Просмотр кода страницы Группа треугольника (2,3,7)

'''Группа треугольника (2,3,7)'''<ref>Под «треугольной группой (2,3,7)» чаще всего понимается не ''полная'' треугольная группа Δ(2,3,7) ([[группа Коксетера]] с [[Треугольник Шварца|треугольником Шварца]] (2,3,7), или реализованная как гиперболическая {{не переведено 5|группа отражений|||reflection group}}), а именно «обычная» треугольная группа <math>D(2,3,7)</math>.</ref> — треугольная группа ([[Группа треугольника#Группы фон Дика|группа фон Дика]]) ''D''(2,3,7) сохраняющих ориентацию отображений. Важный объект в теории [[Риманова поверхность|римановых поверхностей]] и [[Геометрия Лобачевского|геометрии Лобачевского]] в связи с [[Поверхность Гурвица|поверхностями Гурвица]], а именно{{Уточнить}}<!--неясен переход--> с римановыми поверхностями рода ''g'' с максимально высоким возможным порядком группы автоморфизмов, равным 84(''g'' − 1).

Нормальные подгруппы без кручения треугольной группы (2,3,7) являются [[Фуксова группа|фуксовыми группами]], ассоциированными с [[Поверхность Гурвица|поверхностями Гурвица]], такими как {{не переведено 5|квартика Клейна|||Klein quartic}}, [[поверхность Макбита]] и {{не переведено 5|первая тройка Гурвица|||First Hurwitz triplet}}.

== Построения ==

=== Гиперболическое построение ===
[[Файл:H2checkers 237.png|thumb|Треугольная группа (2,3,7) является группой сохраняющих ориентацию изометрий мозаик из (2,3,7) [[Треугольник Шварца|треугольников Шварца]], показанных здесь в проекции на [[Модель Пуанкаре|диск Пуанкаре]].]]
Чтобы построить треугольную группу, начнём с гиперболического треугольника с углами π/2, π/3, π/7. Этот треугольник является наименьшим гиперболическим [[Треугольник Шварца|треугольником Шварца]] и его отражения замощают плоскость путём отражений относительно сторон. Рассмотрим группу, порождённую отражениями относительно сторон треугольника. Эта группа является {{не переведено 5|Неевклидова кристаллографическая группа|неевклидовой кристаллографической группой||non-Euclidean crystallographic group}} (дискретной подгруппой гиперболических [[Изометрия (математика)|изометрий]]) с этим треугольником в качестве [[Фундаментальная область|фундаментальной области]]. Ассоциированная [[Паркет (геометрия)|мозаика]] является {{не переведено 5|Разделённая семиугольная мозаика порядка 3|разделённой семиугольной мозаикой порядка 3||order-3 bisected heptagonal tiling}}. Треугольная группа (2,3,7) определяется как подгруппа [[Индекс подгруппы|индекса]] 2, состоящая из сохраняющих ориентацию изометрий, и является [[Фуксова группа|фуксовой группой]] (сохраняющей ориентацию неевклидовой кристаллографической группой).

{{Таблица семиугольных мозаик}}

=== Задание группы ===
Группа может быть задана при помощи пары генераторов, ''g''<sub>2</sub>, ''g''<sub>3</sub>, со следующими соотношениями:

: <math>g_2^2=g_3^3= (g_2g_3)^7=1.</math>

Геометрически эти соотношения соответствуют вращениям на 2π/2, 2π/3 и 2π/7 вокруг вершин треугольника Шварца.

=== Алгебра кватернионов ===
Группа треугольников (2,3,7) может быть представлена при помощи группы кватернионов с нормой 1 при подходящем {{не переведено 5|Порядок (теория колец)|R-порядке||order (ring theory)}}<ref>Слово «порядок» многозначно. В данном контексте под порядком понимается порядок кольца (R-порядок). См. книгу Райнера «Максимальные порядки» {{harv|Reiner|2003}}.</ref> в [[Алгебра кватернионов|алгебре кватернионов]]. Конкретнее, группа треугольника является факторгруппой группы кватернионов по её центру ±1.

Пусть η = 2cos(2π/7). Тогда из равенства

: <math>(2-\eta)^3= 7(\eta-1)^2.</math>

видим, что '''Q'''(η) является полностью вещественным кубическим расширением '''Q'''. Гиперболическая [[группа треугольника]] (2,3,7) является подгруппой группы элементов алгебры кватернионов с нормой 1, образованной как ассоциативная алгебра парой генераторов ''i'' и ''j'' и отношениями ''i''<sup>2</sup> = ''j''<sup>2</sup> = ''η'', ''ij'' = −''ji''. Можно выбрать подходящий {{не переведено 5|порядок кватернионов Гурвица|||Hurwitz quaternion order}} <math>\mathcal Q_{\mathrm{Hur}}</math> в алгебре кватернионов. Здесь порядок <math>Q_{\mathrm{Hur}}</math> порождается элементами

: <math>g_2 = \tfrac{1}{\eta}ij</math>
: <math>g_3 = \tfrac{1}{2}(1+(\eta^2-2)j+(3-\eta^2)ij).</math>

Фактически порядок является свободным '''Z'''[η]-модулем над базисом <math>1,g_2,g_3, g_2g_3</math>. Генераторы удовлетворяют условиям

: <math>g_2^2=g_3^3= (g_2g_3)^7=-1,</math>

которые сводятся к соотношениям в треугольной группе после взятия факторгруппы по центру.

== Связь с SL(2,R) ==
[[Файл:Morphing of modular tiling to 2 3 7 triangle tiling.gif|thumb|Визуализация отображения (2,3,∞) → (2,3,7) путём трансформации связанных мозаик<ref>[http://www.xs4all.nl/~westy31/Geometry/Geometry.html#Modular Platonic tilings of Riemann surfaces: The Modular Group] {{Wayback|url=http://www.xs4all.nl/~westy31/Geometry/Geometry.html#Modular |date=20091028023147 }}, [http://www.xs4all.nl/~westy31/ Gerard Westendorp] {{Wayback|url=http://www.xs4all.nl/~westy31/ |date=20110310181047 }}</ref>.]]
Расширив скаляры из '''Q'''(η) в '''R''' (путём стандартного вложения), получим изоморфизм между алгеброй кватернионов и алгеброй M(2,'''R''') вещественных 2 х 2 матриц. Выбор конкретного изоморфизма позволяет показать группу треугольника (2,3,7) как частный случай [[Фуксова группа|фуксовой группы]] в [[SL(2,R)|SL(2,'''R''')]], а именно как факторгруппу [[Модулярная группа|модулярной группы]]. Это можно визиуализировать с помощью ассоциированных мозаик, как представлено справа на рисунке — мозаика (2,3,7) диска Пуанкаре является факторпространством модулярной мозаики верхнего полупространства.

Однако для многих целей нет необходимости в явном задании изоморфизма. Так, следы элементов группы (а следовательно, расстояние перемещения гиперболических элементов в [[Верхняя полуплоскость|верхней полуплоскости]], как и [[Систолическая геометрия|систолы]] фуксовых подгрупп) можно вычислить с помощью сокращённых следов в алгебре кватернионов по формуле

: <math>\operatorname{tr}(\gamma)= 2\cosh(\ell_{\gamma}/2).</math>

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга
|автор=I. Reiner
|ref=Reiner
|заглавие=Maximum order
|издательство= Clarendon Press
|место=Oxford
|год=2003
|серия=London Mathematical Society Monographs New Series
|том=28 (переиздание)
}}
* {{книга
|автор=N. D. Elkies
|вклад=Shimura curve computations
|заглавие=Algorithmic Number Theory: Third International Symposium, ANTS-III
|издательство=Springer-Verlag
|серия=[[Lecture Notes in Computer Science]] 
|год=1998
|doi=10.1007/BFb0054849
|arxiv=math.NT/0005160
|том=1423
|ответственный=Joe P. Buhler
|isbn=3-540-64657-4
}}
* {{статья
|автор=M. Katz, M. Schaps, U. Vishne
|заглавие=Logarithmic growth of systole of arithmetic Riemann surfaces along congruence subgroups
|издание=[[Journal of Differential Geometry|J. Differential Geom.]] 
|том=76
|год=2007
|выпуск=3
|страницы=399–422
}}
{{refend}}

{{rq|checktranslate|style}}

[[Категория:Геометрическая теория групп]]
[[Категория:Римановы поверхности]]
[[Категория:Гиперболические мозаики]]
[[Категория:Систолическая геометрия]]
[[Категория:Группы Клейна]]