Дискриминант алгебраического числового поля

Фундаментальная область кольца целых чисел поля K, полученного из $\mathbb{Q}$ путём присоединения корня $x^3-x^2-2x+1$. Эта фундаментальная область находится внутри $K{\otimes }_{\mathbb{Q}}ℝ$. Дискриминант поля K равен 49 = 7². Соответственно, объём фундаментальной области равен 7 и K разветвляется только Шаблон:Не переведено 5 в точке 7.

Дискриминант алгебраического числового поля — это числовой инвариант, который, грубо говоря, измеряет размер (кольца целых чисел) алгебраического числового поля. Более конкретно, он пропорционален квадрату объёма фундаментальной области кольца целых чисел и он определяет, какие простые числа Шаблон:Не переведено 5.

Дискриминант является наиболее важным инвариантом числового поля и появляется в некоторых важных аналитических формулах, таких как Шаблон:Не переведено 5 дзета-функции Дедекинда поля K и Шаблон:Не переведено 5 поля K. Старая теорема Эрмита утверждает, что имеется лишь конечное число числовых полей с ограниченным дискриминантом, однако определение этого числа остаётся открытой проблемой и является предметом исследованийШаблон:Sfn.

Дискриминант поля K может называться абсолютным дискриминантом поля K для того, чтобы отличить его от относительного дискриминанта расширения K/L числовых полей. Последнее является идеалом в кольце целых чисел поля L и подобно абсолютному дискриминанту показывает, какие простые числа разветвляются в K/L. Он является обобщением абсолютного дискриминанта, позволяющим полю L быть больше $\mathbb{Q}$. Фактически, когда $L=\mathbb{Q}$, относительный дискриминант $K/\mathbb{Q}$ является главным идеалом кольца $\mathbb{Z}$, порождаемого абсолютным дискриминантом поля K.

Определение

Пусть K будет алгебраическим числовым полем и пусть O_K будет его кольцом целых чисел. Пусть $b_1,\dots ,b_n$ будет целочисленным базисом кольца O_K (т.е. базис как Z-модуль), и пусть $\{{\sigma }_1,\dots ,{\sigma }_n\}$ — множество вложений поля K в комплексные числа (т.е. инъективные гомоморфизмы колец $K\to ℂ$). Дискриминант поля K равен квадрату определителя n х n матрицы B, (i,j)-элементы которой равны ${\sigma }_i(b_j)$. В символической форме,

${\mathrm{\Delta }}_K=\det {\left(\begin{array}{cccc}{\sigma }_1(b_1)& {\sigma }_1(b_2)& \cdots & {\sigma }_1(b_n)\\ {\sigma }_2(b_1)& \ddots & & ⋮\\ ⋮& & \ddots & ⋮\\ {\sigma }_n(b_1)& \cdots & \cdots & {\sigma }_n(b_n)\end{array}\right)}^2.$

Эквивалентно, можно использовать след из K в $\mathbb{Q}$. В частности, определим форму следа как матрицу, (i,j)-элементы которой равны ${𝐓𝐫}_{K/\mathbb{Q}}(b_i{b}_j)$. Эта матрица равна B^TB, так что дискриминант поля K является определителем этой матрицы.

Примеры

• Квадратичные числовые поля: пусть d является свободным от квадратов числом, тогда дискриминант поля $K=𝐐(\sqrt{d})$ равенШаблон:Sfn

${\mathrm{\Delta }}_K=\{\begin{array}{cc}d& d\equiv 1(\mathrm{mod}4)\\ 4d& d\equiv 2,3(\mathrm{mod}4).\end{array}$

Целое число, которое появляется как дискриминант квадратичного числового поля, называется фундаментальным дискриминантомШаблон:Sfn.

• Круговые поля: пусть n > 2 является целым числом, ${\zeta }_n$ — примитивным n-ым корнем из единицы, а $K_n=\mathbb{Q}({\zeta }_n)$ — n-ым круговым полем. Дискриминант поля $K_n$ задаётся формулойШаблон:SfnШаблон:Sfn

${\mathrm{\Delta }}_{K_n}=(-1{)}^{\phi (n)/2}\frac{n^{\phi (n)}}{\prod _{p|n}{p}^{\phi (n)/(p-1)}}$

где $\phi (n)$ — функция Эйлера, а произведение в знаменателе пробегает по всем простым p, делящим n.

• Степенные базисы: В случае, когда кольцо целых чисел имеет Шаблон:Не переведено 5, то есть может быть записано как $O_K=\mathbb{Z}[\alpha ]$, дискриминант поля K равен дискриминанту минимального многочлена от $\alpha$. Чтобы это увидеть, можно выбрать целочисленный базис кольца $O_K$ равным $b_1=1,b_2=\alpha ,b_3={\alpha }^2,\dots ,b_n={\alpha }^{n-1}$. Тогда матрица в определении является матрицей Вандермонда, ассоциированной с ${\alpha }_i={\sigma }_i(\alpha )$, квадрат определителя которого равен

$\prod _{1\le i<j\le n}({\alpha }_i-{\alpha }_j{)}^2$

что в точности совпадает с определением дискриминанта минимального многочлена.

• Пусть $K=\mathbb{Q}(\alpha )$ будет числовым полем, полученным присоединением корня $\alpha$ многочлена $x^3-x^2-2x-8$. Данный пример является оригинальным примером Дедекинда числового поля, кольцо целых чисел которого не обладает степенным базисом. Целочисленный базис задаётся как $\{1,\alpha ,\alpha (\alpha +1)/2\}$, а дискриминант поля K равен −503Шаблон:SfnШаблон:Sfn.
• Дублирующиеся дискриминанты: дискриминант квадратичного поля единственным образом определяет его, но в общем случае для числовых полей более высокой степени это неверно. Например, имеется два неизоморфных Шаблон:Не переведено 5 с дискриминантом 3969. Они получаются присоединением корня многочлена Шаблон:Nobreak или Шаблон:Nobreak соответственноШаблон:Sfn.

Основные результаты

• Теорема БрилляШаблон:Sfn: Знак дискриминанта равен $(-1{)}^{r_2}$, где r₂ — число комплексных точек поля KШаблон:Sfn.
• Простое число p разветвляется в K тогда и только тогда, когда p делит ${\mathrm{\Delta }}_K$Шаблон:Sfn.
• Теорема ШтикельбергераШаблон:Sfn:

${\mathrm{\Delta }}_K\equiv 0$ или $1(\mathrm{mod}4).$

• Шаблон:Не переведено 5Шаблон:Sfn: Пусть n обозначает Шаблон:Не переведено 5 расширения $K/\mathbb{Q}$, а r₂ обозначает число комплексных мест поля K, тогда

$|{\mathrm{\Delta }}_K{|}^{1/2}⩾\frac{n^n}{n!}{\left(\frac{\pi }{4}\right)}^{r_2}⩾\frac{n^n}{n!}{\left(\frac{\pi }{4}\right)}^{n/2}.$

• Теорема МинковскогоШаблон:Sfn: Если K не равно $\mathbb{Q}$, тогда $|{\mathrm{\Delta }}_K|>1$ (это следует прямо из границы Минковского).
• Шаблон:Не переведено 5Шаблон:Sfn: Пусть N — положительное целое. Существует лишь конечное число (с точностью до изоморфизма) алгебраических числовых полей K с $|{\mathrm{\Delta }}_K|<N$. Снова, это следует из границы Минковского вместе с теоремой Эрмита (что существует лишь конечное число алгебраических полей с предписанным дискриминантом).

История

Ричард Дедекинд показал, что любое числовое поле обладает целочисленным базисом, что позволило ему определить дискриминант произвольного числового поля.

Определение дискриминанта общего алгебраического числового поля K было дано Дедекиндом в 1871. В это время он уже знал о связи между дискриминантом и разветвлениемШаблон:Sfn.

Теорема Эрмита предшествовала общему определению дискриминанта и доказательство её Шарль Эрмит опубликовал в 1857Шаблон:Sfn. В 1877 Александр фон Брилль определил знак детерминантаШаблон:Sfn. Леопольд Кронекер сформулировал теорему Минковского в 1882Шаблон:Sfn, хотя доказательство её Герман Минковский дал лишь в 1891Шаблон:Sfn. В том же году Минковский опубликовал свою границу детерминантаШаблон:Sfn. К концу девятнадцатого века Шаблон:Не переведено 5 получил теорему об остатке дискриминанта по модулю четыреШаблон:Sfn.

Относительный дискриминант

О дискриминанте, определённом выше, иногда говорят как об абсолютном дискриминанте поля K, чтобы отличить его от относительного дискриминанта ${\mathrm{\Delta }}_K/L$ расширения числовых полей K/L, который является идеалом в O_L. Относительный дискриминант определяется так же, как и абсолютный дискриминант, но следует принимать во внимание, что идеал в O_L может не быть главным и что O_L может не быть базисом O_K. Пусть $\{{\sigma }_1,\dots ,{\sigma }_n\}$ будет множеством вложений K в $ℂ$, которые являются единицами на L. Если $b_1,\dots ,b_n$ является каким-либо базисом поля K над L, пусть $d(b_1,\dots ,b_n$) будет квадратом детерминанта n х n матрицы, (i,j)-элементы которой равны ${\sigma }_i(b_j)$. Тогда относительный дискриминант расширения K/L является идеалом, порождённым $d(b_1,\dots ,b_n)$, где $\{b_1,\dots ,b_n\}$ пробегает по всем целочисленным базисам расширения K/L. (т.е. по базисам со свойством, что $b_i\in O_K$ для всех i.) Альтернативно, относительный дискриминант расширения K/L равен Шаблон:Не переведено 5 Шаблон:Не переведено 5 K/LШаблон:Sfn. Когда $L=\mathbb{Q}$, относительный дискриминант ${\mathrm{\Delta }}_{K/\mathbb{Q}}$ является главным идеалом кольца $\mathbb{Z}$, порождаемым абсолютным дискриминантом ${\mathrm{\Delta }}_K$. В башне полей K/L/F относительные дискриминанты связаны выражением

${\mathrm{\Delta }}_{K/F}={𝒩}_{L/F}\left({\mathrm{\Delta }}_{K/L}\right){\mathrm{\Delta }}_{L/F}^{[K:L]}$,

где $𝒩$ обозначает относительную нормуШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Разветвление

Относительный дискриминант определяет Шаблон:Не переведено 5 расширения поля K/L. Главный идеал p поля L разветвляется в K тогда и только тогда, когда он делит относительный дискриминант ${\mathrm{\Delta }}_{K/L}$. Расширение разветвляется тогда и только тогда, когда дискриминант является единичным идеаломШаблон:Sfn. Граница Минковского выше показывает, что не имеется нетривиальных неразветвлённых расширений поля $\mathbb{Q}$. Поля, которые больше $\mathbb{Q}$, могут иметь неразветвлённые расширения. Например, для любого поля с числом классов, бо́льшим единицы его Шаблон:Не переведено 5, является нетривиальным неразветвлённым расширением.

Корневой дискриминант

Корневой дискриминант числового поля K степени n, часто обозначаемый rd_K, определяется как n-ый корень абсолютного значения (абсолютного) дискриминанта поля KШаблон:Sfn. Соотношения между относительными дискриминантами в башне полей показывает, что корневой дискриминант не меняется в неразветвлённом расширении. Существование башни полей классов даёт границы для корневого дискриминанта — существование бесконечной башни полей классов над $\mathbb{Q}(\sqrt{-m})$, где m = 3·5·7·11·19, показывает, что имеется бесконечно иного полей с корневым дискриминантом 2Шаблон:Radic ≈ 296,276Шаблон:Sfn. Если r и 2s равны числу вещественных и комплексных вложений, так что $n=r+2s$, положим $\rho =r/n$ и $\sigma =2s/n$. Обозначим через $\alpha (\rho ,\sigma )$ инфимум rd_K для полей K с $(r^{\prime },2s^{\prime })=(\rho n,\sigma n)$. Мы имеем (для достаточно больших)Шаблон:Sfn

$\alpha (\rho ,\sigma )⩾60,8^{\rho }22,3^{\sigma }$,

а в предположении верности обобщённой гипотезы Римана

$\alpha (\rho ,\sigma )⩾215,3^{\rho }44,7^{\sigma }.$

Таким образом, мы имеем $\alpha (0,1)<296,276$. Мартине показал, что $\alpha (0,1)<93$ и $\alpha (1,0)<1059$Шаблон:SfnШаблон:Sfn. ВойтШаблон:Sfn доказал, что для чисто вещественных полей корневой дискриминант > 14 с 1229 исключениями.

Связь с другими величинами

• При вложении в $K{\otimes }_{𝐐}𝐑$ объём фундаментальной области кольца O_K равен $\sqrt{|{\mathrm{\Delta }}_K|}$ (иногда используется другая мера и объём получается равным $2^{-r_2}\sqrt{|{\mathrm{\Delta }}_K|}$, где r₂ — число комплексных мест поля K).
• Поскольку дискриминант появляется в этой формуле для объёма, он также появляется в функциональном уравнении дзета-функция Дедекинда поля K, а потому также в аналитической формуле числа классов и в Шаблон:Не переведено 5.
• Относительный дискриминант расширения K/L равен Шаблон:Не переведено 5 Шаблон:Не переведено 5 группы Галуа расширения K/L. Это даёт связь между кондукторами Артина и Шаблон:Не переведено 5 группы Галуа расширения K/L, которая называется Шаблон:Не переведено 5Шаблон:Sfn.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
  • Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:КнигаШаблон:Недоступная ссылка
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Литература для дальнейшего чтения

• Шаблон:Книга