Группа треугольника (2,3,7)

Группа треугольника (2,3,7) — треугольная группа (группа фон Дика) D(2,3,7) сохраняющих ориентацию отображений. Важный объект в теории римановых поверхностей и геометрии Лобачевского в связи с поверхностями Гурвица, а именноШаблон:Уточнить с римановыми поверхностями рода g с максимально высоким возможным порядком группы автоморфизмов, равным 84(g − 1).

Нормальные подгруппы без кручения треугольной группы (2,3,7) являются фуксовыми группами, ассоциированными с поверхностями Гурвица, такими как Шаблон:Не переведено 5, поверхность Макбита и Шаблон:Не переведено 5.

Построения

Гиперболическое построение

Треугольная группа (2,3,7) является группой сохраняющих ориентацию изометрий мозаик из (2,3,7) треугольников Шварца, показанных здесь в проекции на диск Пуанкаре.

Чтобы построить треугольную группу, начнём с гиперболического треугольника с углами π/2, π/3, π/7. Этот треугольник является наименьшим гиперболическим треугольником Шварца и его отражения замощают плоскость путём отражений относительно сторон. Рассмотрим группу, порождённую отражениями относительно сторон треугольника. Эта группа является Шаблон:Не переведено 5 (дискретной подгруппой гиперболических изометрий) с этим треугольником в качестве фундаментальной области. Ассоциированная мозаика является Шаблон:Не переведено 5. Треугольная группа (2,3,7) определяется как подгруппа индекса 2, состоящая из сохраняющих ориентацию изометрий, и является фуксовой группой (сохраняющей ориентацию неевклидовой кристаллографической группой).

Задание группы

Группа может быть задана при помощи пары генераторов, g₂, g₃, со следующими соотношениями:

$g_2^2=g_3^3=(g_2{g}_3{)}^7=1.$

Геометрически эти соотношения соответствуют вращениям на 2π/2, 2π/3 и 2π/7 вокруг вершин треугольника Шварца.

Алгебра кватернионов

Группа треугольников (2,3,7) может быть представлена при помощи группы кватернионов с нормой 1 при подходящем Шаблон:Не переведено 5 в алгебре кватернионов. Конкретнее, группа треугольника является факторгруппой группы кватернионов по её центру ±1.

Пусть η = 2cos(2π/7). Тогда из равенства

$(2-\eta {)}^3=7(\eta -1{)}^2.$

видим, что Q(η) является полностью вещественным кубическим расширением Q. Гиперболическая группа треугольника (2,3,7) является подгруппой группы элементов алгебры кватернионов с нормой 1, образованной как ассоциативная алгебра парой генераторов i и j и отношениями i² = j² = η, ij = −ji. Можно выбрать подходящий Шаблон:Не переведено 5 ${𝒬}_{\mathrm{H}\mathrm{u}\mathrm{r}}$ в алгебре кватернионов. Здесь порядок $Q_{\mathrm{H}\mathrm{u}\mathrm{r}}$ порождается элементами

$g_2=\frac{1}{\eta }ij$

$g_3=\frac{1}{2}(1+({\eta }^2-2)j+(3-{\eta }^2)ij).$

Фактически порядок является свободным Z[η]-модулем над базисом $1,g_2,g_3,g_2{g}_3$. Генераторы удовлетворяют условиям

$g_2^2=g_3^3=(g_2{g}_3{)}^7=-1,$

которые сводятся к соотношениям в треугольной группе после взятия факторгруппы по центру.

Связь с SL(2,R)

Визуализация отображения (2,3,∞) → (2,3,7) путём трансформации связанных мозаик.

Расширив скаляры из Q(η) в R (путём стандартного вложения), получим изоморфизм между алгеброй кватернионов и алгеброй M(2,R) вещественных 2 х 2 матриц. Выбор конкретного изоморфизма позволяет показать группу треугольника (2,3,7) как частный случай фуксовой группы в SL(2,R), а именно как факторгруппу модулярной группы. Это можно визиуализировать с помощью ассоциированных мозаик, как представлено справа на рисунке — мозаика (2,3,7) диска Пуанкаре является факторпространством модулярной мозаики верхнего полупространства.

Однако для многих целей нет необходимости в явном задании изоморфизма. Так, следы элементов группы (а следовательно, расстояние перемещения гиперболических элементов в верхней полуплоскости, как и систолы фуксовых подгрупп) можно вычислить с помощью сокращённых следов в алгебре кватернионов по формуле

$\mathrm{tr}(\gamma )=2\cosh ({\ell }_{\gamma }/2).$

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья