Универсальное множество

Универса́льное мно́жество — в математике множество, содержащее все объекты и все множества. В тех аксиоматиках, в которых универсальное множество существует, оно единственно.

Универсальное множество обычно обозначается $𝕌$ (от Шаблон:Lang-en), реже $𝔼$.

В аксиоматике Цермело — Френкеля парадокс Рассела со схемой выделения и парадокс Кантора показывают, что предположение о существовании такого множества ведёт к противоречию.

В аксиоматике фон Неймана — Бернайса — Гёделя существует универсальный класс — класс всех множеств, но множеством он не является. Класс всех множеств является классом объектов категории Set.

В некоторых аксиоматиках существует универсальное множество, но при этом схема выделения не выполняется. Примером является теория Шаблон:Iw У. В. О. Куайна.

Также универсальным множеством называют множество объектов, рассматриваемых в каком-либо разделе математики. Для элементарной арифметики универсальным множеством является множество целых чисел, для аналитической геометрии плоскости универсальным множеством является множество всех упорядоченных пар действительных чиселШаблон:Sfn.

На диаграммах Венна универсальное множество (в обоих значениях) изображается множеством точек некоторого прямоугольника; подмножества его точек изображают подмножества универсального множестваШаблон:Sfn.

В дальнейшем речь идёт о первом значении термина. Нижеприведённые формулы (за исключением $𝕌\in 𝕌$) верны и для второго значения, если через $a$ и $A$ обозначены соответственно любой элемент и любое подмножество множества $𝕌$.

Свойства универсального множества

$𝕌={\varnothing }^{\complement }$

$A^{\complement }=𝕌\setminus A$

• Любой объект, какова бы ни была его природа, является элементом универсального множества.

  $\mathrm{\forall }a:a\in 𝕌$

• В частности, само универсальное множество содержит себя в качестве одного из многих элементов.

  $𝕌\in 𝕌$

• Любое множество является подмножеством универсального множества.

  $\mathrm{\forall }A:A\subseteq 𝕌$

• В частности, само универсальное множество является своим подмножеством.

  $𝕌\subseteq 𝕌$

• Объединение универсального множества с любым множеством равно универсальному множеству.

  $\mathrm{\forall }A:𝕌\cup A=𝕌$

• В частности, объединение универсального множества с самим собой равно универсальному множеству.

  $𝕌\cup 𝕌=𝕌$

• Объединение любого множества с его дополнением равно универсальному множеству.

  $A\cup A^{\complement }=𝕌$

• Пересечение универсального множества с любым множеством равно последнему множеству.

  $\mathrm{\forall }A:𝕌\cap A=A$

• В частности, пересечение универсального множества с самим собой равно универсальному множеству.

  $𝕌\cap 𝕌=𝕌$

• Исключение универсального множества из любого множества равно пустому множеству.

  $\mathrm{\forall }A:A\setminus 𝕌=\varnothing$

• В частности, исключение универсального множества из себя равно пустому множеству.

  $𝕌\setminus 𝕌=\varnothing$

• Исключение любого множества из универсального множества равно дополнению этого множества.

  $\mathrm{\forall }A:𝕌\setminus A=A^{\complement }$

• Дополнение универсального множества есть пустое множество.

  ${𝕌}^{\complement }=\varnothing$

• Симметрическая разность универсального множества с любым множеством равна дополнению последнего множества.

  $\mathrm{\forall }A:𝕌\mathrm{△}A=A^{\complement }$

• В частности, симметрическая разность универсального множества с самим собой равна пустому множеству.

  $𝕌\mathrm{△}𝕌=\varnothing$

Виды

• Дизъюнктивно-универсальное множество (ДУМ) G порядка n и ранга p — это множество функций алгебры логики (ФАЛ) такое, что для любой $g\in P_2(n)$ существует набор функций $g_1,\dots ,g_p\in G$ такой, что:

$g=g_1\vee \dots \vee g_p$

См. также

• Аксиоматика теории множеств
• Парадокс Рассела

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга