Просмотр кода страницы Дзета-функция Римана

{{перенаправление|Дзета-функция|Дзета-функции}}
{{другие значения термина|Функция Римана}}
[[Файл:Zeta function graph.png|thumb|right|300 px|График дзета-функции Римана (аналитического продолжения ряда Дирихле) на действительной оси. Слева от нуля масштаб шкалы значений функции увеличен в 100 раз для наглядности]]
'''Дзе́та-фу́нкция Ри́мана''' — функция <math>\displaystyle \zeta(s)</math> комплексного переменного <math>s = \sigma + it</math>, при <math>\sigma > 1 </math>, определяемая с помощью [[ряд Дирихле|ряда Дирихле]]:

: <math>\zeta(s) = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \ldots.</math>

В комплексной полуплоскости <math>\{s \in \mathbb{C} \mid \operatorname{Re} s > 1\}</math> этот [[Ряд (математика)|ряд]] [[Сходимость ряда|сходится]], является [[аналитическая функция|аналитической функцией]] от <math>s</math> и допускает [[аналитическое продолжение]] на всю [[Комплексная плоскость|комплексную плоскость]], за исключением особой точки {{s|<math>s = 1</math>.}}

Дзета-функция Римана играет очень важную роль в [[Аналитическая теория чисел|аналитической теории чисел]], имеет приложения в [[Теоретическая физика|теоретической физике]], [[Статистика|статистике]], [[Теория вероятностей|теории вероятностей]].

В частности, если будет доказана или опровергнута [[Задачи тысячелетия|до сих пор]] ни доказанная, ни опровергнутая [[гипотеза Римана]] о положении всех нетривиальных нулей дзета-функции на прямой комплексной плоскости <math>\operatorname{Re} s = 1/2</math>, то многие важные теоремы о [[Простое число|простых числах]], опирающиеся в доказательстве на гипотезу Римана, станут либо истинными, либо ложными.

[[Файл:Riemann Zeta function.png|thumb|300px|Дзета-функция Римана для вещественных {{mvar|s}} > 1]]

== Тождество Эйлера ==
В области <math>\{s \mid \operatorname{Re} s > 1\}</math> также верно представление в виде [[Бесконечное произведение|бесконечного произведения]] ('''тождество Эйлера''')
: <math>\zeta(s) = \prod_{\text{число }p \atop \text{простое}} \frac{1}{1 - p^{-s}}.</math>
{{Hider|
  title = Доказательство |
  hidden = 1 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content =
[[Файл:Sieve_of_Eratosthenes_animation.gif|frame|right|[[Решето Эратосфена]] для поиска простых чисел используется в этом доказательстве]]
Идея [[Математическое доказательство|доказательства]] использует лишь простую алгебру, доступную прилежному школьнику. Изначально этим способом [[Эйлер, Леонард|Эйлер]] вывел формулу. Есть свойство [[Решето Эратосфена|решета Эратосфена]], из которого мы можем извлечь пользу:

: <math>\zeta(s) = 1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} + \frac{1}{5^s} + \ldots </math>

: <math>\frac{1}{2^s} \zeta(s) = \frac{1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \frac{1}{6^s} + \frac{1}{8^s} + \frac{1}{10^s} + \ldots </math>

Вычитая второе из первого, мы удаляем все элементы с делителем 2:

: <math>\left(1 - \frac{1}{2^s}\right) \zeta(s) = 1 + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{5^s} + \frac{1}{7^s} + \frac{1}{9^s} + \frac{1}{11^s} + \frac{1}{13^s} + \ldots </math>

Повторяем для следующего:

: <math>\frac{1}{3^s} \left(1 - \frac{1}{2^s}\right) \zeta(s) = \frac{1}{3^s} + \frac{1}{9^s} + \frac{1}{15^s} + \frac{1}{21^s} + \frac{1}{27^s} + \frac{1}{33^s} + \ldots </math>

Опять вычитаем, получаем:

: <math>\left(1 - \frac{1}{3^s}\right) \left(1 - \frac{1}{2^s}\right) \zeta(s) = 1 + \frac{1}{5^s} + \frac{1}{7^s} + \frac{1}{11^s} + \frac{1}{13^s} + \frac{1}{17^s} + \ldots,</math>

где удалены все элементы с делителями 2 и/или 3.

Как можно увидеть, правая сторона просеивается через решето. Бесконечно повторяя, получаем:

: <math>\ldots \left(1 - \frac{1}{11^s}\right) \left(1 - \frac{1}{7^s}\right) \left(1 - \frac{1}{5^s}\right) \left(1 - \frac{1}{3^s}\right) \left(1 - \frac{1}{2^s}\right) \zeta(s) = 1.</math>

Поделим обе стороны на всё, кроме <math>\zeta(s)</math>, получим:

: <math>\zeta(s) = \frac{1}{\left(1 - \dfrac{1}{2^s}\right) \left(1 - \dfrac{1}{3^s}\right) \left(1 - \dfrac{1}{5^s}\right) \left(1 - \dfrac{1}{7^s}\right) \left(1 - \dfrac{1}{11^s}\right) \ldots},</math>

что можно записать короче как бесконечное произведение по всем простым {{mvar|p}}:

: <math>\zeta(s) = \prod_p \frac{1}{1 - p^{-s}}.</math>

Чтобы сделать доказательство строгим, необходимо потребовать только лишь, чтобы, когда <math>\operatorname{Re} s > 1</math>, просеиваемая правая часть приближалась к 1, что немедленно следует из сходимости [[Ряд Дирихле|ряда Дирихле]] для <math>\zeta(s)</math>.
}}

Это равенство представляет собой одно из основных свойств дзета-функции.

== Свойства ==
[[Файл:Complex zeta.jpg|thumb|right|300 px|Дзета-функции Римана в комплексной плоскости]]
* Если взять асимптотическое разложение при <math>{N\rightarrow +\infty}</math> частичных сумм вида
*: <math>\sum\limits_{n=1}^{N}\frac{1}{n^s} = \zeta(s) + \frac{1}{1-s}N^{1-s} + \frac{1}{2}N^{-s} - \frac{1}{12}sN^{-1-s} + \dots</math>,
справедливую для <math>{\rm Re}\, s>1</math>, она же останется верной и для всех <math>s</math>, кроме тех, для которых <math>2-s\in {\mathbb N}</math> (это [[Дзета-функция Римана#Нули дзета-функции|тривиальные корни дзета-функции]]). Из этого можно получить следующие формулы для <math>\zeta(s)</math>:
# <math>\zeta(s) = \lim\limits_{N\rightarrow +\infty}\left(\sum\limits_{n=1}^{N}\frac{1}{n^s} - \frac{N^{1-s}}{1-s}\right)</math>, при <math>{\rm Re}\, s>0</math>, кроме <math>s=1</math>;
# <math>\zeta(s) = \lim\limits_{N\rightarrow +\infty}\left(\sum\limits_{n=1}^{N}\frac{1}{n^s} - \frac{N^{1-s}}{1-s} - \frac{1}{2}N^{-s}\right)</math>, при <math>{\rm Re}\, s>-1</math>, кроме <math>s=1</math> или <math>0</math>;
# <math>\zeta(s) = \lim\limits_{N\rightarrow +\infty}\left(\sum\limits_{n=1}^{N}\frac{1}{n^s} - \frac{N^{1-s}}{1-s} - \frac{1}{2}N^{-s} + \frac{1}{12}sN^{-1-s}\right)</math>, при <math>{\rm Re}\, s>-2</math>, кроме <math>s=1</math>, <math>0</math> или <math>-1</math> и т. д.

* Существуют явные формулы для значений дзета-функции в чётных целых точках:
*: <math>\zeta(2m) = (-1)^{m+1} \frac{(2\pi)^{2m}}{2(2m)!} B_{2m}</math>, где <math>\displaystyle B_{2m}</math> — [[число Бернулли]].
: В частности, <math>\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}</math> ([[ряд обратных квадратов]]), <math>\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90},\ \  \zeta(6) = \frac{\pi^6}{945},\ \ \zeta(8) = \frac{\pi^8}{9450}, \ \ \zeta(10) = \frac{\pi^{10}}{93555}</math><br>
* Кроме того, получено значение <math>\zeta(3) = -\frac{\psi^{(2)}(1)}{2}</math>, где <math>\psi</math> — [[полигамма-функция]];
* Про значения дзета-функции в нечётных целых точках известно мало: предполагается, что они являются [[иррациональное число|иррациональными]] и даже [[трансцендентное число|трансцендентными]], но пока (2019 г.) доказана только лишь иррациональность [[постоянная Апери|числа ζ(3)]] ([[Апери, Роже|Роже Апери]], 1978), а также то, что среди значений ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) есть хотя бы ещё одно иррациональное<ref>{{статья |автор=Зудилин В. В.|заглавие=Об иррациональности значений дзета-функции в нечетных точках |издание=[[УМН]] |год=2001 |том=56 |номер=2(338) |страницы=215–216 |ссылка=http://www.mathnet.ru/rm389}}</ref>.
* При <math>\operatorname{Re}\,s> 1</math>
** <math>\frac1{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{\mu(n)}{n^s}</math>, где <math>\displaystyle \mu(n)</math> — [[функция Мёбиуса]]
** <math>\frac{\zeta(2s)}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{\lambda(n)}{n^s}</math>, где <math>\displaystyle \lambda(n)</math> — [[функция Лиувилля]]
** <math>\zeta^2(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac{\tau(n)}{n^s}</math>, где <math>\displaystyle \tau(n)</math> — [[число делителей]] числа <math>\displaystyle n</math>
** <math>\frac{\zeta(s)}{\zeta(2s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{|\mu(n)|}{n^s}</math>
** <math>\frac{\zeta^2(s)}{\zeta(2s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{2^{\nu(n)}}{n^s}</math>, где <math>\displaystyle \nu(n)</math> — число простых делителей числа <math>\displaystyle n</math>
** <math>\frac{\zeta^3(s)}{\zeta(2s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{\tau(n^2)}{n^s}</math>
** <math>\frac{\zeta^4(s)}{\zeta(2s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{(\tau(n))^2}{n^s}</math>
* При <math>\operatorname{Re}\,s> 2</math>
** [[Функция Эйлера|<math>\frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{\varphi(n)}{n^s}</math>]], где [[Функция Эйлера|<math>\displaystyle \varphi(n)</math>]] —[[ функция Эйлера]]
* <math>\displaystyle \zeta(s)</math> имеет в точке <math>\displaystyle s=1</math> простой полюс с [[Вычет (комплексный анализ)|вычетом]], равным 1.
* При натуральных <math>s</math> верна следующая формула:
** <math>\sum_{n=1}^\infty \frac{\lfloor \sqrt[s]{n}\rfloor}{n(n+1)} = \zeta(s)</math><ref>{{Cite web|url=https://t.me/prakta2007/931|title=Практикум 5-11 [НАСТОЯЩЕЕ советское образование]|website=Telegram|access-date=2025-03-07}}</ref>

* Дзета-функция при <math>\displaystyle s\ne 0, s\ne 1</math> удовлетворяет уравнению:
*: <math>\zeta(s) = 2^s \pi^{s-1} \sin\left( {\pi s \over 2} \right) \Gamma(1-s) \zeta(1-s)</math>,
:: где <math>\displaystyle \Gamma(z)</math> — [[гамма-функция Эйлера]]. Это уравнение называется ''функциональным уравнением Римана'', хотя последний и не является ни его автором, ни тем, кто его первым строго доказал<ref>{{статья |автор=Благушин Я. В. |заглавие=История функционального уравнения дзета-функции и роль различных математиков в его доказательстве |издание=Семинары по истории математики санкт-петербургского отделения математического института им. В. А. Стеклова РАН |год=2018 |ссылка=http://www.mathnet.ru/php/seminars.phtml?&presentid=19339&option_lang=rus |archivedate=2018-05-02 |archiveurl=https://web.archive.org/web/20180502211521/http://www.mathnet.ru/php/seminars.phtml?&presentid=19339&option_lang=rus }}</ref>.
* Для функции
*: <math>\xi(s)=\frac{1}{2}\pi^{-s/2}s(s-1)\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\zeta(s)</math>,
: введённой Риманом для исследования <math>\displaystyle \zeta(s)</math> и называемой ''кси-функцией Римана'', это уравнение принимает вид:
:: <math>\displaystyle \ \xi(s)=\xi(1-s)</math>.

=== Нули дзета-функции ===
{{main|Гипотеза Римана}}

Как следует из функционального уравнения Римана, в полуплоскости <math>\operatorname{Re}\,s < 0</math> функция <math>\zeta(s)</math> имеет лишь простые [[нуль функции|нули]] в отрицательных чётных точках: <math>0 = \zeta(-2) = \zeta(-4) = \zeta(-6) = \dots</math>. Эти нули называются «тривиальными» нулями дзета-функции. Далее, <math>\zeta(s) \neq 0</math> при вещественных <math>s \in (0,1)</math>. Следовательно, все «нетривиальные» нули дзета-функции являются комплексными числами. Кроме того, они обладают свойством симметрии относительно вещественной оси и относительно вертикали <math>\operatorname{Re}\,s = \frac 1 2</math> и лежат в полосе <math>0 \leqslant \operatorname{Re}\,s \leqslant 1</math>, которая называется '''критической полосой'''. Согласно [[Гипотеза Римана|гипотезе Римана]], они все находятся на '''критической прямой''' <math>\operatorname{Re}\,s = \frac 1 2</math>.

== Представления конкретных значений ==
=== ζ(2) ===
{{см. также|Ряд обратных квадратов}}
Из формулы <math>2\zeta(2m) = (-1)^{m+1} \frac{(2\pi)^{2m}}{(2m)!} B_{2m}</math>, где <math>\displaystyle B_{2m}</math> — [[число Бернулли]], получаем, что <math>\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}</math>.
==== Другие представления в виде рядов ====
Ниже приведены другие ряды, сумма которых равна <math>\zeta(2)</math><ref name="MWZETA2">{{cite web|title=Riemann Zeta Function \zeta(2)|url=http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunctionZeta2.html|author=Weisstein, Eric W.|website=MathWorld|accessdate=2018-04-29|archive-date=2018-04-29|archive-url=https://web.archive.org/web/20180429093037/http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunctionZeta2.html|url-status=live}}</ref>:

:<math>\begin{align}
  \zeta(2) &= 3 \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2 \binom{2k}{k}} \\
 \end{align}</math>

:<math>\begin{align}
  \zeta(2) &= \sum_{i=1}^\infty \sum_{j=1}^\infty \frac{(i-1)! (j-1)!}{(i+j)!}
 \end{align}</math>

Существуют также представления для <math>\zeta(2)</math> вида [[Формула Бэйли — Боруэйна — Плаффа|формулы Бэйли — Боруэйна — Плаффа]], позволяющие в некоторых [[Позиционная система счисления|системах счисления]] вычислять <math>k</math>-й знак его записи без вычисления предыдущих<ref name="MWZETA2" />:

:<math>\begin{align}
  \zeta(2)=\frac{27}{4} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{64^{k}}\left[\frac{16}{(6 k+1)^{2}}-\frac{24}{(6 k+2)^{2}}-\frac{8}{(6 k+3)^{2}}-\frac{6}{(6 k+4)^{2}}+\frac{1}{(6 k+5)^{2}}\right]
\end{align}</math>
:<math>\begin{align}
  \zeta(2)=\frac{4}{9} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{729^{k}}\left[\frac{243}{(12 k+1)^{2}}-\frac{405}{(12 k+2)^{2}}-\frac{81}{(12 k+4)^{4}}-\frac{27}{(12 k+5)^{2}}-\right.\\
-\left.\frac{72}{(12 k+6)^{2}}-\frac{9}{(12 k+7)^{2}}-\frac{9}{(12 k+8)^{2}}-\frac{5}{(12 k+10)^{2}}+\frac{1}{(12 k+11)^{2}}\right]
\end{align}</math>

==== Интегральные представления ====
Дзета-функция представима в виде интеграла при <math>{\rm Re}\, s>0</math> :

<math>\zeta(s+1) = \frac{1}{\Gamma(s+1)}\int_{0}^{1}\frac{(-\ln(1-x))^{s}}{x}dx</math>

Ниже приведены формулы для <math>\zeta(2)</math> с участием [[интеграл]]ов, полученные с использованием дзета-функции Римана<ref>{{cite arXiv|author1=Connon D. F.|title=Некоторые ряды и интегралы, включающие Дзета-функцию Римана, биномиальные коэффициенты и гармонические числа (часть I)|date=2007 |class=math.HO |eprint=0710.4022}}</ref><ref>{{cite web|title=Double Integral|author=Weisstein, Eric W.|url=http://mathworld.wolfram.com/DoubleIntegral.html|website=MathWorld|accessdate=2018-04-29|archive-date=2018-04-29|archive-url=https://web.archive.org/web/20180429093134/http://mathworld.wolfram.com/DoubleIntegral.html|url-status=live}}</ref><ref>{{cite web |title=Hadjicostas's Formula |author=Weisstein, Eric W. |url=http://mathworld.wolfram.com/HadjicostassFormula.html |website=MathWorld |accessdate=2018-04-29 |archive-date=2018-04-29 |archive-url=https://web.archive.org/web/20180429092725/http://mathworld.wolfram.com/HadjicostassFormula.html |url-status=live }}</ref>:

:<math> \begin{align}
  \zeta(2) & = -\int_0^1 \frac{\log x}{1-x} \, dx \\[6pt]
     & = \int_0^{\infty} \frac{x}{e^x-1} \, dx \\[6pt]
     & = \int_0^1 \frac{(\log x)^2}{(1+x)^2} \, dx \\[6pt]
     & = 2 + 2\int_1^{\infty} \frac{\lfloor x \rfloor -x}{x^3} \, dx \\[6pt]
     & = \exp\left(2 \int_2^{\infty} \frac{\pi(x)}{x(x^2-1)} \,dx\right) \\[6pt]
     & = \int_0^1 \int_0^1 \frac{dx \, dy}{1-xy} \\[6pt]
     & = \frac{4}{3} \int_0^1 \int_0^1 \frac{dx \, dy}{1-(xy)^2} \\[6pt]
     & = \int_0^1 \int_0^1 \frac{1-x}{1-xy} \, dx \, dy + \frac{2}{3}.
 \end{align}</math>

==== Цепные дроби ====

Некоторые из представлений <math>\zeta(2)</math> в виде цепных дробей были получены в связи с аналогичными представлениями для [[Константа Апери|константы Апери]] <math>\zeta(3)</math>, дающими возможность доказать её иррациональность.

:<math>\zeta(2) = \cfrac{2}{1 + \cfrac{1^4}{3+\cfrac{2^4}{5+\cfrac{3^4}{7+\cfrac{\dots}{\dots+\cfrac{n^4}{(2n-1)+\dots}}}}}} </math> <ref name="Mathematical Constants">{{Cite web |url=https://kupdf.net/download/steven-r-finch-mathematical-constants-bookfi-org_58ea8468dc0d601d24da97f8_pdf/ |title=Steven R. Finch Mathematical Constants 1.4.4 |access-date=2020-08-10 |archive-date=2020-11-28 |archive-url=https://web.archive.org/web/20201128015846/https://kupdf.net/download/steven-r-finch-mathematical-constants-bookfi-org_58ea8468dc0d601d24da97f8_pdf/ |url-status=live }}</ref>

:<math>\zeta(2) = 1+\cfrac{1}{1 + \cfrac{1^2}{1+\cfrac{1\cdot2}{1+\cfrac{2^2}{1+\cfrac{2\cdot3}{1+\cfrac{3^2}{1+\cfrac{\dots}{\dots+\cfrac{n^2}{1+\cfrac{n\cdot (n+1)}{1+\dots}}}}}}}}} </math> <ref name="Mathematical Constants" />

:<math>\zeta(2) = \cfrac{5}{3 + \cfrac{1^4}{25+\cfrac{2^4}{69+\cfrac{3^4}{135+\cfrac{\dots}{\dots+\cfrac{n^4}{(11n^2-11n+3)+\dots}}}}}} </math><ref>{{cite web|title=Continued fractions for Zeta(2) and Zeta(3)|url=https://tpiezas.wordpress.com/2012/05/04/continued-fractions-for-zeta2-and-zeta3/|website=tpiezas: A COLLECTION OF ALGEBRAIC IDENTITIES|date=2012-05-04 |accessdate=2018-04-29|archive-date=2018-04-29|archive-url=https://web.archive.org/web/20180429093327/https://tpiezas.wordpress.com/2012/05/04/continued-fractions-for-zeta2-and-zeta3/|url-status=live}}</ref>{{unreliable source|date=February 2020}}

:<math>\zeta(2) = \frac{5}{3}+\cfrac{1}{25 + \cfrac{1^4}{69+\cfrac{2^4}{135+\cfrac{3^4}{223+\cfrac{\dots}{\dots+\cfrac{n^4}{(11n^2+11n+3)+\dots}}}}}} </math><ref name="автоссылка1">{{Citation 
 |first=Alfred 
 |last=van der Poorten 
 |author-link=Alfred van der Poorten 
 |title=A proof that Euler missed ... Apéry's proof of the irrationality of {{math|''ζ''(3)}} 
 |journal=[[The Mathematical Intelligencer]] 
 |volume=1 
 |issue=4 
 |year=1979 
 |pages=195–203 
 |doi=10.1007/BF03028234 
 |url=http://www.maths.mq.edu.au/~alf/45.pdf 
 |access-date=2020-08-08 
 |archive-date=2011-07-06 
 |archive-url=https://web.archive.org/web/20110706114957/http://www.maths.mq.edu.au/~alf/45.pdf 
 |url-status=dead 
 }}</ref>

=== ζ(3) ===
{{основная статья|Постоянная Апери}}
Одним из наиболее коротких представлений является <math>\zeta(3) = -\frac{\psi^{(2)}(1)}{2}</math>, получаем, что <math>\zeta(3) \approx 1.2020569031595942853997381615114499907649862923404988817922715553...</math> , где <math>\psi</math> — [[полигамма-функция]].

==== Интегральные представления ====

<math> \begin{align}
  \zeta(3) & = \int_0^1 \frac{\ln x \ln(1-x)}{x} \, dx \\[6pt]
     & = \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{\ln^2 x}{1-x} \, dx \\[6pt]
     & = - \frac{1}{6} \int_0^1 \frac{\ln^3 x}{(1-x)^2} \, dx
 \end{align}</math>

==== Цепные дроби ====
[[Цепная дробь]] для константы Апери ({{OEIS|A013631}}) выглядит следующим образом:
: <math>\zeta(3) = [1; 4, 1, 18, 1, 1, 1, 4, 1, 9, 9, 2, 1, 1, 1, 2, 7, 1, 1, 7, 11, 1, 1, 1,\cdots] =</math>
: <math>= 1+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{18+\cfrac{1}{1+\ldots}}}}\;</math>
Первую [[Цепная дробь#Вариации и обобщения|обобщённую цепную дробь]] для константы Апери, имеющую закономерность, открыли независимо [[Стилтьес, Томас Иоаннес|Стилтьес]] и [[Рамануджан]]:
:<math>\zeta(3) = 1 + \cfrac{1}{4+\cfrac{1^3}{1+\cfrac{1^3}{12+\cfrac{2^3}{1 + \cfrac{2^3}{20+\cfrac{3^3}{1+\cfrac{3^3}{28+\cfrac{\dots}{\dots+\cfrac{n^3}{1+\cfrac{n^3}{4(2n+1)+\dots}}}}}}}}}} </math>
Она может быть преобразована к виду:
:<math>\zeta(3) = 1 + \cfrac{1}{5-\cfrac{1^6}{21-\cfrac{2^6}{55-\cfrac{3^6}{119-\cfrac{4^6}{225-\cfrac{\dots}{\dots+\cfrac{n^6}{(2n^3+3n^2+11n+5)+\dots}}}}}}} </math>

Апери смог ускорить сходимость цепной дроби для константы:
:<math>\zeta(3) = \frac{6}{5}-\cfrac{1^6}{117 - \cfrac{2^6}{535-\cfrac{3^6}{1436-\cfrac{4^6}{3105-\cfrac{\dots}{\dots+\cfrac{n^6}{(34n^3+51n^2+27n+5)+\dots}}}}}} </math><ref>{{Cite web |url=https://kupdf.net/download/steven-r-finch-mathematical-constants-bookfi-org_58ea8468dc0d601d24da97f8_pdf/ |title=Steven R. Finch Mathematical Constants 1.6.6 |access-date=2020-08-10 |archive-date=2020-11-28 |archive-url=https://web.archive.org/web/20201128015846/https://kupdf.net/download/steven-r-finch-mathematical-constants-bookfi-org_58ea8468dc0d601d24da97f8_pdf/ |url-status=live }}</ref><ref name="автоссылка1" />

=== ζ(4) ===
Из формулы <math>2\zeta(2m) = (-1)^{m+1} \frac{(2\pi)^{2m}}{(2m)!} B_{2m}</math>, где <math>\displaystyle B_{2m}</math> — [[число Бернулли]], получаем, что <math>\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}</math>.

=== ζ(5) ===
Одним из наиболее коротких представлений является <math>\zeta(5) = -\frac{\psi^{(4)}(1)}{24}</math>, получаем, что <math>\zeta(5) \approx 1.0369277551433699263313654864570341680570809195019128119741926779...</math> , где <math>\psi</math> — [[полигамма-функция]].

== Обобщения ==
Существует довольно большое количество специальных функций, связанных с дзета-функцией Римана, которые объединяются общим названием [[дзета-функции]] и являются её обобщениями. Например:

* '''[[Дзета-функция Гурвица]]''':
*: <math>\zeta(s,q) = \sum_{k=0}^\infty (k+q)^{-s},</math>
: которая совпадает с дзета-функцией Римана при {{math|''q''}} = 1 (так как суммирование ведётся от 0, а не от 1).

* '''[[Полилогарифм]]''':
*: <math>\mathrm{Li}_s(z) = \sum_{k=1}^\infty {z^k \over k^s},</math>
: который совпадает с дзета-функцией Римана при {{math|''z''}} = 1.

* '''[[:en:Lerch zeta function|Дзета-функция Лерха]]''':
*: <math>\Phi(z, s, q) = \sum_{k=0}^\infty \frac { z^k} {(k+q)^s},</math>
: которая совпадает с дзета-функцией Римана при {{math|''z''}} = 1 и {{math|''q''}} = 1 (так как суммирование ведётся от 0, а не от 1).

* '''[[Квантовый аналог дзета-функции|Квантовый аналог]]''' ({{math|''q''}}-аналог).

== Аналогичные конструкции ==
В теории гауссовых [[Интеграл по траекториям|интегралов по траекториям]] возникает задача регуляризации [[Детерминант (математика)|детерминантов]]. Одним из подходов к её решению является введение дзета-функции оператора{{sfn|Тахтаджян|2011|c=348}}. Пусть <math>A</math> — неотрицательно определённый [[самосопряжённый оператор]], имеющий чисто дискретный спектр <math>\mathrm{spec} A = \mathrm{diag} \{\lambda_1, \lambda_2, \dots \}</math>. Причём существует [[вещественное число]] <math>\alpha > 0</math>, такое, что оператор <math>(I + A)^{- \alpha}</math> имеет [[След оператора|след]]. Тогда дзета-функция <math>\zeta_A(s)</math> оператора <math>A</math> определяется для произвольного [[комплексные числа|комплексного числа]] <math>s</math>, лежащего в полуплоскости <math>\mathrm{Re} s > \alpha</math>, может быть задана сходящимся рядом
: <math>\zeta_A(s) = \sum_{\lambda_n \neq 0} \frac{1}{\lambda_n^s}</math>
Если заданная таким образом функция допускает аналитическое продолжение на область, содержащую некоторую окрестность точки <math>s = 0</math>, то на её основе можно определить регуляризованный детерминант оператора <math>A</math> в соответствии с формулой
: <math>\det \,'A = e^{- \frac{d\zeta_A}{ds}(0)}.</math>

== История ==
Как функция вещественной переменной дзета-функция была введена в 1737 году [[Эйлер, Леонард|Эйлером]], который и указал её разложение в произведение.
Затем эта функция рассматривалась [[Дирихле]] и, особенно успешно, [[Чебышёв, Пафнутий Львович|Чебышёвым]] при изучении закона распределения простых чисел.
Однако наиболее глубокие свойства дзета-функции были обнаружены позднее, после работы [[Риман, Георг Фридрих Бернхард|Римана]] (1859), где дзета-функция рассматривалась как функция комплексного переменного.

== См. также ==
* '''[[:en:List of zeta functions|Список всех дзета-функций]]'''

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга |автор=Дербишир Дж.|издательство=М.: Астрель |год=2010 |страниц=464 |isbn=978-5-271-25422-2
  |заглавие=Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешённая проблема в математике }}.
* {{книга |автор = {{nobr|Тахтаджян Л. А.}} |заглавие = Квантовая механика для математиков |ответственный = Перевод с английского к.ф.-м.н. {{nobr|С. А. Славнов}} |место = {{М.}}—Ижевск |издание = Изд. 2-е |издательство = НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Ижевский институт компьютерных исследований |год = 2011 |страниц = 496 |isbn = 978-5-93972-900-0 |ref = Тахтаджян}}
* {{ЯнкеЭмдеЛёш|год=1977}}

== Ссылки ==
* {{MathWorld|RiemannZetaFunction|Riemann Zeta Function|author=Jonathan Sondow and Eric W. Weisstein}}

[[Категория:Дзета- и L-функции]]