Просмотр кода страницы Диагональный функтор

'''Диагональный функтор''' — [[функтор (математика)|функтор]], в некотором смысле являющийся обобщением [[декартово произведение множеств#Декартова степень|декартовой степени множества]].

Диагональный функтор <math>\Delta \colon \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{C}^\mathcal{J}</math> (<math>\mathcal{C}^\mathcal{J}</math> — [[категория функторов]] из [[Малая категория|малой категории]] <math>\mathcal{J}</math> в произвольную категорию <math>\mathcal{C}</math>) сопоставляет каждому объекту категории <math>\mathcal{C}</math> постоянный функтор, отправляющий все объекты <math>\mathcal{J}</math> в этот объект, а все морфизмы — в тождественный морфизм. Каждому морфизму в <math>\mathcal{C}</math> он сопоставляет очевидное [[естественное преобразование]] функторов. Часто рассматривают случай, когда <math>\mathcal{J}</math> — дискретная категория из двух объектов, в этом случае получается функтор <math>\mathcal{C} \rightarrow \mathcal{C} \times \mathcal{C}</math>.

Диагональный функтор предоставляет способ определить [[предел (теория категорий)|пределы и копределы]] функторов. Операция взятия предела [[диаграмма (теория категорий)|диаграммы]] типа <math>\mathcal{J}</math> (если все пределы этого типа в категории существуют) — это функтор <math>\mathcal{C}^\mathcal{J} \rightarrow \mathcal{C}</math>, оказывается что функтор предела является [[сопряженные функторы|правым сопряжённым]] к диагональному функтору. Соответственно, функтор копредела, если все копределы нужного типа существуют, — левый сопряжённый к диагональному.

== Литература ==
* {{книга:Категории для работающего математика|3|с=81}}

[[Категория:Теория категорий]]