-p_n$ должна удовлетворять неравенствуШаблон:Sfn

$g_n<(\log p_n{)}^2-\log p_n$ для всех $n>4.$

Более тогоШаблон:Sfn,

$g_n<(\log p_n{)}^2-\log p_n-1$ для всех $n>9,$

см. также последовательность Шаблон:OEIS2C. Гипотеза находится среди наиболее сильных гипотез о верхних границах для интервалов между простыми числами, она даже несколько сильнее гипотез Крамера и ШенксаШаблон:Sfn. Из гипотезы вытекает сильная форма гипотезы Крамера, а потому она несовместима с эвристикой Гранвилла, ПинтцаШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn и МайераШаблон:SfnШаблон:Sfn, в которой предполагается, что

$g_n>\frac{2-\epsilon }{e^{\gamma }}(\log p_n{)}^2$

встречается бесконечно много раз для любого $\epsilon >0,$ где $\gamma$ означает константу Эйлера — Маскерони.

Две связанные гипотезы (см. комментарии к последовательности Шаблон:OEIS2C)

${\left(\frac{\log p_{n+1}}{\log p_n}\right)}^n<e,$

которая несколько слабее, и

${\left(\frac{p_{n+1}}{p_n}\right)}^n<n\log n$ для всех $n>5,$

которая сильнее.

См. также

• Теорема о распределении простых чисел

Ссылки

• Шаблон:Книга

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Cite web
• Шаблон:E-print
• Шаблон:Статья