Дисперсионно-сдвиговая смесь нормальных законов

Дисперсионно-сдвиговая смесь нормальных законов — используемое в статистических методах обобщение нормального распределения — непрерывное вероятностное распределение случайной величины вида:

$Z=\sigma Y\sqrt{U}\alpha +\alpha U+\beta$,

где $Y$ и $U$ — независимые случайные величины, $Y$ нормально распределена с центром в нуле, функция распределения $U$ непрерывна на положительной полуоси и все её точки роста находятся на положительной полуоси, $\alpha$ и $\beta$ — вещественные числа, $\sigma >0$. Функция распределения для такой величины задаётся следующим образом:

$F(x)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\mathrm{\Phi }\left(\frac{x-\beta -\alpha z}{\sigma \sqrt{z}}\right)dG(z)$,

где $\mathrm{\Phi }$ — нормальное распределение величины $Y$, $G$ — распределение величины $U$.

Несмотря на то, что смесь в распределении производится по двум параметрам — по сдвигу и по масштабу, но, поскольку параметры сдвига смешиваемых законов пропорциональны их дисперсиям, функция распределения по существу является одномернойШаблон:Sfn.

Если математическое ожидание $U$ конечно ($𝔼U<\mathrm{\infty }$), то:

$𝔼Z=\beta +\alpha 𝔼U$;

если же, кроме того, $𝔼U^2<\mathrm{\infty }$, то математическое ожидание и дисперсия случайной величины вычисляются следующим образом:

$𝔼Z={\beta }^2+({\sigma }^2+2\alpha \beta )𝔼U+{\alpha }^2𝔼U^2$,

$𝔻Z={\alpha }^2𝔻U+{\sigma }^2𝔼U$.

Естественным образом обобщается на многомерный случайШаблон:Sfn. Частный случай — пятипараметрическое обобщённое гиперболическое распределение, в котором смешивается Шаблон:Iw.

Введено и исследовано Шаблон:Iw в конце 1970-х — начале 1980-х годовШаблон:Sfn. Такие смеси моделируют случайно остановленные процессы броуновского движения с нетривиальным сносом; в дальнейшем нашли применение в широком классе задач моделирования статистических закономерностей.

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья