Диаграмма Венна

Диаграмма Венна, показывающая все пересечения греческого, русского и латинского алфавитов (буквы заглавные)

Диаграмма Венна (также используется название диаграмма Эйлера — Венна) — схематичное изображение всех возможных отношений (объединение, пересечение, разность, симметрическая разность) нескольких (часто — трёх) подмножеств универсального множества. На диаграммах Венна универсальное множество $U$ изображается множеством точек некоторого прямоугольника, в котором располагаются в виде кругов или других простых фигур все остальные рассматриваемые множестваШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Диаграммы Венна применяются при решении задач вывода логических следствий из посылок, выражаемых на языке формул классического исчисления высказываний и классического исчисления одноместных предикатовШаблон:Sfn, для:

• описания функционирования формальных нейронов Мак-Каллока и сетей из нихШаблон:Sfn;
• синтеза надежных сетей из не вполне надежных элементовШаблон:Sfn;
• построения управляющих и самоуправляющихся систем и блочного анализа и синтеза сложных устройствШаблон:Sfn;
• получения логических следствий из заданной информации, минимизации формул исчисленийШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Диаграммы Венна при помощи $n$ фигур изображают все $2^n$ комбинаций $n$ свойств, то есть конечную булеву алгебруШаблон:Sfn. При $n=3$ диаграмма Эйлера — Венна обычно изображается в виде трёх кругов с центрами в вершинах равностороннего треугольника и одинаковым радиусом, приблизительно равным длине стороны треугольника.

Дальнейшим развитием аппарата диаграмм Венна в классическом исчислении высказываний является аппарат вероятностных диаграмм Шаблон:Sfn, понятие сети диаграмм, использующей диаграммы Венна как операторыШаблон:Sfn.

Они появились в сочинениях английского логика Джона Венна (1834—1923), подробно изложившего их в книге «Символическая логика», изданной в Лондоне в 1881 году.

Связь диаграмм Эйлера и Венна

Пример получения произвольных кругов Эйлера из диаграмм Венна с пустыми (чёрными) множествами

22 (из 256) существенно различных диаграмм Венна с 3 кругами (сверху) и соответствующие им диаграммы Эйлера (снизу)

Диаграммы Эйлера в отличие от диаграмм Венна изображают отношения между множествами: непересекающиеся множества изображены непересекающимися кругами, а подмножества изображены вложенными кругами.

Диаграммы Венна основаны на существенно иной идее, чем круги ЭйлераШаблон:Sfn. Круги Эйлера возникли на основе идей силлогистики Аристотеля. Диаграммы Венна были созданы для решения задач математической логики. Их основная идея разложения на конституенты возникла на основе алгебры логикиШаблон:Sfn.

На рис. ниже даны диаграммы Эйлера и Венна для 3 множеств однозначных натуральных чисел:

• $A=\{1,2,5\}$
• $B=\{1,6\}$
• $C=\{4,7\}$

• 
  диаграмма Эйлера
• 
  диаграмма Венна

Иногда, если какая-то комбинация свойств соответствует пустому множеству, то эту комбинацию закрашивают. На рисунке справа даны 22 существенно различных диаграмм Венна с 3 кругами (сверху) и соответствующие им диаграммы Эйлера (снизу). Некоторые из диаграмм Эйлера не типичны, а некоторые даже эквивалентны диаграммам Венна. Черные области указывают на то, что в них нет элементов (пустые множества).

См. также

• Диаграмма Эйлера
• Карта Карно

Ссылки

• Шаблон:MathWorld
• Эпизод 412 Шаблон:Wayback сериала Numb3rs — изображение диаграмм Венна для $n=5,7,11$.
• Построение диаграмм Венна on-line Шаблон:Wayback для $n=3,4,5$ и исходный код.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга