Диагональный функтор

Диагональный функтор — функтор, в некотором смысле являющийся обобщением декартовой степени множества.

Диагональный функтор $\mathrm{\Delta }:𝒞\to {𝒞}^{𝒥}$ (${𝒞}^{𝒥}$ — категория функторов из малой категории $𝒥$ в произвольную категорию $𝒞$) сопоставляет каждому объекту категории $𝒞$ постоянный функтор, отправляющий все объекты $𝒥$ в этот объект, а все морфизмы — в тождественный морфизм. Каждому морфизму в $𝒞$ он сопоставляет очевидное естественное преобразование функторов. Часто рассматривают случай, когда $𝒥$ — дискретная категория из двух объектов, в этом случае получается функтор $𝒞\to 𝒞\times 𝒞$.

Диагональный функтор предоставляет способ определить пределы и копределы функторов. Операция взятия предела диаграммы типа $𝒥$ (если все пределы этого типа в категории существуют) — это функтор ${𝒞}^{𝒥}\to 𝒞$, оказывается что функтор предела является правым сопряжённым к диагональному функтору. Соответственно, функтор копредела, если все копределы нужного типа существуют, — левый сопряжённый к диагональному.

Литература

• Шаблон:Книга:Категории для работающего математика