Просмотр кода страницы Группа Лоренца

'''Гру́ппа Ло́ренца''' — [[группа (математика)|группа]] [[преобразования Лоренца|преобразований Лоренца]] [[пространство Минковского|пространства Минковского]], сохраняющих начало координат (то есть являющихся [[линейный оператор|линейными операторами]])<ref>Полупрямое произведение группы Лоренца и группы [[параллельный перенос|параллельных переносов]] пространства Минковского по историческим причинам называется ''[[группа Пуанкаре|группой Пуанкаре]]''. С другой стороны, группа Лоренца содержит в качестве своей подгруппы [[группа вращений|группу вращений]] 3-мерного пространства.</ref>.

Группа Лоренца состоит из однородных линейных преобразований координат четырёхмерного пространства-времени:
: <math>x_\nu' = \sum_\mu L_{\nu\mu} x_\mu,</math>
: <math>x_0 = ct,\quad x_1 = x,\quad x_2 = y,\quad x_3 = z,</math>
которые оставляют инвариантной [[Квадратичная форма|квадратичную форму]] с [[Сигнатура (линейная алгебра)|сигнатурой]] (1, 3), которая является математическим выражением четырёхмерного интервала <math>s^2 = c^2 t^2 - x^2 -y^2 - z^2</math><ref name="ФЭ">{{Книга:Физическая энциклопедия|
 | автор    = С. И. Азаков, В. П. Павлов.
 | статья   = Лоренца группа
 | ссылка   = http://femto.com.ua/articles/part_1/1983.html
 | страницы =
}}</ref>. В частности, группа Лоренца включает пространственные повороты в трёх плоскостях <math>xy,\ yz,\ zx</math>, [[Преобразования Лоренца|лоренцевы преобразования]] <math>xt,\ yt,\ zt</math>, отражения пространственных осей <math>x, y, z</math>: <math>x \to -x,\ y \to -y,\ z \to -z</math> и все их произведения.

Группа Лоренца — частный случай [[Неопределённая ортогональная группа|неопределённой ортогональной группы]]<ref>{{публикация|книга|автор=Brian C. Hall|заглавие=Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction|издательство=Springer|год=2003|pages=7}}</ref>, и поэтому обозначается <math>O(1, 3)</math> (либо <math>O(3, 1)</math>, что соответствует квадратичной форме с противоположными знаками и переставленными координатами), <math>O(1, 3; \R)</math> или <math>\mathrm{O}_{1,3}(\R)</math>, а также <math>\mathcal{L}</math><ref name="ФЭ" />.

'''Специальная группа Лоренца''' или '''собственная группа Лоренца''' <math>SO(1, 3)</math> — подгруппа преобразований, [[определитель матрицы]] которых равен 1 (в общем случае он равен ±1).

'''Ортохронная группа Лоренца''' <math>O_\uparrow(1, 3)</math> (также обозначается <math>\mathrm{O}^+_{1,3}(\R)</math>, и она может быть отождествлена с {{iw|Проективная ортогональная группа|проективной (неопределённой) ортогональной группой||Projective orthogonal group}} <math>\mathrm{PO}_{1,3}(\R)</math>), '''специальная (или собственная) ортохронная группа Лоренца''' <math>SO_\uparrow(1, 3)</math> — аналогично, но все преобразования сохраняют направление будущего во [[время|времени]] ([[функция sgn(x)|знак]] координаты <math>x^0</math>). Группа <math>SO_\uparrow(1, 3)</math>, единственная из четырёх, является [[связное пространство|связной]] и изоморфна [[группа Мёбиуса|группе Мёбиуса]].

Иногда условие ортохронности включают в определение группы Лоренца, в этом случае группа, включающая преобразования, которые меняют направление времени, может называться общей группой Лоренца{{sfn|Гельфанд, Минлос, Шапиро|1958|с=165—166}}{{sfn|Ширков|с=146|1980}}. Иногда также под группой Лоренца подразумевают собственную ортохронную группу Лоренца{{sfn|Naber|2012|p=19}}.

== Представления группы Лоренца ==
<div style="font-size:small">{{Симметрия в физике}}</div>
Пусть физическая величина (например, четырёхмерный вектор энергии-импульса или потенциал электромагнитного поля) описывается многокомпонентной функцией координат <math>U_\alpha(x)</math>. При переходе из одной инерциальной системы отсчёта к другой компоненты физической величины линейно преобразуются друг через друга: <math>u_\beta' = \sum_\alpha \Lambda_{\beta\alpha} u_\alpha(x)</math>. При этом матрица <math>\Lambda</math> имеет ранг <math>\nu</math>, равный числу компонент величины <math>u_\alpha</math>. Каждому элементу группы Лоренца <math>P</math> соответствует линейное преобразование <math>\Lambda(P)</math>, единичному элементу группы Лоренца (тождественному преобразованию) соответствует единичное преобразование <math>\Lambda = 1</math>, а произведению двух элементов группы Лоренца <math>P_1</math> и <math>P_2</math> соответствует произведение двух преобразований <math>\Lambda(P_1 P_2) = \Lambda(P_1) \Lambda(P_2)</math>. Систему матриц с перечисленными свойствами называют линейным представлением группы Лоренца.{{sfn|Ширков|с=147|1980}}

[[Представление группы|Представления]] группы Лоренца в [[комплексные числа|комплексных]] линейных пространствах очень важны для физики, так как связаны с понятием [[спин]]а. Все неприводимые представления специальной ортохронной группы Лоренца <math>SO_\uparrow(1, 3)</math> можно построить при помощи [[спинор]]ов.

{{дополнить раздел|дата=2014-03-26}}

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга|автор=[[Гельфанд, Израиль Моисеевич|Гельфанд И. М.]], [[Минлос, Роберт Адольфович|Минлос Р. А.]], [[Шапиро, Зоря Яковлевна|Шапиро З. Я.]]|заглавие=Представления группы вращений и группы Лоренца|место=М.|издательство=Физматгиз|год=1958|страниц=367|ref=Гельфанд, Минлос, Шапиро}}
* {{книга|автор=Дубровин Б. А., [[Новиков, Сергей Петрович (математик)|Новиков С. П.]], [[Фоменко, Анатолий Тимофеевич|Фоменко А. Т.]]&nbsp;|заглавие=Современная геометрия: методы и приложения|место=М.|издательство=Наука|год=1986|страниц=760}}
* {{книга|автор=Любарский Г. Я.&nbsp;|заглавие=Теория групп и её применение в физике|место=М.|издательство=Физматгиз|год=1958|страниц=355}}
* {{книга|автор=[[Наймарк, Марк Аронович|Наймарк М. А.]]&nbsp;|заглавие=Линейные представления группы Лоренца|место=М.|издательство=Физматгиз|год=1958|страниц=376}}
* {{книга|автор=Исаев А. П., [[Рубаков, Валерий Анатольевич|Рубаков В. А.]]&nbsp;|заглавие=Теория групп и симметрий. Конечные группы. Группы и алгебры Ли|место=М.|издательство=УРСС|год=2018|страниц=491}}
* {{книга|автор=Фёдоров Ф. И.&nbsp;|заглавие=Группа Лоренца|место=М.|издательство=Наука|год=1979|страниц=384}}  (Излагается [[ковариантный метод|векторная параметризация]] группы Лоренца и её применение)
* {{книга |заглавие=Geometric Algebra |ссылка=https://archive.org/details/geometricalgebra033556mbp |место=New York |издательство=Wiley |год=1957 |id=0-471-60839-4 |язык=en |автор=Artin, Emil}}. ''See Chapter III'' for the orthogonal groups O(p, q).
* {{книга
|заглавие=Group Theory and General Relativity, Representations of the Lorentz Group and Their Applications to the Gravitational Field
|издательство=McGraw-Hill, New York
|год=1977
|id=0-07-009986-3
|язык=en
|автор=Carmeli, Moshe
}}. A canonical reference; ''see chapters 1-6'' for representations of the Lorentz group.
* {{книга |заглавие=The Geometry of Physics (2nd Ed.) |место=Cambridge |издательство=[[Издательство Кембриджского университета|Cambridge University Press]] |год=2004 |id=0-521-53927-7 |язык=en |автор=Frankel, Theodore}}. An excellent resource for Lie theory, fiber bundles, spinorial coverings, and many other topics.
* {{книга |заглавие=Representation Theory: a First Course |место=New York |издательство=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]] |год=1991 |id=0-387-97495-4 |язык=en |автор=Fulton, William; & Harris, Joe}}. ''See Lecture 11'' for the irreducible representations of SL(2,'''C''').
* {{книга |заглавие=Symmetries and Curvature Structure in General Relativity |место=Singapore |издательство=[[World Scientific]] |год=2004 |id=981-02-1051-5 |язык=en |автор=Hall, G. S.}}. ''See Chapter 6'' for the subalgebras of the Lie algebra of the Lorentz group.
* {{книга |заглавие=Algebraic topology |ссылка=https://archive.org/details/algebraictopolog0000hatc |место=Cambridge |издательство=[[Издательство Кембриджского университета|Cambridge University Press]] |год=2002 |id=0-521-79540-0 |язык=en |автор=Hatcher, Allen}}. ''See also'' the {{cite web|title=online version|url=http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html|accessdate=2005-07-03|archiveurl=https://www.webcitation.org/65a3b1JDI?url=http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html|archivedate=2012-02-20}} ''See Section 1.3'' for a beautifully illustrated discussion of covering spaces. ''See Section 3D'' for the topology of rotation groups.
* {{книга |заглавие=The Geometry of Minkowski Spacetime |место=New York |издательство=[[Springer Science+Business Media|Springer]] |год=2012 |isbn=978-1-4419-7838-7 |язык=en |автор=Naber, Gregory|ref=Naber}}. An excellent reference on Minkowski spacetime and the Lorentz group.
* {{книга |заглавие=Visual Complex Analysis |ссылка=https://archive.org/details/visualcomplexana0000need |место=Oxford |издательство=[[Издательство Оксфордского университета|Oxford University Press]] |год=1997 |id=0-19-853446-9 |язык=en |автор=Needham, Tristam }}. ''See Chapter 3'' for a superbly illustrated discussion of Möbius transformations.
* {{книга
 | автор = [[Ширков, Дмитрий Васильевич|Ширков Д. В.]]
 | заглавие = Физика микромира
 | место = М.
 | издательство  = Советская энциклопедия
 | год = 1980
 | страниц = 527
 | isbn = 
 | ref = Ширков
 }}

== См. также ==
* [[Прецессия Томаса]]
* [[Группа Пуанкаре]]

{{перевести|en|Lorentz group}}
{{Теория групп}}

[[Категория:Группы Ли]]
[[Категория:Специальная теория относительности]]
[[Категория:Релятивистская механика]]