Просмотр кода страницы Дисперсионно-сдвиговая смесь нормальных законов

'''Дисперсионно-сдвиговая смесь нормальных законов''' — используемое в [[Статистические методы|статистических методах]] обобщение [[Нормальное распределение|нормального распределения]] — непрерывное вероятностное распределение [[Случайная величина|случайной величины]] вида:
: <math>Z= \sigma Y \sqrt U \alpha + \alpha U + \beta</math>,
где <math>Y</math> и <math>U</math> — независимые случайные величины, <math>Y</math> [[Нормальное распределение|нормально распределена]] с центром в нуле, функция распределения <math>U</math> непрерывна на положительной полуоси и все её точки роста находятся на положительной полуоси, <math>\alpha</math> и <math>\beta</math> — вещественные числа, <math>\sigma > 0</math>. Функция распределения для такой величины задаётся следующим образом:
: <math>F(x) = \int\limits_0^\infty \Phi\Big(\frac{x-\beta-\alpha z}{\sigma\sqrt z}\Big)dG(z)</math>,
где <math>\Phi</math> — нормальное распределение величины <math>Y</math>, <math>G</math> — распределение величины <math>U</math>.

Несмотря на то, что смесь в распределении производится по двум параметрам — по сдвигу и по масштабу, но, поскольку параметры сдвига смешиваемых законов пропорциональны их [[Дисперсия случайной величины|дисперсиям]], функция распределения по существу является одномерной{{Sfn|Королёв — Корчагин — Горшенин|2015|с=136}}.

Если [[математическое ожидание]] <math>U</math> конечно (<math>\mathbb E U<\infty</math>), то:
: <math>\mathbb E Z = \beta + \alpha \mathbb E U</math>;
если же, кроме того, <math>\mathbb E U^2 < \infty</math>, то математическое ожидание и дисперсия случайной величины вычисляются следующим образом:
: <math>\mathbb E Z = \beta^2 + (\sigma^2 + 2 \alpha \beta)\mathbb E U + \alpha^2 \mathbb E U^2</math>,
: <math>\mathbb D Z = \alpha^2 \mathbb D U + \sigma^2 \mathbb E U</math>.

Естественным образом обобщается на многомерный случай{{Sfn|Бардорф-Нильсен — Кент — Сёренсен|1982|pp=145—146}}. Частный случай — пятипараметрическое [[обобщённое гиперболическое распределение]], в котором смешивается {{iw|обобщённое обратное гауссовское распределение||en|Generalized inverse Gaussian distribution}}<ref>{{Статья | автор = Barndorff-Nielsen O. | год = 1977 | заглавие = Exponentially decreasing distributions for the logarithm of particle size | издание = [[Proceedings of the Royal Society|Proc. Royal Soc. A]] | том = 353 | выпуск = 1674 страницы = 401–409 | doi = 10.1098/rspa.1977.0041}}</ref>.

Введено и исследовано {{iw|Барндорф-Нильсен, Оле|Оле Барндорф-Нильсеном|da|Ole E. Barndorff-Nielsen}} в конце 1970-х — начале 1980-х годов{{Sfn|Королёв — Корчагин — Горшенин|2015|с=135}}. Такие смеси моделируют случайно остановленные процессы броуновского движения с нетривиальным сносом; в дальнейшем нашли применение в широком классе задач моделирования статистических закономерностей.

== Примечания ==
{{Примечания}}

== Литература ==
* {{Статья | автор = Barndorff-Nielsen O. E., Kent J., Sørensen M. | заглавие = Normal variance-mean mixtures and z-distributions | издание = International Statistical Review | год = 1982 | том = 50 | номер = 2 | страницы = 145–159 | язык = en | doi = 10.2307/1402598 | ref = Бардорф-Нильсен — Кент — Сёренсен}}
* {{Статья | автор = Королёв В. Ю., Корчагин А. Ю., Горшенин А. К. | заглавие = Некоторые свойства дисперсионно-сдвиговых смесей нормальных законов | издание = Статистические методы оценивания и проверки гипотез: межвузовский сборник | выпуск = 26 | место = Пермь | год = 2015 | страницы  = 134—153 | ISBN = 978-5-7944-1523-8 | ref = Королёв — Корчагин — Горшенин}}



[[Категория:Непрерывные распределения]]