Просмотр кода страницы Диаграмма Венна

{{Не путать|Диаграмма Эйлера|диаграммой Эйлера}}
[[Файл:Venn diagram showing Greek, Latin and Cyrillic letters.svg|alt=Общей также является буква К|thumb|217x217px|'''Диаграмма Венна''', показывающая все пересечения [[Греческий алфавит|греческого]], [[Русский алфавит|русского]] и [[Латинский алфавит|латинского]] алфавитов (буквы заглавные)]]
'''Диаграмма Венна''' (также используется название '''диаграмма Эйлера — Венна''') — схематичное изображение всех возможных [[Отношение (теория множеств)|отношений]] ([[Объединение множеств|объединение]], [[Пересечение множеств|пересечение]],
[[Разность множеств|разность]], [[симметрическая разность]]) нескольких (часто — трёх) [[подмножество|подмножеств]] [[универсальное множество|универсального множества]]. На диаграммах Венна универсальное множество <math>U</math> изображается множеством точек некоторого прямоугольника, в котором располагаются в виде кругов или других простых фигур все остальные рассматриваемые множества{{sfn|Столл|с=25|1968}}{{sfn|Нефедов|с=8|1992}}.

Диаграммы Венна применяются при решении задач вывода логических следствий из посылок, выражаемых на языке формул классического исчисления высказываний и классического исчисления одноместных предикатов{{sfn|Кузичев|с=106|1968}}, для:
* описания функционирования формальных [[Искусственный нейрон|нейронов Мак-Каллока]] и сетей из них{{sfn|Кузичев|с=171|1968}};
* синтеза надежных сетей из не вполне надежных элементов{{sfn|Кузичев|с=134|1968}};
* построения управляющих и самоуправляющихся систем и блочного анализа и синтеза сложных устройств{{sfn|Кузичев|с=9|1968}};
* получения логических следствий из заданной информации, минимизации формул исчислений{{sfn|Кузичев|с=97|1968}}{{sfn|Столл|с=26|1968}}.

Диаграммы Венна при помощи <math>n</math> фигур изображают все <math>2^n</math> комбинаций <math>n</math> свойств, то есть конечную [[Булева алгебра|булеву алгебру]]{{sfn|Кузичев|с=57|1968}}. При <math>n=3</math> диаграмма Эйлера — Венна обычно изображается в виде трёх [[круг]]ов с [[Центральная симметрия|центрами]] в вершинах [[Правильный треугольник|равностороннего треугольника]] и одинаковым [[радиус]]ом, приблизительно равным длине стороны треугольника.

Дальнейшим развитием аппарата диаграмм Венна в классическом исчислении высказываний является аппарат [[Вероятностная диаграмма|вероятностных диаграмм]] {{sfn|Кузичев|с=124|1968}}, понятие сети диаграмм, использующей диаграммы Венна как операторы{{sfn|Кузичев|=114|1968}}.

Они появились в сочинениях английского логика [[Венн, Джон|Джона Венна]] ([[1834]]—[[1923]]), подробно изложившего их в книге «Символическая логика», изданной в [[Лондон]]е в [[1881 год]]у.

== Связь диаграмм Эйлера и Венна ==
[[Файл:Syllogism-Set-Diagrams.svg|thumb|Пример получения произвольных кругов Эйлера из диаграмм Венна с пустыми (чёрными) множествами]]
[[Файл:Venn and Euler diagrams of 3-ary Boolean relations.svg|thumb|300px|22 (из 256) существенно различных диаграмм Венна с 3 кругами ''(сверху)'' и соответствующие им ''диаграммы Эйлера'' ''(снизу)'']]

[[Диаграммы Эйлера]] в отличие от диаграмм Венна изображают отношения между [[Множество|множествами]]: [[непересекающиеся множества]] изображены непересекающимися кругами, а [[подмножество|подмножества]] изображены вложенными кругами.

Диаграммы Венна основаны на существенно иной идее, чем круги Эйлера{{sfn|Кузичев|с=25|1968}}. Круги Эйлера возникли на основе идей [[Силлогистика|силлогистики]] Аристотеля. Диаграммы Венна были созданы для решения задач [[Математическая логика|математической логики]]. Их основная идея разложения на конституенты возникла на основе алгебры логики{{sfn|Кузичев|с=25|1968}}.

На рис. ниже даны диаграммы Эйлера и Венна для 3 множеств однозначных натуральных чисел:
* <math>A = \{1,\, 2,\, 5\}</math>
* <math>B = \{1,\, 6\}</math>
* <math>C = \{4,\, 7\}</math>
<gallery widths="300">
File:3-set Euler diagram.svg|диаграмма Эйлера
File:3-set Venn diagram.svg|диаграмма Венна
</gallery>

Иногда, если какая-то комбинация свойств соответствует пустому множеству, то эту комбинацию закрашивают.
На рисунке справа даны 22 существенно различных диаграмм Венна с 3 кругами ''(сверху)'' и соответствующие им ''[[диаграммы Эйлера]]'' ''(снизу)''.
Некоторые из диаграмм Эйлера не типичны, а некоторые даже эквивалентны ''диаграммам Венна''. Черные области указывают на то, что в них нет элементов (пустые множества).

== См. также ==
* [[Диаграмма Эйлера]]
* [[Карта Карно]]

== Примечания ==
{{Примечания|2}}

== Ссылки ==
* {{MathWorld|VennDiagram|«Диаграмма Венна»}}
* [http://numb3rs.wolfram.com/412/ Эпизод 412] {{Wayback|url=http://numb3rs.wolfram.com/412/ |date=20120421205731 }} сериала [[Numb3rs]] — изображение диаграмм Венна для <math>n=5,\;7,\;11</math>.
* [http://uunn.ru/old-site/venn/ Построение диаграмм Венна on-line] {{Wayback|url=http://uunn.ru/old-site/venn/ |date=20160518130810 }} для <math>n=3, 4, 5</math> и исходный код.

== Литература ==
* {{книга | автор = [[Столл, Роберт|Столл Р.]]| заглавие = Множества, логика, аксиоматические теории| место = М. | издательство  = Мир | год = 1968 | страниц = 231| isbn = | ref = Столл}}
* {{книга | автор = [[Нефедов, Виктор Николаевич|Нефедов В.Н.]], [[Осипова, Виктория Аркадьевна|Осипова В.А.]]| заглавие = Курс дискретной математики| место = М. | издательство  = МАИ | год = 1992 | страниц = 264| isbn = 5-7035-0157-X | ref = Нефедов}}
* {{книга | автор = [[Кузичев, Александр Сергеевич|Кузичев А. С.]]| заглавие = Диаграммы Венна. История и применения| место = М. | издательство  = Наука | год = 1968 | страниц = 249| isbn = | ref = Кузичев}}

{{логика}}
{{Теория множеств}}
[[Категория:Математическая логика]]
[[Категория:Диаграммы]]