Теорема Голода — Шафаревича

Теорема Голода-Шафаревича — теорема алгебры. Была сформулирована и доказана Е. С. Голодом и И. Р. Шафаревичем в 1964 г. Важными следствиями из неё являются отрицательный ответ на проблему Куроша (существует ниль-алгебра, не являющаяся локально нильпотентной)Шаблон:Sfn, отрицательный ответ на общую проблему Бернсайда (существует периодическая группа, не являющаяся локально конечной)Шаблон:Sfn.

Условия

Пусть $T=F[x_1,...,x_d]$ — кольцо полиномов от некоммутирующих переменных $x_1,...,x_d$ над произвольным полем $F$. Пусть $T$ является градуированной алгеброй благодаря определению на ней функции степени.

Представим $T$ в виде суммы подпространств $T=T_0+T_1+\dots +T_n+\dots$, где $T_0=F$, а $T_n$ имеет базис из $d^n$ элементов вида $x_{i_1}{x}_{i_2}...x_{i_n}$, где переменные $x_{i_j}$ выбираются из множества $\{x_1,...,x_d\}$.

Назовем элементы пространства $T_n$ однородными элементами степени $n$.

Пусть $𝔘=(f_1,f_2,...)$ — двусторонний идеал алгебры $T$, порождённый однородными элементами $f_1,f_2,...$ степеней $n_1,n_2,...$ соответственно. Упорядочим $n_1,n_2,...$ так, чтобы $2⩽n_1⩽n_2⩽\dots$. Число тех элементов $f_j$, степени которых равны $i$ обозначим как $r_i$.

Факторалгебра $A=T/𝔘$ наследует градуировку из $T$ вследствие того, что идеал $𝔘$ порожден однородными элементами.

Факторалгебра может быть представлена в виде суммы $A=A_0+A_1+\dots +A_n+\dots$, где $A_i\simeq T/𝔘\cap T_i$.

Пусть $b_n={\dim }_F{A}_n$.

Формулировка

Алгебра $A$, описанная в условиях теоремы, обладает следующими свойствами:

1. $b_n⩾d{b}_{n-1}-\sum _{n_i⩽n}{b}_{n-n_i}$ для всех $n⩾1$.
2. Если для каждого $i$ $r_i⩽{\left(\frac{d-1}{2}\right)}^2$, то $A$ бесконечномерна над $F$.

Доказательство

Доказательство теоремы занимает $4$ страницы в книге Шаблон:Sfn

См. также

• Проблема Бернсайда

Литература

• Шаблон:Книга