Просмотр кода страницы Градиент

{{эта статья|о векторе|Градиент (компьютерная графика)|о способе заливки}}
[[Файл:Градиент холма.gif|thumb|400px|Оператор градиента преобразует холм (слева), если смотреть на него сверху, в поле векторов (справа). Видно, что векторы направлены «в горку» и чем они длиннее, тем круче наклон]]
'''Градие́нт''' (от {{lang-la|gradiens}} — «шагающий, растущий»)  — [[Вектор (математика)|вектор]], своим [[Вектор (геометрия)|направлением]] указывающий направление наискорейшего роста некоторой [[Скалярная величина|скалярной величины]] <math>\varphi</math> (значение которой меняется от одной точки пространства к другой, образуя [[скалярное поле]]). Этот вектор ортогонален [[Изоповерхность|изоповерхности]] <math>\varphi =</math> const. 

Градиент поля <math>\varphi</math> обозначается: <math>\mathrm{grad}\ \varphi</math>. По величине (модулю) градиент равен скорости роста величины <math>\varphi</math> в направлении вектора<ref>{{книга |часть=Градиент |страницы=332 |заглавие=Советский энциклопедический словарь |издание=2-е изд. |место=М. |издательство=Советская энциклопедия |год=1982 |страниц=1600}}</ref>{{sfn |Математическая энциклопедия|1977}}. Например, если взять в качестве <math>\varphi</math> высоту поверхности земли над [[уровень моря|уровнем моря]], то её градиент в каждой точке поверхности будет показывать «направление самого крутого подъёма», а своей величиной характеризовать крутизну [[склон]]а.

Пространство, на котором определена функция и её градиент, может быть, вообще говоря, как обычным трёхмерным пространством, так и пространством любой другой размерности.

Термин впервые появился в [[метеорология|метеорологии]] для исследования изменений температуры и давления атмосферы, а в математику был введён [[Максвелл, Джеймс Клерк|Максвеллом]] в 1873 году; обозначение <math>\mathrm{grad}</math> тоже предложил Максвелл. Наряду со стандартным обозначением <math>(\mathrm{grad}\,\varphi)</math> часто используется компактная запись с использованием [[Оператор набла|оператора набла]]: <math>\nabla \varphi.</math>

== Иллюстрация применения ==
[[Файл:Gradient of a Function.tif|мини|401x401пкс|
Градиент 2D функции отображен на графике в виде синих стрелок
]]
Пусть температура в комнате задана с помощью [[Скалярное поле|скалярного поля]] <math>T</math>, не изменяющегося с течением времени, таким образом, что в каждой точке с координатами <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> температура равняется <math>T(x, y, z)</math>. В каждой точке комнаты градиент функции <math>T</math> будет показывать направление, перпендикулярное изотермической поверхности, в котором температура возрастает быстрее всего. Величина градиента определяет, насколько быстро температура возрастает в данном направлении.

== Определение и вычисление ==
Для случая трёхмерного пространства градиентом [[Дифференцируемая функция#Функции нескольких переменных|дифференцируемой]] в некоторой области
скалярной [[Функция (математика)|функции]] <math>\varphi = \varphi(x,y,z)</math> координат <math>x</math>, <math>y</math>, <math>z</math> называется векторная функция с компонентами
: <math>\frac {\partial \varphi} {\partial x}, \frac {\partial \varphi} {\partial y}, \frac {\partial \varphi} {\partial z}.</math><ref>{{Книга |ссылка=https://mipt.ru/education/chair/mathematics/upload/795/kovalenk-arph0dud37q.pdf |автор=Коваленко Л. И. |заглавие=Методические указания по математическому анализу для студентов второго курса. Элементы векторного анализа. |год=2001 |издательство=МФТИ |страницы=5 |страниц=35 |archivedate=2020-11-07 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20201107191951/https://mipt.ru/education/chair/mathematics/upload/795/kovalenk-arph0dud37q.pdf }}</ref>

Или, использовав для единичных векторов по осям прямоугольных декартовых координат <math>\vec e_x, \vec e_y, \vec e_z</math>:
: <math>\mathrm{grad}\,\varphi = \nabla \varphi = \frac {\partial \varphi} {\partial x} \vec e_x + \frac {\partial \varphi} {\partial y} \vec e_y + \frac {\partial \varphi} {\partial z} \vec e_z.</math>

Если <math>\varphi</math> — функция <math>n</math> переменных <math>x_1,\;\ldots,\;x_n</math>, то её градиентом называется <math>n</math>-мерный вектор
: <math>\left(\frac{\partial \varphi}{\partial x_1},\;\ldots,\;\frac{\partial \varphi}{\partial x_n}\right),</math>

компоненты которого равны [[Частная производная|частным производным]] <math>\varphi</math> по всем её аргументам.

* Размерность вектора градиента определяется, таким образом, размерностью пространства (или многообразия), на котором задано скалярное поле, о градиенте которого идёт речь.
* Оператором градиента называется оператор, действие которого на скалярную функцию (поле) даёт её градиент. Этот оператор иногда коротко называют просто «градиентом».

Смысл градиента любой скалярной функции <math>f</math> в том, что его скалярное произведение с бесконечно малым вектором перемещения <math>d\mathbf{x}</math> даёт [[полный дифференциал]] этой функции при соответствующем изменении координат в пространстве, на котором определена <math>f</math>, то есть линейную (в случае общего положения она же главная) часть изменения <math>f</math> при смещении на <math>d\mathbf{x}</math>. Применяя одну и ту же букву для обозначения функции от вектора и соответствующей функции от его координат, можно написать:

: <math>df = \frac {\partial f} {\partial x_1}\,dx_1 + \frac {\partial f} {\partial x_2}\,dx_2 
+ \frac {\partial f} {\partial x_3}\,dx_3 + \ldots = \sum_i \frac {\partial f} {\partial x_i}\,dx_i = (\mathrm{grad}\,\mathbf{f} \cdot d\mathbf x).</math>

Поскольку формула полного дифференциала не зависит от вида координат <math>x_i</math>, полученный дифференциал является инвариантом, то есть скаляром, при любых преобразованиях координат, а поскольку <math>d\mathbf{x}</math> — это вектор, градиент, вычисленный обычным образом, оказывается [[ковариантный вектор|ковариантным вектором]], то есть вектором, представленным в дуальном базисе, какой только и может дать скаляр при простом суммировании произведений координат обычного ([[контравариантный вектор|контравариантного]]), то есть вектором, записанным в обычном базисе. Таким образом, выражение (вообще говоря — для произвольных криволинейных координат) может быть вполне правильно и инвариантно записано как:

: <math>d f = \sum_i (\partial_i f)\,dx^i</math>

или, опуская по правилу Эйнштейна знак суммы,

: <math>df=(\partial_i f)\,dx^i</math>

(в ортонормированном базисе мы можем писать все индексы нижними, как мы и делали выше).
Однако градиент оказывается настоящим ковариантным вектором в любых криволинейных координатах.

Используя интегральную теорему

: <math>\iiint\limits_{V}\nabla\varphi\,dV=\iint\limits_{S} \varphi\,d\mathbf{s}</math>,
градиент можно выразить в интегральной форме:

: <math>\nabla\varphi=\lim\limits_{V \to 0}\frac{1}{V}\left(\iint\limits_{S} \varphi\,d\mathbf{s}\right),</math>

здесь <math>\it{S}</math> — замкнутая поверхность охватывающая объём <math>\it{V}, d\mathbf{s}</math> — нормальный элемент этой поверхности.

== Пример ==
Например, градиент функции <math>\varphi(x,\;y,\;z)=2x+3y^2-\sin z</math> будет представлять собой:

: <math>\nabla \varphi = \left(\frac{\partial \varphi}{\partial x},\;\frac{\partial \varphi}{\partial y},\;\frac{\partial \varphi}{\partial z}\right)=(2,\;6y,\;-\cos z).</math>

== Некоторые применения ==

=== Геометрический смысл ===
Рассмотрим семейство линий уровня функции <math>\varphi</math>:

: <math>\gamma(h)=\{(x_1,\;\ldots,\;x_n)\mid \varphi(x_1,\;\ldots,\;x_n)=h\}.</math>

Нетрудно показать, что градиент функции <math>\varphi</math> в точке <math>\vec{x}{\,}^0</math> перпендикулярен её линии уровня, проходящей через эту точку. Модуль градиента показывает максимальную скорость изменения функции в окрестности <math>\vec{x}{\,}^0</math>, то есть частоту линий уровня. Например, линии уровня высоты изображаются на топографических картах, при этом модуль градиента показывает крутизну спуска или подъёма в данной точке.

=== В физике ===
В различных отраслях физики используется понятие градиента различных физических полей.

Например, [[Напряжённость электрического поля|напряжённость]] [[Электростатическое поле|электростатического поля]] есть минус градиент [[Электростатический потенциал|электростатического потенциала]]:

: <math>\vec E = - \nabla\varphi</math>;

[[напряжённость гравитационного поля]] (ускорение свободного падения) в [[Закон всемирного тяготения|классической теории гравитации]] есть минус градиент [[Гравитационный потенциал|гравитационного потенциала]]:

: <math>\vec{E}_{gr} = -\nabla\varphi_{gr}</math>.

[[Консервативные силы|Консервативная сила]] в [[Классическая механика|классической механике]] есть минус градиент [[Потенциальная энергия|потенциальной энергии]]:

: <math>\vec{F} = -\nabla U_p</math>.

Диффузионный поток, согласно первому [[Закон Фика#Первый закон Фика|закону Фика]], пропорционален градиенту концентрации вещества:

: <math>\vec{J} = - D\nabla C</math>,

где <math>D</math> — [[коэффициент диффузии]].

Направление вектора <math>\vec{E}</math>, <math>\vec{E}_{gr}</math>, <math>\vec{F}</math>, <math>\vec{J}</math> перпендикулярно поверхности постоянной величины <math>\varphi = </math> const, <math>\varphi_{gr} = </math> const, <math>U_p = </math> const и <math>C = </math> const, соответственно. 

=== В других естественных науках ===
Понятие градиента находит применение не только в физике, но и в смежных и даже сравнительно далёких от физики науках (иногда это применение носит количественный, а иногда и просто качественный характер).

Например, ''[[градиент концентрации]]'' — нарастание или уменьшение по какому-либо направлению концентрации растворённого вещества, ''градиент температуры'' — увеличение или уменьшение по какому-то направлению температуры среды и т. д.

Градиент таких величин может быть вызван различными причинами, например, механическим препятствием, действием электромагнитных, гравитационных или других полей или различием в растворяющей способности граничащих фаз.

=== В экономике ===
В экономической теории понятие градиента используется для обоснования некоторых выводов и для оптимизации. В частности, используемые для нахождения оптимума потребителя [[метод множителей Лагранжа]] и [[Условия Каруша — Куна — Таккера|условия Куна — Таккера]] (позаимствованные из естественных наук) основаны на сопоставлении градиентов [[Функция полезности|функции полезности]] и [[Бюджетное множество|функции бюджетного ограничения]].

== Связь с производной по направлению ==
Используя [[правило дифференцирования сложной функции]], нетрудно показать, что
производная функции <math>\varphi</math> [[производная по направлению|по направлению]] <math>\vec{e}=(e_1,\;\ldots,\;e_n)</math> равняется скалярному произведению градиента <math>\varphi</math> на '''единичный''' вектор <math>\vec{e}</math>:

: <math> \frac{\partial \varphi}{\partial \vec e}=\frac{\partial \varphi} {\partial x_1} e_1+\ldots+\frac{\partial \varphi}{\partial x_n} e_n = (\nabla \varphi,\;\vec e).</math>

Таким образом, для вычисления производной скалярной функции векторного аргумента по любому направлению достаточно знать
градиент функции, то есть вектор, компоненты которого являются её частными производными.

== Градиент в ортогональных криволинейных координатах ==
: <math>\operatorname{grad}\,U(q_1,\;q_2,\;q_3) = \frac{1}{H_1}\frac{\partial U}{\partial q_1}\vec{e}_1 + \frac{1}{H_2}\frac{\partial U}{\partial q_2}\vec{e}_2 + \frac{1}{H_3}\frac{\partial U}{\partial q_3}\vec{e}_3,</math>
где <math>H_i</math> — [[Криволинейная система координат#Коэффициенты Ламе|коэффициенты Ламе]].

=== Полярные координаты (на плоскости) ===
Коэффициенты Ламе:
: <math>\begin{matrix}H_1 = 1 \\ H_2 = r \end{matrix}.</math>
Отсюда:
: <math>\operatorname{grad}\,U(r,\;\theta) = \frac{\partial U}{\partial r}\vec {e_r} + \frac{1}{r}\frac{\partial U}{\partial \theta }\vec {e_\theta}.</math>

=== [[Цилиндрические координаты]] ===
Коэффициенты Ламе:
: <math>\begin{matrix}H_1 = 1  \\ H_2 = r \\ H_3 = 1 \end{matrix}.</math>
Отсюда:
: <math>\operatorname{grad}\,U(r,\;\theta,\;z) = \frac{\partial U}{\partial r}\vec {e_r} + \frac{1}{r}\frac{\partial U}{\partial \theta}\vec {e_\theta} + \frac{\partial U}{\partial z}\vec {e_z}.</math>

=== [[Сферические координаты]] ===
Коэффициенты Ламе:
: <math>\begin{matrix}H_1 = 1 \;\;\;\;\;\; \\H_2 = r\;\;\;\;\;\; \\H_3 = r\sin{\theta}\end{matrix} .</math>
Отсюда:
: <math>\operatorname{grad}\,U(r,\;\theta,\;\varphi) = \frac{\partial U}{\partial r}\vec {e_r} + \frac{1}{r}\frac{\partial U}{\partial \theta }\vec {e_\theta} + \frac{1}{r\sin{\theta}}\frac{\partial U}{\partial\varphi}\vec {e_\varphi}.</math>

== Вариации и обобщения ==
Пусть <math>u\colon X\to Y</math> — отображение между метрическими пространствами. Борелева функция <math>\rho\colon X\to \R</math> называется '''верхним градиентом''' <math>u</math> если следующее неравенство
: <math>|u(p)-u(q)|_Y\le \int\limits_\gamma \rho</math>
выполняется для произвольной спрямляемой кривой <math>\gamma</math>, соединяющей <math>p</math> и <math>q</math> в <math>X</math>.<ref>6.2 в Heinonen, Juha, et al. Sobolev spaces on metric measure spaces. Vol. 27. Cambridge University Press, 2015.</ref>

== См. также ==
{{Викисловарь|градиент}}
{{Кол|3}}
* [[4-градиент]]
* [[Векторный анализ]]
* [[Градиент концентрации]]
* [[Градиентные методы]]
* [[Оператор Кэнни]]
* [[Теорема Остроградского — Гаусса]]
* [[Формулы векторного анализа]]
{{Конец кол}}

== Примечания ==
{{примечания}}
{{Викисловарь|gradiens}}{{Викисловарь|grad}}

== Литература ==
* {{книга |автор=Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т.
  |заглавие=Современная геометрия. Методы и приложения: уч. пособие для физико-математических специальностей университетов
  |издательство=Наука |место=М. |год=1986 |страниц=759 |ref = Дубровин, Новиков, Фоменко}}
* {{публикация|книга|автор=Кочин Н. Е.|заглавие=Векторное исчисление и начала тензорного исчисления |издание=9-е изд
  |место=М.|издательство=Наука|год=1965}}
* {{книга |часть=Градиент |столбцы=1080 |автор=Купцов Л. П. |ref=Математическая энциклопедия
  |заглавие=Математическая энциклопедия (в 5 томах) |место=М. |страниц=1152 |том=1 |год=1977
  |издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская Энциклопедия]]}}
* {{публикация|книга|автор=Рашєвский П. К. |заглавие=Риманова геометрия и тензорный анализ |издание=3-е изд
  |место=М.|издательство=Наука|год=1967}}

== Ссылки ==
* {{YouTube|rCDTFotk7ro|Что такое градиент}}
* {{MathWorld |title = Gradient |urlname = Gradient}}

{{BC}}{{Дифференциальное исчисление}}

[[Категория:Векторы]]
[[Категория:Векторный анализ]]
[[Категория:Дифференциальные операторы]]
[[Категория:Математическая физика]]