Просмотр кода страницы Дискриминант алгебраического числового поля

[[Файл:Discriminant49CubicFieldFundamentalDomain.png|thumb|300px|right|Фундаментальная область кольца целых чисел поля ''K'', полученного из <math>\Q</math> путём присоединения корня <math>x^3 - x^2 - 2x + 1</math>. Эта фундаментальная область находится внутри <math>{K{\otimes}_\Q}\R</math>. Дискриминант поля ''K'' равен 49&nbsp;=&nbsp;7<sup>2</sup>. Соответственно, объём фундаментальной области равен 7 и ''K'' разветвляется только {{не переведено 5|Разветвление (математика)|разветвляется||Ramification (mathematics)}} в точке 7.]]
'''Дискриминант [[Алгебраическое числовое поле|алгебраического числового поля]]''' — это числовой [[Инвариант (математика)|инвариант]], который, грубо говоря, измеряет размер ([[Кольцо целых чисел|кольца целых чисел]]) алгебраического числового поля. Более конкретно, он пропорционален квадрату объёма  [[Фундаментальная область|фундаментальной области]] кольца целых чисел и он определяет, какие [[Простое число|простые числа]] {{не переведено 5|Разветвление (математика)|разветвляются||Ramification (mathematics)}}.

Дискриминант является наиболее важным инвариантом числового поля и появляется в некоторых важных [[Аналитическая теория чисел|аналитических]] формулах, таких как {{не переведено 5|Функциональное уравнение (L-функция)|функциональное уравнение||functional equation (L-function)}} [[Дзета-функция Дедекинда|дзета-функции Дедекинда]] поля ''K'' и {{не переведено 5|формула для числа классов|||analytic class number formula}} поля ''K''. Старая теорема [[Эрмит, Шарль|Эрмита]] утверждает, что имеется лишь конечное число числовых полей с ограниченным дискриминантом, однако определение этого числа остаётся [[Открытая проблема|открытой проблемой]] и является предметом исследований{{sfn|Cohen, Diaz y Diaz, Olivier|2002}}.

Дискриминант поля ''K'' может называться '''абсолютным дискриминантом''' поля ''K'' для того, чтобы отличить его от '''относительного дискриминанта''' [[Расширение поля|расширения]] ''K''/''L'' числовых полей. Последнее является [[Идеал (алгебра)|идеалом]] в кольце целых чисел поля ''L'' и подобно абсолютному дискриминанту показывает, какие простые числа разветвляются в ''K''/''L''. Он является обобщением абсолютного дискриминанта, позволяющим полю ''L'' быть больше <math>\Q</math>. Фактически, когда <math>L = \Q</math>, относительный дискриминант <math>K/\Q</math> является [[Главный идеал|главным идеалом]] кольца <math>\Z</math>, порождаемого абсолютным дискриминантом поля ''K''.

==Определение==
Пусть ''K'' будет алгебраическим числовым полем и пусть ''O''<sub>''K''</sub> будет его [[Кольцо целых чисел|кольцом целых чисел]]. Пусть <math>b_1, \dots, b_n</math> будет [[Кольцо целых чисел|целочисленным базисом]] кольца ''O''<sub>''K''</sub> (т.е. базис как [[Модуль над кольцом|'''Z'''-модуль]]), и пусть <math>\{\sigma_1, \dots, \sigma_n\}</math> — множество вложений поля ''K'' в [[Комплексное число|комплексные числа]] (т.е. [[Инъекция (математика)|инъективные]] [[Гомоморфизм колец|гомоморфизмы колец]] <math>K \rightarrow \Complex</math>). '''Дискриминант''' поля ''K'' равен [[Квадрат (алгебра)|квадрату]] [[Определитель|определителя]] ''n'' х ''n'' [[Matrix (mathematics)|матрицы]] ''B'', (''i'',''j'')-элементы которой равны <math>\sigma_i(b_j)</math>. В символической форме,
:<math>\Delta_K=\det\left(\begin{array}{cccc}
\sigma_1(b_1) & \sigma_1(b_2) &\cdots & \sigma_1(b_n) \\
\sigma_2(b_1) & \ddots & & \vdots \\
\vdots & & \ddots & \vdots \\
\sigma_n(b_1) & \cdots & \cdots & \sigma_n(b_n)
\end{array}\right)^2.
</math>
<br>
Эквивалентно, можно использовать [[След (теория полей)|след]] из ''K'' в <math>\Q</math>. В частности, определим [[След (теория полей)|форму следа]] как матрицу, (''i'',''j'')-элементы которой равны
<math>\mathbf{Tr}_{K/\Q}(b_ib_j)</math>. Эта матрица равна ''B''<sup>T</sup>''B'', так что дискриминант поля ''K'' является определителем этой матрицы.

==Примеры==
*[[Квадратичное поле|Квадратичные числовые поля]]: пусть ''d'' является [[Свободное от квадратов число|свободным от квадратов числом]], тогда дискриминант поля <math>K=\mathbf{Q}(\sqrt{d})</math> равен{{sfn|Manin, Panchishkin|2007|с=130}}
:: <math>\Delta_K=\left\{\begin{array}{ll} d &d\equiv 1\pmod 4 \\ 4d &d\equiv 2,3\pmod 4. \\\end{array}\right.</math>
:Целое число, которое появляется как дискриминант квадратичного числового поля, называется [[Фундаментальный дискриминант|фундаментальным дискриминантом]]{{sfn|Cohen|1993|с=Definition 5.1.2}}.
*[[Круговое поле|Круговые поля]]: пусть ''n''&nbsp;>&nbsp;2 является целым числом, <math>\zeta_n</math> — [[Корни из единицы|примитивным ''n''-ым корнем из единицы]], а <math>K_n = \Q(\zeta_n)</math> — ''n''-ым круговым полем. Дискриминант поля <math>K_n</math> задаётся формулой{{sfn|Manin, Panchishkin|2007|с=130}}{{sfn|Washington|1997|с=Proposition 2.7}}
:: <math>\Delta_{K_n} = (-1)^{\varphi(n)/2} \frac{n^{\varphi(n)}}{\displaystyle\prod_{p|n} p^{\varphi(n)/(p-1)}}</math>
: где <math>\varphi(n)</math> — [[функция Эйлера]], а произведение в знаменателе пробегает по всем простым ''p'', делящим ''n''.
*Степенные базисы: В случае, когда кольцо целых чисел имеет {{не переведено 5|Моногенное поле|степенной целочисленный базис||power integral basis}}, то есть может быть записано как <math>O_K = \Z[\alpha]</math>, дискриминант поля ''K'' равен [[дискриминант]]у [[Минимальный многочлен алгебраического элемента|минимального многочлена]] от <math>\alpha</math>. Чтобы это увидеть, можно выбрать целочисленный базис кольца <math>O_K</math> равным <math>b_1 = 1, b_2 = \alpha, b_3 = \alpha^2, \dots, b_n = \alpha^{n - 1}</math>. Тогда матрица в определении является [[Определитель Вандермонда|матрицей Вандермонда]], ассоциированной с <math>\alpha_i = \sigma_i(\alpha)</math>, квадрат определителя которого равен
:: <math>\prod_{1\leq i<j\leq n}(\alpha_i-\alpha_j)^2</math>
:что в точности совпадает с определением дискриминанта минимального многочлена.
*Пусть <math>K = \Q(\alpha)</math> будет числовым полем, полученным [[Расширение поля|присоединением]] [[Нуль функции|корня]] <math>\alpha</math> [[многочлен]]а <math>x^3 - x^2 - 2x - 8</math>. Данный пример является оригинальным примером [[Дедекинд, Юлиус Вильгельм Рихард|Дедекинда]] числового поля, кольцо целых чисел которого не обладает степенным базисом. Целочисленный базис задаётся как <math>\{1, \alpha, \alpha(\alpha + 1)/2\}</math>, а дискриминант поля ''K'' равен −503{{sfn|Dedekind|1878|с=30–31}}{{sfn|Narkiewicz|2004|с=64}}.
*Дублирующиеся дискриминанты: дискриминант квадратичного поля единственным образом определяет его, но в общем случае для числовых полей [[Алгебраическое числовое поле|более высокой степени]] это неверно. Например, имеется два [[Изоморфизм|неизоморфных]] {{не переведено 5|Кубическое поле|кубических поля||cubic field}} с дискриминантом 3969. Они получаются присоединением корня многочлена {{nobreak|''x''<sup>3</sup> − 21''x'' + 28}} или {{nobreak|''x''<sup>3</sup> − 21''x'' − 35}} соответственно{{sfn|Cohen|1993|с=Theorem 6.4.6}}.

==Основные результаты==
*'''Теорема Брилля'''{{sfn|Koch|1997|с=11}}: [[Знак (математика)|Знак]] дискриминанта равен <math>(-1)^{r_2}</math>, где ''r''<sub>2</sub> — число [[Алгебраическое числовое поле|комплексных точек]] поля ''K''{{sfn|Washington|1997|с=Lemma 2.2}}.
*Простое число ''p'' разветвляется в ''K'' тогда и только тогда, когда ''p'' делит <math>\Delta_K</math>{{sfn|Neukirch|1999|с= Corollary III.2.12}}.
*'''Теорема Штикельбергера'''{{sfn|Neukirch|1999|с=Exercise I.2.7}}:
:: <math>\Delta_K\equiv 0</math> или <math>1 \pmod 4.</math>
*'''{{не переведено 5|Граница Минковского|||Minkowski's bound}}'''{{sfn|Neukirch|1999|с=Proposition III.2.14}}: Пусть ''n'' обозначает {{не переведено 5|Степень расширения поля|степень||Degree of a field extension}} расширения <math>K/\Q</math>, а ''r''<sub>2</sub> обозначает число комплексных мест поля ''K'', тогда
:: <math>|\Delta_K|^{1/2}\geqslant \frac{n^n}{n!}\left(\frac{\pi}{4}\right)^{r_2} \geqslant \frac{n^n}{n!}\left(\frac{\pi}{4}\right)^{n/2}.</math>

*'''Теорема Минковского'''{{sfn|Neukirch|1999|с=Theorem III.2.17}}: Если ''K'' не равно <math>\Q</math>, тогда <math>|\Delta_K|> 1</math> (это следует прямо из границы Минковского).
*'''{{не переведено 5|Теорема Эрмита — Минковского|||Hermite–Minkowski theorem}}'''{{sfn|Neukirch|1999|с=Theorem III.2.16}}: Пусть ''N'' — положительное целое. Существует лишь конечное число (с точностью до изоморфизма) алгебраических числовых полей ''K'' с <math>|\Delta_K|< N</math>.  Снова, это следует из границы Минковского вместе с теоремой Эрмита (что существует лишь конечное число алгебраических полей с предписанным дискриминантом).

==История==
[[Файл:Dedekind.jpeg|thumb|150px|right|Ричард Дедекинд показал, что любое числовое поле обладает целочисленным базисом, что позволило ему определить дискриминант произвольного числового поля<ref name=DedekindX>Приложение X Дедекинда во втором издании книги [[Дирихле, Петер Густав Лежён|Дирихле]] [[Vorlesungen über Zahlentheorie]] (нем: Лекции по теории чисел) {{harv|Dedekind|1871}}</ref>.]]
Определение дискриминанта общего алгебраического числового поля ''K'' было дано Дедекиндом в 1871<ref name=DedekindX/>. В это время он уже знал о связи между дискриминантом и разветвлением{{sfn|Bourbaki|1994}}.

Теорема Эрмита предшествовала общему определению дискриминанта и доказательство её Шарль Эрмит опубликовал в 1857{{sfn|Hermite|1857}}. В 1877 [[Брилль, Александр Вильгельм фон|Александр фон Брилль]] определил знак детерминанта{{sfn|Brill|1877}}. [[Кронекер, Леопольд|Леопольд Кронекер]] сформулировал теорему Минковского в 1882{{sfn|Kronecker|1882}}, хотя доказательство её Герман Минковский дал лишь в 1891{{sfn|Minkowski|1891a}}. В том же году Минковский опубликовал свою границу детерминанта{{sfn|Minkowski|1891b}}. К концу девятнадцатого века {{не переведено 5|Штикельбергер, Людвиг|||Ludwig Stickelberger}} получил теорему об остатке дискриминанта по модулю четыре{{sfn|Stickelberger|1897}}<ref>Все факты этого параграфа можно найти в книге Наркиевича {{harv|Narkiewicz|2004|pp=59, 81}}</ref>.

==Относительный дискриминант==
О дискриминанте, определённом выше, иногда говорят как об ''абсолютном'' дискриминанте поля ''K'', чтобы отличить его от '''относительного дискриминанта''' <math>\Delta_K/L</math> расширения числовых полей ''K''/''L'', который является идеалом в ''O''<sub>''L''</sub>. Относительный дискриминант определяется так же, как и абсолютный дискриминант, но следует принимать во внимание, что идеал в ''O''<sub>''L''</sub> может не быть главным и что ''O''<sub>''L''</sub> может не быть базисом ''O''<sub>''K''</sub>. Пусть <math>\{\sigma_1, \dots, \sigma_n\}</math> будет множеством вложений ''K'' в <math>\Complex</math>, которые являются единицами на ''L''. Если <math>b_1, \dots, b_n</math> является каким-либо базисом поля ''K'' над ''L'', пусть <math>d(b_1, \dots, b_n</math>) будет квадратом детерминанта ''n'' х ''n'' матрицы, (''i'',''j'')-элементы которой равны <math>\sigma_i(b_j)</math>. Тогда относительный дискриминант расширения ''K''/''L'' является идеалом, порождённым <math>d(b_1, \dots, b_n)</math>, где <math>\{b_1, \dots, b_n\}</math> пробегает по всем целочисленным базисам расширения ''K''/''L''. (т.е. по базисам со свойством, что <math>b_i \in O_K</math> для всех ''i''.) Альтернативно, относительный дискриминант расширения ''K''/''L'' равен {{не переведено 5|норма идеала|норме||ideal norm}} {{не переведено 5|Дифферентный идеал|дифферента||different ideal}} ''K''/''L''{{sfn|Neukirch|1999|с=§III.2}}. Когда <math>L = \Q</math>, относительный дискриминант <math>\Delta_{K/\Q}</math> является главным идеалом кольца <math>\Z</math>, порождаемым абсолютным дискриминантом <math>\Delta_K</math>. В [[Башня полей|башне полей]] ''K''/''L''/''F'' относительные дискриминанты связаны выражением

:<math>\Delta_{K/F} = \mathcal{N}_{L/F}\left({\Delta_{K/L}}\right) \Delta_{L/F}^{[K:L]}</math>,

где <math>\mathcal{N}</math> обозначает относительную [[Норма (теория полей)|норму]]{{sfn|Neukirch|1999|с= Corollary III.2.10}}{{sfn|Fröhlich, Taylor|1993|с=Proposition III.2.15}}.

===Разветвление===
Относительный дискриминант определяет {{не переведено 5|Слабое ветвление|ветвление||Tame ramification}} расширения поля ''K''/''L''. Главный идеал ''p'' поля ''L'' разветвляется в ''K'' тогда и только тогда, когда он делит относительный дискриминант <math>\Delta_{K/L}</math>. Расширение разветвляется тогда и только тогда, когда дискриминант является единичным идеалом{{sfn|Neukirch|1999|с=§III.2}}. Граница Минковского выше показывает, что не имеется нетривиальных неразветвлённых расширений поля <math>\Q</math>. Поля, которые больше <math>\Q</math>, могут иметь неразветвлённые расширения. Например, для любого поля с [[Группа классов идеалов|числом классов]], бо́льшим единицы его {{не переведено 5|гильбертово поле классов|||Hilbert class field}}, является нетривиальным неразветвлённым расширением.

== Корневой дискриминант ==
'''Корневой дискриминант''' числового поля ''K'' степени ''n'', часто обозначаемый rd<sub>''K''</sub>, определяется как ''n''-ый корень абсолютного значения (абсолютного) дискриминанта поля ''K''{{sfn|Voight|2008}}. Соотношения между относительными дискриминантами в башне полей показывает, что корневой дискриминант не меняется в неразветвлённом расширении. Существование [[Теорема Голода — Шафаревича|башни полей классов]] даёт границы для корневого дискриминанта — существование бесконечной башни полей классов над <math>\Q(\sqrt{-m})</math>, где ''m'' = 3·5·7·11·19, показывает, что имеется бесконечно иного полей с корневым дискриминантом 2{{radic|''m''}} ≈ 296,276{{sfn|Koch|1997|с=181–182}}. Если ''r'' и 2''s'' равны числу вещественных и комплексных вложений, так что <math>n = r + 2s</math>, положим <math>\rho = r/n</math> и <math>\sigma = 2s/n</math>. Обозначим через <math>\alpha(\rho, \sigma)</math> инфимум rd<sub>''K''</sub> для полей ''K'' с <math>(r', 2s') = ({\rho}n, {\sigma}n)</math>. Мы имеем (для достаточно больших){{sfn|Koch|1997|с=181–182}}

: <math> \alpha(\rho,\sigma) \geqslant 60,8^\rho 22,3^\sigma </math>,

а в предположении верности [[Обобщённые гипотезы Римана|обобщённой гипотезы Римана]]

: <math> \alpha(\rho,\sigma) \geqslant 215,3^\rho 44,7^\sigma . </math>

Таким образом, мы имеем <math>\alpha(0,1) < 296,276</math>. Мартине показал, что <math>\alpha(0,1) < 93</math> и <math>\alpha(1,0) < 1059</math>{{sfn|Koch|1997|с=181–182}}{{sfn|Martinet|1978|с=65–73}}. Войт{{sfn|Voight|2008}} доказал, что для чисто вещественных полей корневой дискриминант >&nbsp;14 с 1229 исключениями.

==Связь с другими величинами==
*При вложении в <math>K\otimes_\mathbf{Q}\mathbf{R}</math> объём фундаментальной области кольца ''O''<sub>''K''</sub> равен <math>\sqrt{|\Delta_K|}</math> (иногда используется другая [[Мера множества|мера]] и объём получается равным <math>2^{-r_2}\sqrt{|\Delta_K|}</math>, где ''r''<sub>2</sub> — число комплексных мест поля ''K'').
*Поскольку дискриминант появляется в этой формуле для объёма, он также появляется в функциональном уравнении дзета-функция Дедекинда поля ''K'', а потому также в аналитической формуле числа классов и в {{не переведено 5|теорема Брауэра–Зигеля|теореме Брауэра–Зигеля||Brauer–Siegel theorem}}.
*Относительный дискриминант расширения ''K''/''L'' равен {{не переведено 5|кондуктор Артина|кондуктору Артина||Artin conductor}} {{не переведено 5|Регулярное представление|регулярного представления||regular representation}} [[Группа Галуа|группы Галуа]] расширения ''K''/''L''. Это даёт связь между кондукторами Артина и {{не переведено 5|группа характеров|характерами||character group}} группы Галуа расширения ''K''/''L'', которая называется {{не переведено 5|Формула кондуктора-дискриминанта|формулой кондуктора-дискриминанта||conductor-discriminant formula}}{{sfn|Serre|1967|с= Section 4.4}}.

== Примечания ==
{{примечания}}
==Литература==
{{refbegin|colwidth=30em}}
*{{книга
|автор=[[Манин, Юрий Иванович|Yu. I.Manin]], A. A. Panchishkin
|ref=Manin, Panchishkin
|заглавие=Introduction to Modern Number Theory
|серия=Encyclopaedia of Mathematical Sciences
|том=49
|издание=Second
|год=2007
|isbn=978-3-540-20364-3
|issn=0938-0396
|zbl=1079.11002
|страницы=130 
}}
*{{статья
|zbl=0369.12007
|ref=Martinet
|автор=Jacques Martinet
|заглавие=Tours de corps de classes et estimations de discriminants
|язык=fr
|издание=[[Inventiones Mathematicae]]
|том=44
|год=1978
|doi=10.1007/bf01389902
|bibcode=1978InMat..44...65M
}}
*{{статья
|ref=Brill
|автор=Alexander von Brill
|заглавие=Ueber die Discriminante
|год=1877
|издание=Mathematische Annalen
|том=12
|страницы=87–89
|doi=10.1007/BF01442468
|ссылка=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/en/dms/load/toc/?PPN=PPN235181684_0012&DMDID=dmdlog8
|accessdate=2009-08-22
|выпуск=1
|mr=1509928
|jfm=09.0059.02
}}
* {{книга
|ref=Dedekind
|автор=[[Дедекинд, Юлиус Вильгельм Рихард|Richard Dedekind]]
|заглавие=Vorlesungen über Zahlentheorie von P.G. Lejeune Dirichlet
|ссылка=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/en/dms/load/toc/?PPN=PPN30976923X&DMDID=dmdlog1
|издание=2
|год=1871
|издательство=Vieweg
|accessdate=2009-08-05
}}
*{{статья
|ref=Dedekind
|автор=[[Дедекинд, Юлиус Вильгельм Рихард|Richard Dedekind]]
|заглавие=Über den Zusammenhang zwischen der Theorie der Ideale und der Theorie der höheren Congruenzen
|ссылка=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/en/dms/load/toc/?PPN=PPN250442582_0023&DMDID=dmdlog10
|год=1878
|издание=Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen
|том=23
|accessdate=2009-08-20
|выпуск=1
}}
*{{статья
|ref=Hermite
|автор=[[ Эрмит, Шарль|Charles Hermite]]
|заглавие=Extrait d'une lettre de M. C. Hermite à M. Borchardt sur le nombre limité d'irrationalités auxquelles se réduisent les racines des équations à coefficients entiers complexes d'un degré et d'un discriminant donnés
|издание=[[Crelle's Journal]]
|том=53
|страницы=182–192
|год=1857
|ссылка=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/toc/?PPN=PPN243919689_0053&DMDID=dmdlog14
|accessdate=2009-08-20
|doi=10.1515/crll.1857.53.182
}}
*{{статья
|ref=Kronecker
|автор=[[Кронекер, Леопольд|Leopold Kronecker]]
|заглавие=Grundzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Grössen
|ссылка=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/toc/?PPN=PPN243919689_0092&DMDID=dmdlog4
|издание=[[Crelle's Journal]]
|том=92
|год=1882
|страницы=1–122
|accessdate=2009-08-20
|jfm=14.0038.02
}}
*{{статья
|ref=Minkowski
|автор=[[Минковский, Герман|Hermann Minkowski]]
|заглавие=Ueber die positiven quadratischen Formen und über kettenbruchähnliche Algorithmen
|ссылка=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/toc/?PPN=PPN243919689_0107&DMDID=dmdlog25
|издание=Crelle's Journal
|том=107
|год=1891a
|страницы=278–297
|accessdate=2009-08-20
|jfm=23.0212.01
}}
*{{статья
|ref=Minkowski
|автор=[[Минковский, Герман|Hermann Minkowski]]
|заглавие=Théorèmes d'arithmétiques
|издание=[[Comptes rendus de l'Académie des sciences]]
|год=1891b
|том=112
|страницы=209–212
|jfm=23.0214.01
}}
*{{книга
|ref=Stickelberger
|автор=Ludwig Stickelberger
|часть=Über eine neue Eigenschaft der Diskriminanten algebraischer Zahlkörper
|заглавие=Proceedings of the First International Congress of Mathematicians, Zürich
|год=1897
|страницы=182–193
|jfm=29.0172.03
}}
* {{книга
|автор=Nicolas Bourbaki
|ref= Bourbaki
|год=1994
|заглавие=Elements of the history of mathematics
|ссылка=https://archive.org/details/elementsofhistor0000bour
|ответственный=Translated by Meldrum, John
|место=Berlin
|издательство=Springer-Verlag
|ISBN=978-3-540-64767-6
}}
**{{книга
|Серия=Элементы математики
|автор=Бурбаки Н.
|заглавие=Очерки по истории математики
|издательство=Издательство иностранной литературы
|место=М.
|год=1963
}}
* {{книга
|ref=Cohen
|автор=Henri Cohen
|заглавие=A Course in Computational Algebraic Number Theory
|издательство=[[Springer-Verlag]]
|место=Berlin, New York
|серия=Graduate Texts in Mathematics
|isbn=978-3-540-55640-4
|год=1993
|том=138
|mr=1228206
}}
* {{книга
|ref=Cohen, Diaz y Diaz, Olivier
|автор=Henri Cohen, Francisco Diaz y Diaz, Michel Olivier
|часть=A Survey of Discriminant Counting
|ссылка=http://www.springerlink.com/content/2bl9qep1qb4k32vy/
|заглавие=Algorithmic Number Theory, Proceedings, 5th International Syposium, ANTS-V, University of Sydney, July 2002
|ответственный=Claus Fieker, David R. Kohel
|издательство=Springer-Verlag
|место=Berlin
|серия=Lecture Notes in Computer Science
|issn=0302-9743
|isbn=978-3-540-43863-2
|doi=10.1007/3-540-45455-1_7
|год=2002
|том=2369
|страницы=80–94
|accessdate=2009-08-19
|mr=2041075
}}{{Недоступная ссылка|date=Март 2020 |bot=InternetArchiveBot }}
* {{книга
|ref= Fröhlich, Taylor
|автор= Albrecht Fröhlich, Martin J. Taylor
|заглавие=Algebraic number theory
|издательство=[[Cambridge University Press]]
|серия=Cambridge Studies in Advanced Mathematics
|isbn=978-0-521-43834-6
|год=1993
|том=27
|mr= 1215934
}}
* {{книга
|автор=Helmut Koch
|ref=Koch
|заглавие=Algebraic Number Theory
|издательство=[[Springer-Verlag]]
|год=1997
|isbn=3-540-63003-1
|zbl=0819.11044
|серия=Encycl. Math. Sci.
|том=62
}}
* {{книга
|ref=Narkiewicz
|автор=Władysław Narkiewicz
|заглавие=Elementary and analytic theory of algebraic numbers
|ссылка=https://archive.org/details/elementaryanalyt0000nark_s8g5
|издание=3
|год=2004
|издательство=Springer-Verlag
|место=Berlin
|серия=Springer Monographs in Mathematics
|isbn=978-3-540-21902-6
|mr=2078267
}}
* {{книга
|ref=Neukirch
|автор=Jürgen Neukirch
|год=1999
|заглавие=Algebraic Number Theory
|серия=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften
|том=322
|место=Berlin
|издательство=Springer-Verlag
|ISBN=978-3-540-65399-8
|MR=1697859
|Zbl=0956.11021.
}}
* {{книга
|ref=Serre
|автор=[[Серр, Жан-Пьер|Jean-Pierre Serre]]
|часть=Local class field theory
|заглавие=Algebraic Number Theory, Proceedings of an instructional conference at the University of Sussex, Brighton, 1965
|ссылка=https://archive.org/details/algebraicnumbert0000unse_n9o0
|ответственный=J. W. S. Cassels, Albrecht Fröhlich
|издательство=Academic Press
|место=London
|isbn=0-12-163251-2
|год=1967
|mr=0220701
}}
* {{книга
|автор=John Voight Voight
|ref=Voight
|часть = Enumeration of totally real number fields of bounded root discriminant
|заглавие = Algorithmic number theory. Proceedings, 8th International Symposium, ANTS-VIII, Banff, Canada, May 2008
|ответственный=Alfred J. van der Poorten, Andreas Stein
|страницы = 268–281
|издательство = Springer-Verlag
|место=Berlin
|серия=Lecture Notes in Computer Science
|том=5011
|год = 2008
|arxiv = 0802.0194
|doi = 10.1007/978-3-540-79456-1_18
|isbn=978-3-540-79455-4
|mr = 2467853
|zbl=1205.11125 
}}
* {{книга
|ref=Washington
|автор=Lawrence Washington
|заглавие=Introduction to Cyclotomic Fields
|издание=2nd
|издательство=Springer-Verlag
|место=Berlin, New York
|серия=Graduate Texts in Mathematics
|isbn=978-0-387-94762-4
|год=1997
|том=83
|mr=1421575|zbl=0966.11047
}}
{{refend}}

==Литература для дальнейшего чтения ==
* {{книга
|ref=Milne
|автор=James S. Milne
|заглавие=Algebraic Number Theory
|год=1998|
ссылка=http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/ant.html
|accessdate=2008-08-20
}}

{{rq|checktranslate|style}}

[[Категория:Алгебраическая теория чисел]]